河南青桐鸣2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

秘密★启用前 普通高中2025一2026学年（上）高三年级期末考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答策后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 装 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 2+i 1.已知1为虚数单位，复数的实部为 A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知集合A={z|(x+2)(x-1)<0),集合B={y|y=√x+I},则AUB= A.(1,+∞) B.(-2,十∞) C.[0,1) D.[-1,1) 3.“sin0= 日_23”的 号”是sin号+eos号- 3 3 A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 级 线 4.过双曲线C:。一之=1(a>0)的右焦点F分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足 分别为A,B,O为坐标原点，若四边形OAFB的面积为√3，则点F的横坐标为 名 λ吗 B号 C.√2 D.2 5.已知函数f(x)=log2(4十4)一kx,k为实数，且f(x十1)是偶函数，则f(x)的最小 值为 A.1 B.2 C.log25 D.4 6.已知0为坐标原点，OA与O均为单位向量，|OA+O1=5,点C在定直线l:y= x+2√6上，则1OA+OB+0C1的最小值为 A.3 B.√6 C.25 D.2√6 s-. … 数学试题第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 7.甲、乙两球队比赛，设事件A=“甲队主力球员首发”，事件B=“甲队获胜”，据统计， PA)-号，P(BA)-0,P(A]B)-号，甲，乙两球队在2026年计划比赛共计12场， % 设甲队获胜的场数为X,若每场比赛的结果相互独立，则E(X)= A号 B器 c号 D号 8.过直线y=一3上的一动点P,作圆O:x2+y2=1的两条切线，两条切线分别交x轴于 4,则9+8a6 Aa,0),Bb,0)两点，若a≠士1，a≠士，且b≠士1，b≠±32m “(a+6)2= A-品 B.-4 C.-16 D.-4或-16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.现有阳马 P-ABCD如下图所示，其中PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,BC=√2，点E在棱PC 上运动.下列说法正确的有 A.CD⊥平面PBC B.直线PC与AB所成的角为60° C.AE⊥BD D,当PE=号PC时，四棱锥E-ABCD的体积是四棱锥P-ABCD体积的号 10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A一bsin B=(a一c)sinC, b三√万，则下列正确的有 AB=晋 B,△ABC的外接圆的半径为Y②阿 3 C若△ABC的面积为3，奥则△ABC的周长为5十厅 D,若AC边上的中线长为四，点M在AC上，且BM为∠ABC的角平分线，则 BM=6/3 5 数学试题“第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 11.已知(x十3)2m-1=ao十a1x十a2x2十…十a2m-1x2m-1,n∈N”,[x]表示不大于实数x 的最大整数，则下列正确的有 A.3a1=(2n-1)ao B若m为奇数，则a:取最大值时，=[召-1]+1 C.当x=√10时，[(x+3)2m-1]的个位数是6 D.g+a)2=3c 40 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数fz)=sin2x+cosz,则y=fx)在z=君处的导数为 13.已知8个样本数据a,b,c,d,3,4,6,10(其中a,b,c,d∈Z)的平均数为x,极差为11， 中位数为5，众数为5，若新的数据a+x,b+x,c+x,d十x,3十z,4十x,6十x,10十z 的平均数为12，则新数据的方差为 14,过三棱柱ABC-A,B,C1的棱AA1的中点M且与底面ABC平行的平面内的一动点 0满足：O+中30i-十20元+O耐=0对任意m∈N~都成立，且a1=受，则数 3 列{an}的前n项和Sn= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=25sin(x+)os(x+）)-2cos2x. (1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称中心； (2)分析函数f(x)在区间0,2)上的单调性， 16.（15分) 已知数列(an}满足：3a1+5a2十7a3十…+(2n十1)an=3+(n一1)·3+1 (1)求{an}的通项公式； (2)若6.=1og,a,工.为数列6，}的前n项和，求使得工，≤分n2+n一4成立的n的 最小值。 数学试题第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(15分) 如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，FA⊥底面ABCD, ∠ABC=60°，DE∥AF,且FA=3DE=3. (1)求三棱锥A-EFC的体积； (2)已知点M在侧面ABF及其边界上运动，若ME∥平面BCF, 求点M的轨迹长度. 18.(17分) 在平面直角坐标系中，已知0为坐标原点，点A(一2,0)，点B(2,0),点G0,1),O心= O广，O5=λOG,λ≠0，直线AS与直线BT交于点P,设点P的轨迹为E. (1)求点P的轨迹E的方程， (2)已知直线L与曲线E交于M,N两点，OM⊥ON,L上存在一点H满足 IOHI=IOMIIONI MN (I)证明：OH|为定值； (‖)若O,M,R,N四点共圆，且点R(xo,0)(xo>0),当x。取最大值时，求直线L的 方程. 注意清点有无漏印或缺页，若有要及时更换。 19.(17分) 已知函数f(x)=xln(x十1)十mx2一m,m为实数. (1)当m=0时，求f(x)的单调区间； (2)当-1<m<0时，讨论f(x)的零点个数； (3)对Vx∈（一1，+∞），(x十2)f(x)≥mx3+2(m十1)x2一x一2恒成立，求m的取 值范围。 数学试题第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 普通高中2025一2026学年（上）高三年级期末考试 数学参考答案 1.D【解标】因为2生=-2牛-1十2i,所以复数 2牛的实部为-1 故选D. 2.B【解析】由(x+2)(x一1)<0，所以A={x|一2< x<1),由y=√x+T≥0，所以B=[0,十∞)，所 图1 图2 以AUB=(-2,+∞). 所以1OA+O+O心1=10G+O心1.如图1，设直 故选B 线'：y=x一2√6，过点O作OH⊥直线l于点H, 3.c【解折16号+cos号)'-1+2sin号os号- 作OH'⊥直线'于点H'.则Oi=Hò 1+sin0=1+3=3' 14 又因为11oG1-10心11≤1o心+o心1≤10G1+ 1od1, 所以2+os号=√-士 可知如图2，当点C在点H处，点G在线段OH'上 31 时，O心+OC1取得最小值， 所以0=号”是血名+c0号-色的必要 此时1oG+O心1=I1OG1-1o元11=1H1,最小 不充分条件。 值为2v6 +市3=尽 故选C. 故选A. 4.A【解析】由题意|FA|=|FB|=√，IOA|= 7.B【解折】PAB)=PA)P(B|A)=号×品= ,7 |OB|=a,lOF|=c,所以SN边GOAFU=2 S AOAF= 2X2b一Ea=尽，解得a-,所以c=V+8= 根据条件概率公式得PA1B)-2,可 7 7 空，即点F的横坐标为夏 +2= 得PB)=-西-名×号-器由于每 故选A. 4 5.B【解析】f(x+1)是偶函数，所以y=∫(x)的图 场比赛的结果相互独立，所以甲队获胜的场数X 象关于x=1对称，故∫(0)=∫(2)，代入得log25= 服从二项分布，从而E(X)=12×28= 4515 log:20一2k,解得k=1,所以∫(x)=log(4+ 故选B. 4)-x=1og2+会)≥2，当且仅当x=1时等号 8.C【解析】由题意，设P(m,一3)，切线的方程为 y=长(x一m)一3，则-m二到=1，化简得 成立 √+k : 故选B. (m2一1)k2+6mk十8=0，设两条切线的斜率分别 6.A【解析】令O心=OA+OB,则1OG1=|OA+ 一6m 8 为k1,k2,则k1十k2= 2-1k1k,=m2-1 O1=√3，所以点G是以原点0为圆心W3为半 径的圆上的动点， 将y=0代人直线方程得x=是+m,所以a= ·数学答案（第1页，共6页)· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 子+m,6 3十m 由△ABC的雨现为9得宁acn音=只：= 从面a+6=+是+2m-3+2m= ，得ac=6,又b=,由余弦定理可得7= 33 ik2 一61m 3m2.1+2m=- 。2+c2-2acos号=a2+c2-ac则(a+c)2- 8 4, m2-1 3ac=7,(a+c)2=7+3ac=25,即a+c=5,所以 9+ab=9+82+m)(2+m）-9+8(,+ △ABC的周长为5十√7，故C正确； 根据余弦定理b2=a2+c2-2 accos B=a2+c2- 3,+k2m十m）=-m2, ac,即有a2+c2-ac=7①； kikz 所以9+8a6 一m2 设D为AC的中点，即BD=罗，又因为助= (a+b)7 =一16， 合B时+心，所以时：=子(+心+ 故选C. 2BA.BC),即a2+c2+ac=19②， 9.BD【解析】易得PD=V3,PB=VE,AC= 由①，②得：a2+c2=13,ac=6,所以(a十c)2= √AB2+BC=√5=BD,PC=√AP2+AC=2,且 a2+c2+2ac=25,所以a十c=5, △PBC为等腰直角三角形，因为CD∥AB,AB与 因为BM为∠ABC的角平分线，所以S△Aw十 PB不垂直，所以CD与PB不垂直，所以CD不垂 1 1 直于平面PBC,故A错误； SacM=Sac,则zc·BM·sin30°+za· 因为AB∥CD,所以∠PCD(或其补角)是直线PC BM·sin30=ad 与AB所成的角，所以cos∠PCD= 2acsin 60, Dt8 CD-装=安所以∠c0= 即BM=3ae=6V 二，故D正确. 2CD·PC a+c 5 60°，故B正确； 故选BCD. 由PA⊥平面ABCD,得PA⊥BD,假设AE⊥BD 11.ABD【解析】由题意ag=C,-132-1-,所以 成立，则BD⊥平面PAC,所以BD⊥AC,与题意 a。=32-1,a1=(2n-1)32m-2,所以a1= 矛盾，故C错误； (21-1)32 3 一，即3a1=(2n一1)ao,故A正确： 因为PE=名PC,所以CE=号PC,故Vo= 当n=1时，a。取最大值，n=3时，a1取最大值， 子，m所队D正前 当1≤k≤2m一2时，as取最大值时满足 故选BD. as≥at-'即 C吃-132-1-*≥C%32-*, 解得 l0.BCD【解析】因为asin A一osin B=(a一c)sinC, la≥a*1,C吃-132-1-t≥C,32--2, 由正弦定理得a2一b2=ac一c2,由余弦定理得 c0sB=a2+c2-631 名一1≤k≤分因为n为奇数，所以k=[合一]十 2ac =2 1,故B正确； 又因为B为△ABC的内角，所以B=子，放A 当x=√0时，(x十3)2=(W0+3)21= 错误； 2c, 设△ABC的外接圆的半径为R, (x-3)2-=(W10-3)21= 由正弦定理得品A品B品C一2R,得2R- 2c)3, 6万2√2i sinB=后=3二，所以K二3，政B正确： 两式相域得(W0+3)2--(√0-3)2-= 2(C2-(V1o)-2X3+C2-1(W0)2m×3+…+ ·数学答案（第2页，共6页）· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP C=32-)∈Z, 矛盾； 又因为(W0-3)2∈(0,1)，所以[（√0+ 则a最小，d最大，则d一a=11,结合a+d=15, 3)2]=(V0+3)2m1-（/0-3)2, 解得a=2,d=13,即原样本数据为2,3,4,5,5， [Wo+3)2-1]=2(C1Wo)2w-2×3+ 6,10,13,所以新的数据分别为8,9,10,11,11， C8-1(0)24-×33+…+C2a32-), 12,16,19,平均数为12， 所以[（√0+3）2-1]除以10的余数与 所以新数据的方差为2=8[(-4)2+（一3)2+ 2Ca-3-1除以10的余数相等， (-2)2+(-1)2+(-1)2+0+42+7]=12. 即[(V而+3)4-1]的个位数即为2×32-1的个 位数，当n=1时，2×32-1=6，当n=2时，2× 14.5-(2+5)(合）” 【解析】作出示意图如下： 32-1=54,所以[（√0+3）-1]的个位数还可 设A,O直线与底面ABC的交点为E, 以是4，故C错误： (3+1C-32-)2= aacr=rx2c 一方面代数式(1+x)2的展开式中，x-1的 系数为Cm, 另一方面代数式(1十x)a-1(1十x)中，x24-1 的系数为C2-1C2二+C2-1C二+…+CC2-1= 则根据题意可知O为A,E的中点，所以OA,= 8c, -0苑， 因为(1+x)1(1+x)2-1=(1十x)-2,所以 又0叭++3i-+20心+o耐-0， 会cC)-c,从雨2gm 所以o=2%3Oi-+20花+o耐，又A,B, 3"C二，故D正确. C,E四点共面，且OA,O,O心不共面， 故选ABD. 12.-3【解析】设f(x)=sin2x十cosx,则 所以2%+3+2+1=1。 f'(x)=2cos2x-sinx,所以∫'(5）=2cosr- 所以品=+2所以2a年中=合· a。 Qm+】 1 sin登=-3，故y=f)在x= 处的导数为 2+1' -3. 13.12【解析】由题意知，号[a+)+6+)+ 2n+}是以为首项。 因为2=含所以数列}生 (c+x)+(d+x)+(3+x)+(4+x)+(6+ 合为公比的等比数列， x)+(10十x)]=2x,所以2x=12,解得x=6,所 所以z一所以a.20出， 1 以a十b+c+d=25,不妨设a≤b≤c≤d,因为样 2" 本数据的众数为5，所以a,b,c,d中至少有两个 数为5，由中位数为5，易知b=c=5,a≤5，d≥5， 所以s.=2++++2a0+1, 3+5+7」 所以a十d=15, 原样本数据中若3最小，则d一3=11，解得d= .=+++…+， 2n*】 14,a=1,矛盾： 1 若10最大，则10-a=11,解得a=-1,d=16, 2、 ·数学答案（第3页，共6页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 1 2m+1_3 则T.=1+lb吉+2+la号+3+los号++ 2m+1 2m+1=5-(2m十 1一2 2a-na士+og专+los:号+ n+logs 2n+1 2 5)), 1og,号+…+log,2别 2n-1=n(n+12+ 2 所以S.=5-(2m+5(合)”： 1 lo82n+1' (11分) 15.解：(1)f(x)=25sin(x+)cos(x+） 1 由于T.≤2n2+2n-4, 2osx=5sin2x+5）-2os2x=(分in2x+ 可得2a中+1o82中≤72+70-4 悟os2z)-1+os2x)=snlx+）-1, 所以1o8s2中≤-4=1og,即2≤ 1 (3分) 即81≤2n+1,即n≥40， (14分) 所以”的最小值为40， (15分) 所以西数了(x)的最小正周期为受=元 (5分) 17.解：(1)由题意可知△ACD为等边三角形， 令2x+后=kE乙，解得x=-是+受k∈乙 因为FA⊥底面ABCD,ADC平面ABCD,故 FA⊥AD, 故了(x)图象的对称中心为(-登+经，-)， 又平面ACD∩平面ADEF=AD, 所以平面ACD⊥平面ADEF, (1分) k∈Z. (7分) 如图， (2)令-登+2km<2x+若<登+2x,k∈乙，此 时f(x)单调递增. : 解得一音+x<x<看+kr,k∈乙， (9分) 因为x∈(o,), C 所以f(x)在区间(o,)上单调递增，在区间 过点C作CQ⊥AD于点Q,所以CQ⊥平面 ADEF, (2分) (侣，受)上单调递减。 (13分) 因为△ACD为等边三角形，所以CQ=√3，则点 16.解：(1)3a1+5a2+7a3+…+(2n+1)am=3+ C到平面ADEF的距离d=√3， (n-1)·3+①， 过点E作EG⊥AF于点G, (3分) 当n≥2时，3a1十5a2十7a,十…+(2m-1)am-1= 所以SaMa=合AP,GE=2×8X2=3,5分) 1 3+(n-2)·3②， (3分) ①-②可得(2+1)an=(n-1)·3"+1一(m-2)· 所以Vx=Veas=吉Se·d=尽。7分) 3-(2m-103,即a (2)分别取AB,AF靠近点A的三等分点H,G, ·3(m≥2)， 连接GE,GH,AE,HE, (6分) 当n=1时上式也成立，故数列(a.}的通项公式 侧是-架-号所以GH/BF, 为a,=203 又GH亡平面BCF,BFC平面BCF,所以GH∥ (7分) 平面BCF, (8分) (2)b=logsa.=n+l0g32+ .2n-1 (8分) 因为DEAF,AG=专AF,FA=3DE=3,所以 ·数学答案（第4页，共6页）· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP DE∥AG,DE=AG, (9分) (1+4k2-m2)>0,所以1+4h2>m2,(8分) 所以四边形ADEG是平行四边形，所以 因为OM⊥ON,所以OM.ON=x1x2十y1y2= GE∥AD, (10分) 0, (9分) 因为AD∥BC,所以GE∥BC,又GE中平面 即x1x2十(kx1+n)(kx2十m)=0, BCF,BCC平面BCF,所以GE∥平面BCF, (1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, (11分) (1+k2)X4m2-4+-863m2 1+4k2 1+4k2 十m2=0,整理得 且GH∩GE=G,GH,GEC平面GHE,所以平 面GHE平面BCF, (12分) 5m2-4k2-4=0, 由题意知M在线段HG上时，ME∥平面BCF. 4 即m2=5k2+1), (10分) 所以点M的轨迹长度为HG=专BF=号× 5(1+) V3+2= 所以|OH|= m 25 (15分) 1+k √1+k2 5 3 18.解：(1)因为点G0,1),0芯=λ0，所以T(0, 综上，1OH1=2 等，OH为定值. (11分) ）,因为5=0心，所以S0,A), (2分) (Ⅱ)因为O,M,R,N四点共圆，所以四边形 OMRN的对角互补，又因为OM⊥ON,所以 枚直线AS的方程为y=号(x+2),直线BT的 RM⊥RN, (12分) 所以RM·RN=(x1一xo)(x2-xo）十y1y2= 方程为y=一京红一2】， 1 (3分) 0,即(x1一xo)(x2一xo)+(kx1十m)(kx2十m)=0, 两式相聚得y=一c公-40，即 4+y2=1(y≠ (1+k2)x1x2+(km一xo)(x1十x2)+m2+ x=0, 0). (4分) (2)因为OM1ON,lOH1=1 OMIIONI,所以 故(1+6)×4m2二4」 1+4软+km一o) +4软+m2+ -8km MN x=0, IOH|IMN|=IOM|ION|=2S△oww,(5分) (1+k2)(4m2-4)-8km(km-xo)+（m2+ 所以|OH|即为点O到直线MN的距离，设M x)1+4k2)=0, (x1y1),N(x2y2), 化简得8kmx。+x(1十4k2)=0,因为x>0,所 (i)当直线L的斜率不存在时，|ko|= |kox|=1, 以xo=一 8km 1+4k2) y1=x1, 64X写62k2+1) 4 不妨设kom=1,则 += 联立得=号， 故x行= 64k2m2 (1+4k2)2 (1+4k2)2 256k2(k2+1) 所以OH川=x=25, (13分) 5， (6分) (1+4k2)F, 当直线↓的斜率存在时，设直线！的方程为y= -1.+3 44= kx+m, 令1=1+42，则x6=256 5 2 [y=kx十m, 联立方程 （-+2+)=-2-》°+ +y2=1, 化简得(1+4k2).x2+ (15分) 8kmx+4m2-4=0, 所以+=银-装 当且仅当1=3即k:=合时等号成立，此时m2= △=(8km)2-4×(1+4k2)(4m2-4)=16× 号+1)=g,即=士竖，m=士，由 ·数学答案（第5页，共6页）· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP xo>0知，km<0,所以当x。取最大值时，直线↓ 当x∈(0，t1)时，g'(x)>0,即g(x)单调递增， 的方程为y-气-室y-号+ 当x∈(1，十∞)时，g'(x)<0,即g(x)单调 递诚， (17分) 又g(0)=0,所以g(1)>0, 19.解：(1)当m=0时，f(x)=xln(x十1)，∫'(x)= 当x→十∞时，g(x）→一o, ne+1+z年 (1分) 所以3，∈(11，十∞)，使得g(12)=0 所以当x∈(0,2)时，g(x)>0即(x)>0, )-/G)p()0 所以f(x)单调递增， 所以p(x)在（一1，十∞）上单调递增，即'(x) 当x∈(2，+∞)时，g(x)<0即∫'(x)<0, 所以f(x)单调递诚， (10分) 在（一1，十∞）上单调递增， (2分) 又f(0)=-m>0,所以f(2)>0, 因为∫'(0)=0，所以当x∈（一1,0）时，∫'(x)< 当x+十∞时，f(x)+一∞， 0:当x∈(0，十∞)时，f(x)>0, (3分) 所以3x1∈(2，十∞)，使得∫(x1)=0, 故∫(x)的单调递减区间为（一1,0），单调递增区 故当一1<m<0时，f(x)有且仅有一个零点. 间为(0，十∞) (4分) (11分) (2)f(x)=xln(x十1)+mx2-m,则'(x)= (3)由(x+2)f(x)≥mx3+2(m十1)x2-x-2, ln(x+1)+z++2mz, 整理得x(x+2)ln(x十1)≥m(x+2)+2x2- 食ge)-了e,ge)=h+a中n+ x-2, 因为x>-1,所以x+2>1>0,故xln(x+1)≥ 2m, (5分) m+2x2 ga)=中+中+2加在一1，+oy上 x十2-，所以m≤znx+1)一2+7 1 (13分) 单调递域， (6分) 令)=hx+1)二2则9=1 当x∈(-1,0)时，g'(x)>g(0)=2m+2>0, x+1 所以g(x)在（一1,0）上单调递增，又因为g(0)= 4 r2 (x+2)2-(z+1)0z+2)≥0， (14分) 0,所以g(x)<0,即f'(x)<0, (7分) 所以9(x)在（一1，十∞）上单调递增，又因为 所以f(x)在（一1,0）上单调递诚，故∫(x)> f(0)=一m>0,故∫(x)在(-1,0)上无零点， p(0)=0, 所以当x>0时，p(x)>0,xp(x)>0;当-1< (8分) x<0时，p(x)<0,xp(x)>0;当x=0时， xp(x)=0,从而对Vx∈（一1，十∞），xp(x)≥ 0,当且仅当x=0时等号成立， (16分) t2m-m2m-2+1<0,g'0)= (m-1)2 即xhe+)-2 +2≥0，所以xln(x+1)- 2x2 z+2+1≥1，从而m≤1. (17分) 2m+2>0,显然-1>1>0，所以3L1∈ (o,-)g'u)=0, (9分) ·数学答案（第6页，共6页)· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP