江苏省天一中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（理科强化班）

江苏省天一中学2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学学科（理科强化班） 命题人 何爱君 审阅人 李伟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，，且，则（ ） A. B. 9 C. 3 D. 2. 已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，则当时，点的横坐标为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. C D. 5. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（    ） A B. C. D. 6. 设无穷数列的前n项和为，定义，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，则 D. 当时， 7. 已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数在定义域上单调递增，则称函数具有“Z魔力”，下列函数中具有“Z魔力”的是（ ） A B. C. D. 10. 在如图所示试验装置中，两个长方形框架与全等，，，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子分别在长方形对角线与上移动，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的长最小等于 C. 当的长最小时，平面与平面所成夹角的余弦值为 D. 11. 按照如下方式可得到一条蔓叶线：在抛物线上取一动点，作在该动点处的切线，过坐标原点作这条切线的垂线，垂足的轨迹就是如图所示的蔓叶线.下列结论正确的是（ ） A. 点在上 B. 直线是的渐近线 C. 若过点的直线与和抛物线分别交于点，（异于点），则 D. 点到上的点的距离最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对于数列，定义为的“优值”，已知某数列的“优值”为，记数列的前n项和为，若对任意的n恒成立，则实数k的取值范围为________. 13. 设函数在处取得极值，且，当时，最大值记为，对于任意的最小值为_____________． 14. 过点的直线与抛物线：交于，两点（在，之间）是抛物线的焦点，点满足：，则与的面积之和取最小值时直线的斜率的绝对值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，点在函数的图象上，其中. （1）求证：数列是等比数列； （2）设，求及数列的通项； （3）记，求数列的前项和. 16. 在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，，，，底面.点为棱的中点，点为棱的中点. （1）求平面与平面所成夹角的余弦值； （2）设点为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值. 17. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若在上恒成立，求正整数的最大值； （3）若在上有零点，比较与的大小. （参考数据：，，） 18. 已知动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，. （ⅰ）判断并证明直线与是否垂直？ （ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围. 19. 已知数集.若的两个非空子集和满足：，，则称集合和是的一个“分拆”.已知和是的一个分拆，表示数集中所有元素的和. （1）判断并证明与能否相等？ （2）若，，求；（用数值表示） （3）若为给定的偶数，关于的方程有整数根，求的最小值，并写出取到最小值时的所有的集合. 江苏省天一中学2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学学科（理科强化班） 命题人 何爱君 审阅人 李伟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】##08 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）， （3） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）答案见解析； （2）1 （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $