精品解析：河南省漯河市郾城区第二初级实验中学2025-2026学年八年级上学期2月期末数学试题

2025-2026学年上学期期末学情监测 八年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择． 【详解】，故选项A不合题意； ，故选项B不合题意； ，故选项C不合题意； ，故选项D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理． 3. 子是一种基本粒子，它的平均寿命约为0．0000022秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了较小数的科学记数法．根据较小数的科学记数法方法解答即可． 【详解】解：， 故选：C 4. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：选项A：右边为，不是积的形式，故不是因式分解； 选项B：左边为，是积的形式，右边为，从左到右的变形过程是整式乘法，故不是因式分解； 选项C：左边为，是积的形式，右边为，是整式乘法，故不是因式分解； 选项D：左边为多项式，右边为，是积的形式，故属于因式分解； 故选：D． 5. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 【答案】A 【解析】 【详解】分析:根据多边形内角和公式和正五边形每个内角都相等可得∠ABC=108°,再根据等腰三角形和三角形内角和公式可得∠BAC=36°. 详解:因为正五边形 ABCDE, 所以∠ABC=108°, 因为三角形ABC是等腰三角形, 所以∠BAC=36°, 故选A. 点睛:本题主要考查正五边形的性质和等腰三角形的性质,解决本题的关键是要熟练运用正五边形和等腰三角形的性质. 6. 传统文化如图1是路桥博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出A，B两点之间的距离，即可得到的长度，其依据的数学基本事实是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的应用．一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．根据全等三角形的判定定理SAS解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵考古学家将两根细木条的中点固定在一起， ∴，， 在和中， ， ∴， 依据的数学基本事实是， 故选：B． 7. 在中，．用无刻度的直尺和圆规任内部作一个角，下列作法中不等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图、等腰直角三角形、直角三角形的性质、三角形外角的性质逐一判断即可．本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图与性质、直角三角形的性质． 【详解】解：A．此选项是作直角的平分线，则，不符合题意； B．如图， 此选项是作，由 ∴，不符合题意； C．此选项是作的垂直平分线，可知不一定等于，符合题意； D．此选项是作和的平分线可知，不符合题意； 故选：C． 8. 时代，不仅仅是“更快”的网络时代，更是一个“连接万物、赋能万业”的智能时代．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，网络比网络快360秒．若设网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，则由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则网络的峰值速率为每秒传输千兆数据， 由题意得：． 故选：A． 9. 已知a，b，c是的三边长，且，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，把因式分解后判断即可． 【详解】∵ ∴， ， ， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 故选：C． 10. 如图，在中，，，于点D，于点E，与相交于点F．给出下面三个结论：①；②；③．所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点． 先由等边对等角以及三角形内角和定理求出，然后得到为等腰直角三角形，则，再由角的和差求解，即可判断①；证明，则，，再由等腰三角形三线合一得到，即可判断②；而，结合即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∴所有正确结论的序号是①②③， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方逆用、零指数幂，先将化为，再根据积的乘方逆用和零指数幂运算，然后运算减法计算． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了写出某些特征的分式，根据分式值为零的条件，当时分子为零且分母不为零，因此分子应含的因子，分母在时不为零． 【详解】解：当时，分式的值为0，因此分子必须为0，但分母不能为0， 设分子为，分母为a，则当时，分子，分母，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，当，时，有，，，其中0，12，72分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码01272．对于多项式，当x，y分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为6，18，则密码是___________． 【答案】61830 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，将多项式分解因式后代入正整数求因式码，根据前两个因式码确定x和y的值，再计算第三个因式码并排序得到密码． 【详解】解：∵， ∴因式码分别为、、， ∵x，y分别取正整数， ∴， ∵前两个因式码为6和18， ∴，， ∴， ∴， ∴三个因式码为6、18、30，按从小到大顺序排列形成密码61830． 故答案为：61830． 14. 如图，小萱将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，关于y轴对称点的性质，过点A，点B分别作，垂直于x轴，先证明，得点A的坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特点为纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：如图，过点A，点B分别作，垂直于x轴， ， 点与轴上表示的点重合，点坐标为， ，，， ， 由题意知是等腰直角三角形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ，， ， 点A的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，分别是边，上的两个动点，连接，.若当与的和最小时，的长为1，则的长为________ 【答案】6 【解析】 【分析】作点B关于直线的对称点，交于点D，连接，，由轴对称得，推出，当点，，三点共线时等号成立，再根据垂线段最短，可知时，与的和最小，由此画出图形，进而即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，连接，， 则， ，当点，，三点共线时等号成立， 时，取最小值， 时，与的和最小，如图， ，， ， 又点B与关于直线对称， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查利用轴对称求线段的最值问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂线段的性质，含30度角的直角三角形的性质等，确定与的和最小时，点Q的位置是解题的关键． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算： （1）根据多项式除以单项式运算法则计算； （2）先根据完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 化简并求值：，其中．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： （1）甲同学解法的依据是________；乙同学解法的依据是________．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程． 甲同学 解：原式…… 乙同学 解：原式…… 【答案】（1）②，③ （2） 若选择甲同学的解法， 原式 ， ， 原式； 若选择乙同学的解法， 原式 ， ， 原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值； （1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）若选择甲同学的解法，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，， （1）在边上找一点D，使得点D到边的距离与到边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1） 解：如图，点D即为所求， （2）14 【解析】 【分析】（1）作的角平分线：先以点B为圆心，一定长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接B与两弧的交点，交于点D，根据角平分线的性质定理可知，此时点到边的距离与到边的距离相等； （2）过点D作，由作图可知，再根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）图，过点D作， 由（1）可知，点D到边的距离与到边的距离相等， ∵，， ∴， ∵， ∴ ． 19. 下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 【答案】 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ； ； ； 到角两边距离相等的点在角的角平分线上． 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据中垂线的性质，证明两个直角三角形全等，角平分线的判定定理，进行作答即可． 【详解】证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ∵， ∴． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据：到角两边距离相等的点在角的角平分线上） 即平分． 20. 【教材呈现】 （1）分解因式： ①______；②______；③______；④______． 【归纳总结】 （2）观察以上四个多项式的系数： ，，，． 于是玉玉猜测：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：______； 【解决问题】 （3）若多项式是一个完全平方式，求实数t的值． 【答案】（1）① ② ③ ④ ；（2）（3）或 【解析】 【分析】本题考查因式分解，数字类规律探究，熟练掌握完全平方公式法因式分解是解题的关键： （1）利用完全平方公式法进行因式分解即可； （2）根据给出的等式，即可得出结果； （3）根据（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）①；②；③；④； （2）由题意可知：； （3）由（2）可知：，解得或． 21. 呼和浩特车站是内蒙古地区重要的现代化综合交通枢纽，集高铁、普速铁路与城市轨道交通于一体．站内高峰时段客流量显著，为提升旅客通行效率，站厅配备了多组智能通道闸机，采用对称式扇形双翼设计，通过人脸识别或票卡感应实现快速验票通行，极大缩短了乘客进站等待时间．如图1是车站的一组智能通道闸机，实际运行中，闸机双翼成轴对称，旅客通过身份验证后，双翼自动收回到两侧闸机箱内，形成无障碍通道．图2是双翼展开时的截面结构，扇形和是闸机的“圆弧翼”，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱侧壁的夹角． （1）求当双翼完全收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】（1）最大宽度 （2）约为人 【解析】 【分析】本题考查了含直角三角形性质的应用，分式方程的应用，掌握直角三角形中所对的直角边是斜边的一半、分式方程解法步骤是解决问题的关键． （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接，并向两方延长，分别交于，如图所示： 由点在同一条水平线上，均垂直于地面，可知， 的长度就是与之间的距离， 在中，，则， 在中，，， ， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； 【小问2详解】 解：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 则， ， 则， 解得， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 22. 【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则的值为 ； ②若，则 ； 【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 【答案】（1）①20；②13；（2）一块三角板的面积是22． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键． （1）①利用计算即可； ②令，，从而得到、的和与积，再利用计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【详解】解：（1）①由题意可知，， ，， ， 故答案为：20； ②令，， ，， ， 故答案为：13； （2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为， ，，即， ， ， ， 一块三角板的面积是22． 23. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中， ，连接，延长交于点．则与的数量关系：_________，_________． （2）类比探究：如图2，在和中，，连接，，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数并说明理由； （3）拓展延伸：等腰三角形的腰和底相等时，三角形为等边三角形，等边三角形有一些特殊的性质，在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为1，，则的长_________． 【答案】（1）， （2），． （3）1或3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论． （3）根据题意画出图形，分情况讨论点的位置，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1所示，设与交于点， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即，． 【小问2详解】 解， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 即，． 【小问3详解】 解：①当点E在BA延长线，点D在BC延长线时，如图所示， 过点E作交CD于点O， ∵， ∴． 在中，， ∴ ∴ ∴ ∴． ②当点E在AB延长线，点D在CB延长线时，如图所示， 过点E作交CD于点O， ∵， ∴． 在中，， ∴ ∴ ∴ ∴． 综上所述，或者 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期末学情监测 八年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 子是一种基本粒子，它的平均寿命约为0．0000022秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 6. 传统文化如图1是路桥博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出A，B两点之间的距离，即可得到的长度，其依据的数学基本事实是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，．用无刻度的直尺和圆规任内部作一个角，下列作法中不等于的是（ ） A. B. C. D. 8. 时代，不仅仅是“更快”的网络时代，更是一个“连接万物、赋能万业”的智能时代．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，网络比网络快360秒．若设网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，则由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 已知a，b，c是的三边长，且，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 10. 如图，在中，，，于点D，于点E，与相交于点F．给出下面三个结论：①；②；③．所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式______． 13. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，当，时，有，，，其中0，12，72分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码01272．对于多项式，当x，y分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为6，18，则密码是___________． 14. 如图，小萱将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为________； 15. 如图，在中，，，，分别是边，上的两个动点，连接，.若当与的和最小时，的长为1，则的长为________ 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 化简并求值：，其中．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： （1）甲同学解法的依据是________；乙同学解法的依据是________．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程． 甲同学 解：原式…… 乙同学 解：原式…… 18. 如图，在中，， （1）在边上找一点D，使得点D到边的距离与到边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，若，，求的面积． 19. 下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 20. 【教材呈现】 （1）分解因式： ①______；②______；③______；④______． 【归纳总结】 （2）观察以上四个多项式的系数： ，，，． 于是玉玉猜测：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：______； 【解决问题】 （3）若多项式是一个完全平方式，求实数t的值． 21. 呼和浩特车站是内蒙古地区重要的现代化综合交通枢纽，集高铁、普速铁路与城市轨道交通于一体．站内高峰时段客流量显著，为提升旅客通行效率，站厅配备了多组智能通道闸机，采用对称式扇形双翼设计，通过人脸识别或票卡感应实现快速验票通行，极大缩短了乘客进站等待时间．如图1是车站的一组智能通道闸机，实际运行中，闸机双翼成轴对称，旅客通过身份验证后，双翼自动收回到两侧闸机箱内，形成无障碍通道．图2是双翼展开时的截面结构，扇形和是闸机的“圆弧翼”，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱侧壁的夹角． （1）求当双翼完全收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 22. 【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则的值为 ； ②若，则 ； 【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 23. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中， ，连接，延长交于点．则与的数量关系：_________，_________． （2）类比探究：如图2，在和中，，连接，，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数并说明理由； （3）拓展延伸：等腰三角形的腰和底相等时，三角形为等边三角形，等边三角形有一些特殊的性质，在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为1，，则的长_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $