精品解析：江苏省天一中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（理科强化班）

江苏省天一中学2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学学科（理科强化班） 命题人 何爱君 审阅人 李伟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，，且，则（ ） A. B. 9 C. 3 D. 2. 已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，则当时，点的横坐标为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 4 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 6. 设无穷数列的前n项和为，定义，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，则 D. 当时， 7. 已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数在定义域上单调递增，则称函数具有“Z魔力”，下列函数中具有“Z魔力”的是（ ） A. B. C. D. 10. 在如图所示试验装置中，两个长方形框架与全等，，，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子分别在长方形对角线与上移动，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的长最小等于 C. 当的长最小时，平面与平面所成夹角的余弦值为 D. 11. 按照如下方式可得到一条蔓叶线：在抛物线上取一动点，作在该动点处切线，过坐标原点作这条切线的垂线，垂足的轨迹就是如图所示的蔓叶线.下列结论正确的是（ ） A. 点在上 B. 直线是的渐近线 C. 若过点的直线与和抛物线分别交于点，（异于点），则 D. 点到上的点的距离最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对于数列，定义为的“优值”，已知某数列的“优值”为，记数列的前n项和为，若对任意的n恒成立，则实数k的取值范围为________. 13. 设函数在处取得极值，且，当时，最大值记为，对于任意的的最小值为_____________． 14. 过点的直线与抛物线：交于，两点（在，之间）是抛物线的焦点，点满足：，则与的面积之和取最小值时直线的斜率的绝对值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，点在函数的图象上，其中. （1）求证：数列等比数列； （2）设，求及数列的通项； （3）记，求数列的前项和. 16. 在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，，，，底面.点为棱的中点，点为棱的中点. （1）求平面与平面所成夹角的余弦值； （2）设点为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值. 17. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若在上恒成立，求正整数的最大值； （3）若在上有零点，比较与的大小. （参考数据：，，） 18. 已知动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，. （ⅰ）判断并证明直线与是否垂直？ （ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围. 19. 已知数集.若的两个非空子集和满足：，，则称集合和是的一个“分拆”.已知和是的一个分拆，表示数集中所有元素的和. （1）判断并证明与能否相等？ （2）若，，求；（用数值表示） （3）若为给定的偶数，关于的方程有整数根，求的最小值，并写出取到最小值时的所有的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网命组卷网 江苏省天一中学2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学学科（理科强化班） 命题人何爱君审阅人李伟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.设xeR,向量=(，l,1),=(2,-4,2),且a1c,则la+=（) A.22 B.9 C.3 D.3V5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据空间向量垂直的坐标表示求出x,然后根据空间向量的模的公式进行计算即可. 【详解】因为d=x,1,1,c=2,-4,2),d⊥c, 所以a0=2x-4+2=0,解得x=1 所以ā+c=(3,-3,3),所以a+c=√9+9+9=3√5 故选：D 2.已知抛物线y2=4x+1)的焦点为F,P为抛物线上一点，则当PF=2027时，点P的横坐标为( A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得抛物线y2=4(x+1)的准线方程为x=-2,设点P的横坐标为x,结合抛物线的 定义，列出方程，即可求解 【详解】抛物线y2=4x+1)可看作将抛物线y2=4x向左平移一个单位， 因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1, 所以抛物线y2=4x+1)的准线方程为x=-2, 设点P的横坐标为x,, 第1页/共26页 学科网组卷网 由抛物线的定义，可得PF=x,+2=2027,解得x。=2025 故选：B 11 3.己知数列an满足a1=3，am1=an+ ,则a。=() nn+1 A4+ B4-1 C2+1 D.2- 1 n n n n 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得口，=4-1 n 【详解】因为an+1=an+ 11 11 nn+l ，所以an+1-an= nn+11 11 以当n22时，4，-a=a-023,0-a22 n-1 n 累加可得a,-a=(a,-a小+(a,-a,)+…+(a。-a)=1-223 1+1+…+1-1=1-m≥2, 1 n-1 n n 因为a,=3,所以a.=1-1+3=4-1≥2)，当m=1时，4，=3，满足上式， n 1 所以an=4-二， n 故选：B. 4已知数=5n+e-e,若a=-21.b=f付c=fn2,则() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 【答案】A 【解析】 【分析】对函数f(x)求导，根据导函数∫'(x)可得f(x)为R上的增函数，利用单调性比较大小即可. 【详解】由f(x)=sinx+e-ex,得f'(x)=cosx+e+e, :e+er≥2√e.er=2,当且仅当e=er,即x=0时等号成立， 而cosx∈[-l,1],f'(x)=cosx+e*+e>0,即f(x)在R上单调递增， 第2页/共26页 学科网可组卷网 -2<h6<a2.f1-2到<f[fh2.即a<b<e 故选：A 若京=Ka>06>0与释画石+片=1的供点重合，商心本互为到数，设，月分 5已知双曲线C:x-y 1612 别为双线C的左，右点，P为右支上在意一点，则PF的鼓小馆为《) PF, A.C B.7 C.8 D.10 【答案】C 【解析】 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，b,根 据双曲线的定义可得PF,=PF,+2,将其代入 PFP PF 利用基本不等式即可求出其最小值 【详解】因为椭圆士+-】焦点为(2,0，离心率为， 1612 a2+b2=4 a=1 所以可知双曲线 b2 ,解得 x =2 b=3 因为P为双曲线右支上任意一点， 所以PF-PF,=2a=2,即PF=PF+2, 又因为PF≥c-a=1, 所以PRP_(PF+=PF+PE+4之 4 PFPF引 4+422,PFp +4=8, 当且仅当PFP为即PF=2时取等号。 4 PFP 所以 PF2 的最小值为8. 故选：C 6设无穷数列{a,的前n项和为S,定义04=S+S,+…+S(k=12,3）,则（) k 第3页/共26页 可学科网可组卷网 A.当an=1时， S02s2 02025<1 当a,=--阿，32 n(n+1) 时，则02025-S2025>0 D.当an= 2 时，02025-S2025>- 2025 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项不同的通项公式，求出S。与Ok,逐一验证即可 【详解】对于A选项：当a,=1时， k(k+1) =a0,=45=20250 _2026,:.005>1，不正确： k 2 S2025 2 对于B选项：当an=(-l)”-时，Sn在n为奇数时为1，偶数时为0，故 1013.0225>」 1 2025=1,020252025S2052’不1正确： 1 2025 nn+l n+1n+1 又nn+1 ，所以 n+1n+2 1.2 k 12 20252025,2025 2025 一十一十·十 0=23+ 十一十·十 十十 k+1 02025=23+… 2026<202620262026_2025÷205<S5,不 2025 2025 2026 正确； 对于D选项：当a=2 时 第4页/共26页 可学科网可组卷网 11 )2024+ 1 2025- 27,025=1 1 2025, 22025,02025= 222+…+ 2025 2025 1 2026 1 00-5w=2025+2025×2>- ,正确， 2025 故选：D. 7.已知：空间中，过点P(xo,yo,zo)且一个法向量为n=(a,b,c的平面0方程为 a(x-xo)+b(y-y)+c(z-o)=0.据此可知，若平面0的方程为x-y+z+1=0,直线1是两平面 x-y+2=0与2x-z+1=0的交线，则直线1与平面所成角的正弦值为() A② B今 1 D. 3 3 V57 N57 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得出平面的一个法向量，再得出相交于直线的两个平面的法向量，由这两个法向量求出 直线的方向向量，由平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值。 【详解】由题意知平面0的一个法向量是m=(1,-1,1), 平面x-y+2=0与2x-z+1=0的法向量分别是a=(1,-1,0),b=(2,0,-1), 设直线1的一个方向向量为n=(x,y,z), n⊥a n.a=x-y=0 则 (万1方'所以 i.b=2x-z=0 ，取x=1,得n=(1,1,2), 所以cos(m,= m_1-1+2√5 m同3x√63 放直线1与平面Q所成角的正弦值为V 3 故选：A. 8.若关于x的不等式e+e之ax-lny恒成立，则实数a的最大值为〈) A.1 B.2e-1 C.2e D.e2 【答案】D 第5页/共26页 可学科网可组卷网 【解析】 【分析】变形不等式得到C+e2≥alne-ln,设)=g,求导得到函数单调性，得到 t(x)≥t)=e,令f0=1-aln+e2c≥e),则f'0=1-”-二0r≥e)求导得到函数单调性和极值最 值情况，求出f(t)min=f(a)=a-lna+e2,设g(a)=a-ana+e2(a≥e),求导得到单调性，并求出 g(e2)=e2-e21ne2+e2=0,g(a)≥g(e2),所以e<a≤e2,得到答案 【详解】不等式e+e≥a(x-lnx,即+e2≥ane-lnx, 所以g-ang+e≥0.设=g,则r-x- x2 —(x>0), 所以当0<x<1时，t'(x)<0,(x)单调递减： 当x>1时，t(x)>0,t(x)单调递增，所以t(x)≥t(1)=e. 令f0=t-alnr+e2u≥e,则f'o)=1-a=-a≥e. 当a≤e时，f'(t)≥0，f)单调递增，则f(t)≥f(e)=e-a+e2≥0， 故a≤e满足条件； 当a>e时，f(t)在(e,a)单调递减；在(a,+)单调递增，则.f()mm=f(a)=a-lna+e2; 设g(a)=a-alna+e(a≥e),则g'(a)=-lna<0,则g(a)在(e,+oo)上单调递减， 又g(e2)=e2-e2lne2+e2=0,所以g(a)≥g(e2), 所以e<a≤e2,所以a的最大值为e2. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项是符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若函数g(x)=f(x)nx在定义域上单调递增，则称函数f(x)具有“Z魔力”，下列函数中具有“Z魔力” 的是() A./(r)=1 B.f(x)=x-1 C.f(x)=e e f 第6页/共26页 可学科网 可组卷网 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知中函数f(x)具有“Z魔力”的定义，一一验证可得 【详解】对于A,gx)=f()-lnx=lnx定义域为0，+o),则g(x)=1>0恒成立， ex 所以g(y-。hx在(0，+o)上单调递暗，故满足条件， 对于B,g()=f)lnx=(x-):血x定义域为(0，+o),则g(x)=lnx-文+l, m=8=nx+1,xe0,+o,则m'x三+>0，所以m在0，+oJ上单调避 又g(1)=1n1-+1=0,即当0<x<1时g(x)<0,函数gx)在(0,1)上单调递减， 当x>1时g(x)>0,函数g(x)在(1，+∞)上单调递增，故不满足条件； 对于c,g到=f)hn=elnx定义城为0+m,g到=e-lnx+e=eax+ 令到=nx+xe0+a,到-- XX x2 则x>1时，h'(x>0;当0<x<1时h'(x)<0, 即h(x)在(1，+o∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 在x=1处取得极小值即最小值h(x)mn=h(四=1>0， 所以g'(=e血x+ 0恒成立，即g(x)在定义域上单调递增，故C正确； 1 mx 对于D,8=f)-nx=hx定义城为0m,g对-立 e 任n=0g在定义上年a.g<0 ee 故不满足函数gx在定义域上单调递增，故D错误； 故选：AC 10.在如图所示试验装置中，两个长方形框架ABCD与ABEF全等，AB=1,BC=BE=2,且它们所在 的平面互相垂直，活动弹子M,N分别在长方形对角线AC与BF上移动，且CM=BN=a(0<a<V5), 则下列说法正确的是() 第7页/共26页 可学科网 命组卷网 D E A.AB⊥MN B.MN的长最小等于√2 C.当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB所成夹角的余弦值为 3 a225-2 D.VM-ABN= 15 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判断选项A；利用空 间两点间距离公式即可判断选项B；根据二面角的余弦值推导即可判断选项C；根据棱锥的体积计算公式 即可判断选项D 【详解】由题意可知：BA,BC,BE两两互相垂直，以点B为坐标原点，BA,BE,BC为x,y,z轴正方向， 建立空间直角坐标系， M B E 建系可得M 02ya0小w-a2g,2a5i-a 5 5Γ .ABMN=0,.AB⊥MN,故选项A正确； 第8页/共26页 学科网组卷网 2 5a 828W5 -a a+4= +2, 5 5 5 2 :当a=5时，MN=反，威选顶B正确： 当MN最小时，a= ,M,N分别是AC,BF的中点， 5 取MN中点K,连接AK和BK, M B E AM=AN,BM =BN .AK⊥MN,BK⊥MN, :.∠AKB是二面角A-MN-B的平面角 aBMN中，BM=BN= ,Mw=2, 可得BK= BM2-MN:=5,同理可得AK=5 4 2 33 -1 由余弦定理可得cos∠AKB=44 2×3x5 3,故选项C正确， 22 VM-ABN 35xh=x25225a 2V5a-2a2 2 故选项D错误 65 15 故选：ABC 11.按照如下方式可得到一条蔓叶线：在抛物线C:y2=-8x上取一动点，作C在该动点处的切线，过坐标 原点O作这条切线的垂线，垂足的轨迹就是如图所示的蔓叶线E.下列结论正确的是() 第9页/共26页 可学科网可组卷网 A.点1,1)在E上 B.直线x=2是E的渐近线 C.若过点O的直线1与E和抛物线y2=x分别交于点A,B(异于点0)，则OAOB=2 D.点(2,0)到E上的点的距离最小值为8√3-12 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据题意计算出蔓叶线E方程为x+y2-2y2=0,则A选项可直接判断；结合蔓叶线E方 程为x3+y2一2y2=0以及渐近线的相关知识可判断B;联立直线方程与曲线方程即可求出交点A,B,再 计算得0A·0B为固定值4，则C可判断，E上的点(x,y)到点(2,0)的距离为d=V(x-2)2+y2，构 造数=红-2-，20r<2,术用号氨求最小价即可为断D即可 【详解】抛物线C:y2=-8x在原点处的切线为y轴， 过坐标原点O作这条切线的垂线，垂足即为O； 设C:y2=-8x上不同于原点的点 y 8%%≠0， 则该点处的切线斜率存在，设为k、切线方程为y=x+女)十人， 8 代入C:y2=-8x,消去x可得2+8y-y2-8y。=0, 则△=64+4kky2+8y0=0, 即2%2+8%，+16=0，即(，+42=0，即k=-4 第10页/共26页