精品解析：河南省新未来2025-2026学年高三上学期期末数学试题

机密★启用前 高三年级2月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定全集和集合，再求出与的并集，最后在全集中取该并集的补集即可得到结果. 【详解】由，得； 解方程，得或，所以； 已知，则，所以. 故选：A 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设出等差数列的首项和公差，然后利用求和公式列方程组求出首项和公差从而得解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题知，解得， 从而. 故选：B 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，再结合余弦定理化简即可. 【详解】已知， 又因为，所以， 又由余弦定理， 又因为， 所以， 故选：D. 4. 已知的定义域为，且对任意都成立，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得到其关于直线对称，再代入后结合指对数运算即可. 【详解】因为对任意都成立，所以， 则函数的图象关于直线对称， 且当时，，又因为， 所以. 故选：C． 5. 已知圆：，，是圆上的两个动点，且，则（ ） A. 4 B. C. 16 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示对进行化简，进而根据已知条件计算即可. 【详解】因为，是圆上的两个动点， 所以，所以. 因为，所以. 故选：D. 6. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用了如下方法： 第1步，科学抽样．采用简单随机抽样方法从两所学校共抽取88名学生，且对这88名学生进行测验； 第2步，收集数据．测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生有7名学生数学成绩优秀，并做出了如下的列联表： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 33 10 43 乙校 38 7 45 合计 71 17 88 第3步，提出零假设．零假设：两校学生的数学成绩优秀率无差异， 第4步，计算．计算得到， 第5步：判断．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 若将列联表中所有数据都扩大到原来的10倍，则下列说法正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 B. 根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 C. 有99%的把握认为学生的数学成绩是否优秀与学校有关 D. 学生的数学成绩是否优秀与学校有关，该推断犯错误的概率不超过0.001 【答案】C 【解析】 【分析】列出新的列联表，计算后比较即可. 【详解】由题，列出新的列联表如下： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 330 100 430 乙校 380 70 450 合计 710 170 880 代入卡方公式： ，其中， 所以， ， 所以认为 “学生的数学成绩是否优秀与学校有关”，且有的把握， 故AB错误. 且推断犯错误的概率不超过0.01，不是0.001，故错误. 故选：C. 7. 已知椭圆：（）左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点，为椭圆的左焦点，则以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 内含 D. 外切 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为，椭圆的右焦点为，连接、，根据椭圆的定义及三角形中位线的性质得到，即可判断. 【详解】设的中点为，椭圆的右焦点为，连接、， 所以，又， 因此， 又以为直径的圆的半径，圆心为， 以为直径的圆的半径，圆心为， 即，所以以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为内切. 故选：B 8. 已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，由题意可得，计算即可求解. 【详解】因为，所以， 将其解集（部分）在数轴上表示如下： 若，存在，使得成立， 则区间的长度大于等于相邻两个解集之间的长度， 即，即， 又，所以，所以的最大值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若且，则 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据复数运算性质即可判断；对BD，利用待定系数法即可判断；对C，举反例即可判断. 【详解】对A，因为，所以，即， 又因为，所以，所以，所以选项A正确； 对B，设， 则 ， ， 即，即复数乘法对结合律成立，所以选项B正确； 对C，若，则，所以，所以选项C错误； 对D，设， 则， ，所以.所以选项D正确． 故选：ABD． 10. 如图所示，在五面体中，与均为正三角形，四边形、四边形、四边形均为等腰梯形，平面∥平面，，，为中点，则下列选项正确的是（ ） A. 五面体不一定是棱台 B. 若，则 C. 若，则五面体的体积为 D. 若，则五面体外接球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】结合棱台定义、空间垂直判定、台体体积公式、外接球半径公式推理计算依次验证各选项即可判断. 【详解】因为平面平面，且平面平面，平面平面， 所以，又因为四边形为等腰梯形，所以， 同理，即. 对于选项A，因为四边形为等腰梯形，且，所以延长一定相交，设交点为，则， 又因为平面，所以平面，同理平面， 又因为平面平面，所以点， 即，交于点，所以五面体一定是棱台，所以选项A错误； 对于选项B，因为为中点，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以. 因为交于点，所以将三棱台还原成三棱锥， 如图1所示， 由题意可得，，又因为为正三角形，所以点在底面的射影为的中心，所以三棱锥是正三棱锥. 因为，即，所以，因为是正三棱锥， 所以， 即，所以，所以选项B正确； 对于选项C，因为，所以点分别是的中点， 又因为，所以， 如图2， 过点作平面，垂足为，设平面，连接， 因为为的中心，则， 所以，则， 则 )，所以选项C正确； 对于选项D，因为五面体是正三棱台， 所以外接球的球心一定在线段上或者在的延长线上， 如图3所示，连接， 设，则，又因为， 由得：， 解得，则， 所以五面体外接球的表面积为，所以选项D错误. 故选：BC. 11. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，；过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为，线段与双曲线交于点，则（ ） A. B. 当时，面积的最大值为16 C. 当时，双曲线的离心率为 D. 当时，双曲线的渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据点到直线的距离公式计算即可；对于B，根据直角三角形相似可求出，进而根据三角形面积公式列出面积的表达式，然后根据基本不等式的性质计算即可；对于C，先求出点的坐标，进而代入方程中化简求得离心率；对于D，根据余弦定理和的关系表达式，进而化简即可求得渐近线方程. 【详解】因为双曲线：（，）的左、右焦点分别为，， 所以，渐近线为. 假设过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为， 则为点到渐近线即的距离，即，A正确； 当时，，所以. 所以的面积为. 在直角三角形中，，所以. 所以，所以，所以. 由于，当且仅当时等号成立，此时的面积取最大值为8，B错误； 因为，所以点是的中点，因为，所以. 又点在双曲线上，所以，化简得. 所以解得双曲线的离心率为，C正确； 设，由点在到渐近线的垂线段上， 直线的斜率为，所以直线的方程为， ，设，所以 设，所以，解得，而. 所以，则. 在中，由余弦定理得， 利用关系式， 即，化简得， 将的表达式代入，得到关于的方程，化简后可解得， 故渐近线方程为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，各项系数的和是___________. 【答案】 【解析】 【分析】令赋值法即可求解. 【详解】在中，令可得， 所以各项系数之和为， 故答案为：. 13. 过点作曲线的切线，则切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点，根据导数的几何意义得切线方程为，将点代入求出即可得答案. 【详解】设切点，， 则切线斜率为，则切线方程为， 将代入得， 解得， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数法判断在上单调递增，利用单调性性质判断在上单调递增，然后利用单调性性质可得在R上单调递增，进而得在R上单调递增，将不等式可化为，最后利用单调性求解即可. 【详解】当时，，所以， 所以在上单调递增，所以； 当时，， 因为在上单调递减，在定义域内单调递增， 所以在上单调递减， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以； 所以在R上单调递增. 令，因为在R上单调递增，所以在R上单调递增， 所以在R上单调递增，且， 故不等式可化为，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间和值域； （2）当时，函数的图像与直线有两个交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为；值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数为，结合正弦型函数的图像与性质，即可求解； （2）由，求得，令，得到，结合正弦函数的单调性，分别求得的值，结合题意，即可得到答案. 【小问1详解】 由函数 ， 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为， 因为，可得，可得， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 由，可得， 令，则函数， 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减， 且当时，，当时，，当时，， 要使得函数的图像与直线有两个交点，则满足， 所以实数的取值范围为． 16. 如图，在四棱柱中，四边形为平行四边形，平面，平面平面． （1）证明：； （2）若，点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 过点作交于，因为平面平面， 平面平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为平面，平面，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，则根据面面垂直先证明线面垂直，进而得到线线垂直，即证明平面. （2）建立空间直角坐标系，确定各个点的坐标，然后求出平面与平面的法向量坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，因为点到平面的距离为， 所以. 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则. 所以. 设平面与平面的法向量分别为. 所以， 即，， 令，则. 所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为 . 17. （1）证明：当时，； （2）已知数列的通项公式为，证明：． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析； 【解析】 【分析】（1）构造函数，求导后得其单调性，再利用换元法即可证明； （2）令，求导后得其单调性，再利用换元法即可证明. 【详解】（1）令，则， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以，即； 将中的都换成得，，即，即. 综上，当时，. （2）令， 则， 将中的都换成得：， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以，则， 即， 即，所以，即； 将中的换成得：，当且仅当时取等号； 因为，所以，即，即，所以． 综上有． 18. 已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上一点到焦点的最小值为1．直线：与抛物线交于，两点，设（是常数），且，都有（其中为坐标原点）． （1）求抛物线的方程； （2）求值； （3）若，求． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）分析得点在抛物线的顶点时，与焦点距离最近，则，解出即可； （2）联立得到韦达定理式，化简，再代入韦达定理式，即可得到关于的方程，解出即可； （3）利用和韦达定理式分别解出，从而，最后代入计算即可. 【小问1详解】 因为抛物线，所以焦点， 当点在抛物线的顶点时，与焦点距离最近，所以，即， 所以抛物线的方程为：. 【小问2详解】 联立，得，， 设，则， 因为，所以， 又因为，所以，即， 又因为， 所以，即， 所以，化简得：， 因为对都成立，所以，解得. 【小问3详解】 （3）由（2）知，易知当时，不满足， 故，因为，所以， 其中，即，解得， 又因为，解得， 因为，设直线与轴交于点，所以， 因为，所以． 19. 某学校有，两家餐厅，王同学每天都在学校两家餐厅中的某一个餐厅用餐，若王同学某天选择了某个餐厅用餐，则第二天还选择这个餐厅用餐的概率为；设第天选择在餐厅用餐的概率为（），已知王同学第1天选择的是在餐厅用餐． （1）求； （2）求（）； （3）若规定王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐，设为王同学前5天在餐厅用餐的次数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据，逐步根据题意计算； （2）由递推关系先得到，然后构造等比数列求解； （3）先列举出王同学前天不连续三天在同一家餐厅就餐的所有情况，然后结合条件概率和独立事件的乘法公式求解. 【小问1详解】 由题知，，， 【小问2详解】 由题知，， 可得， 又，则是首项为，公比为的等比数列， 则， 则 【小问3详解】 王同学前5天在哪个餐厅用餐可能情况如下： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 X A A B A A 4 B 3 B A 3 B A A B 3 B A 3 B 2 B A A 3 B 2 所以可取值为2，3，4， ， ， ， 即的分布列为： 2 3 4 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 高三年级2月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（ ） A. B. C. D. 4. 已知的定义域为，且对任意都成立，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆：，，是圆上的两个动点，且，则（ ） A. 4 B. C. 16 D. 8 6. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用了如下方法： 第1步，科学抽样．采用简单随机抽样方法从两所学校共抽取88名学生，且对这88名学生进行测验； 第2步，收集数据．测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生有7名学生数学成绩优秀，并做出了如下的列联表： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 33 10 43 乙校 38 7 45 合计 71 17 88 第3步，提出零假设．零假设：两校学生的数学成绩优秀率无差异， 第4步，计算．计算得到， 第5步：判断．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 若将列联表中所有数据都扩大到原来的10倍，则下列说法正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 B. 根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 C. 有99%的把握认为学生的数学成绩是否优秀与学校有关 D. 学生的数学成绩是否优秀与学校有关，该推断犯错误的概率不超过0.001 7. 已知椭圆：（）左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点，为椭圆的左焦点，则以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 内含 D. 外切 8. 已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若且，则 B. C. D. 10. 如图所示，在五面体中，与均为正三角形，四边形、四边形、四边形均为等腰梯形，平面∥平面，，，为中点，则下列选项正确的是（ ） A. 五面体不一定是棱台 B. 若，则 C. 若，则五面体的体积为 D. 若，则五面体外接球的表面积为 11. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，；过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为，线段与双曲线交于点，则（ ） A. B. 当时，面积的最大值为16 C. 当时，双曲线的离心率为 D. 当时，双曲线的渐近线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，各项系数的和是___________. 13. 过点作曲线的切线，则切线方程为______． 14. 已知函数，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间和值域； （2）当时，函数的图像与直线有两个交点，求实数的取值范围． 16. 如图，在四棱柱中，四边形为平行四边形，平面，平面平面． （1）证明：； （2）若，点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. （1）证明：当时，； （2）已知数列的通项公式为，证明：． 18. 已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上一点到焦点的最小值为1．直线：与抛物线交于，两点，设（是常数），且，都有（其中为坐标原点）． （1）求抛物线的方程； （2）求值； （3）若，求． 19. 某学校有，两家餐厅，王同学每天都在学校两家餐厅中的某一个餐厅用餐，若王同学某天选择了某个餐厅用餐，则第二天还选择这个餐厅用餐的概率为；设第天选择在餐厅用餐的概率为（），已知王同学第1天选择的是在餐厅用餐． （1）求； （2）求（）； （3）若规定王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐，设为王同学前5天在餐厅用餐的次数，求的分布列和数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $