精品解析：江苏盐城市盐都区2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试卷

2025/2026学年度第一学期期末学业质量检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，点数为6的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的弦，半径于D，若的半径为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，一定有外接圆的是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 6. 如图，，直线与分别相交于点和点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如下表：则这十一双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ） 尺码/码 40 41 42 43 44 购买数量/双 2 4 2 2 1 A. 40，41 B. 41，42 C. 42，43 D. 41，41 8. 在中，，若，则的值是（   ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________． 10. 若一元二次方程的一个根是，则__________． 11. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 12. 如图，四边形内接于，若，则的度数是___． 13. 如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为_______． 14. 如图，圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长，圆锥高为，则该圆锥的母线长为____． 15. 二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x ··· 0 1 ··· y ··· 1 1 ··· 对于下列结论：①二次函数的图象开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若是二次函数图象与x轴交点的横坐标，则，其中正确的是____．（填序号） 16. 在中，，，，是边上的一点，是边上的一点（，均与端点不重合），如果与相似，那么____． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程∶ （1）； （2）． 18. 小明和父母计划年寒假从盐城市的四个著名景点：中华麋鹿园、丹顶鹤湿地生态旅游区、盐城海盐历史文化景区、大丰荷兰花海中随机选择景点游玩． （1）若小明一家从中随机选择一个景点游玩，则选中盐城海盐历史文化景区的概率为___； （2）若小明一家从中随机选择两个景点游玩，求选中中华麋鹿园和盐城海盐历史文化景区的概率． 19. 王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）： 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 a 6 乙 b 7 c d （1）以上成绩统计分析表中_______，________，______； （2）d______（填“＞”、＜或“＝”）： （3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由． 20. 已知关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）设该方程的两个根分别是、，若．求的值． 21. 如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． （1）求证； （2）若，，求的度数． 22. 如图，，连接，交于点C． （1）求证：； （2）若，则的度数为_____ 23. 二次函数的图像经过，． （1）求二次函数的表达式； （2）该二次函数图像与x轴交于C、D两点，则的面积为______； （3）将该二次函数图像向上平移______个单位长度，恰好与坐标轴有两个公共点． 24. 某厂生产的零件成本为20元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为30元/个时，月销售量为560个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少8个．该厂生产的零件向车企进行销售． （1）为使月销售利润达到9600元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元/个？ （2）设该厂所取得的月销售利润为W元，问当售价定为多少元/个时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图1，在中，，以为直径的分别交、于点、． （1）求证：； （2）若，，则__； （3）结合第（1）问的结论，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图： 如图2，已知及外一点，在上取一点，连接交于点，使得．(保留作图痕迹，简要写出作法) 26. 阅读材料，回答问题 主题 直角三角形中最大内接正方形的截取探究 提出问题 要在一个直角三角形中截取最大内接正方形，只有两种情况：一种是正 方形的两边落在两条直角边上；另一种是正方形一边落在斜边上，有两个顶 点分别落在两条直角边上．那么，哪种截取方法所得到的内接正方形的面积 最大？ 特例感知 在，，，． 问题1： （1）小明同学所截取正方形的两边落在两条直角边上，请在图1中求 作符合要求的正方形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直 接写出所截取正方形的边长为 ； 问题2： （2）小红同学所截取正方形一边落在斜边上，有两个顶点分别落在两 条直角边上，如图2所示，请求出所截取正方形的边长． 猜想验证 由上述特例，可以猜想并验证两种截取内接正方形的边长大小关系． 问题3： （3）对于任意，，，，，设按 小明方法所截取的正方形边长为，按小红方法所截取的正方形边长为，试 比较，的大小，并说明理由． 27. 综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025/2026学年度第一学期期末学业质量检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（）未知数的最高次数是；（）二次项系数不为；（）是整式方程；（）含有一个未知数．根据这四个条件对四个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 是一元一次方程，不符合题意； B. 是分式方程，不符合题意； C. 是一元二次方程，符合题意； D. ，当时不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，点数为6的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算方法是解题的关键． 骰子由6种等可能结果，点数为6的结果有1种，根据概率的计算即可求解． 【详解】解：根据题意，骰子由6种等可能结果，点数为6的结果有1种， ∴点数为6的概率是， 故选：C ． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故选：A． 4. 如图，是的弦，半径于D，若的半径为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差求出答案即可． 【详解】解：连接， 则， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 故选：A． 5. 下列图形中，一定有外接圆的是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 6. 如图，，直线与分别相交于点和点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如下表：则这十一双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ） 尺码/码 40 41 42 43 44 购买数量/双 2 4 2 2 1 A. 40，41 B. 41，42 C. 42，43 D. 41，41 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【详解】由表可知41出现次数最多，所以众数为41， 因为共有2+4+2+2+1=11个数据， 所以中位数为第6个数据，即中位数为41， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 8. 在中，，若，则的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义可得，据此解答即可． 【详解】解：如图： 在中，， 、， ， 故答案为：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了求平均数．计算这组数据的和，然后除以数据的个数，即可作答． 【详解】解：依题意，数据之和为， ∵数据的个数为， ∴平均数为． 故答案为：10． 10. 若一元二次方程的一个根是，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】将x=2代入一元二次方程，即可求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为x=2， ∴22-6+m=0， 解得，m=2， 故答案为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出m的值． 11. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此可得答案． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，四边形内接于，若，则的度数是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．利用圆内接四边形的对角互补这一性质，直接通过已知角的度数求出未知角的度数． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键． 所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比． 【详解】解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 14. 如图，圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长，圆锥高为，则该圆锥的母线长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，先根据侧面弧长等于底面圆的周长求出半径，然后根据勾股定理求出母线长即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l， 则， 解得， ∴， 故答案为：． 15. 二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x ··· 0 1 ··· y ··· 1 1 ··· 对于下列结论：①二次函数的图象开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若是二次函数图象与x轴交点的横坐标，则，其中正确的是____．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据表格数据，利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质判断各结论． 【详解】解：将代入得，， 将和代入得， 解得 ∴， ①∵， ∴二次函数的图象开口向下， 该选项正确； ②抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小， 该选项正确； ③由①得二次函数的图象开口向下， ∴抛物线顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 当时，， ∴二次函数的最大值是， 该选项错误； ④根据题意得， ， 该选项正确； 故答案为：①②④． 16. 在中，，，，是边上的一点，是边上的一点（，均与端点不重合），如果与相似，那么____． 【答案】；； 【解析】 【分析】先通过勾股定理逆定理判定为直角三角形．再根据与相似的三种对应顶点情况，分别推导计算的长度． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，， 情况：（对应顶点，，）， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为中点， ∴， 情况：（对应顶点，，）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 情况：（对应顶点，，）， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理、垂线定义、相似三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等，并分类讨论相似的对应情况是解题的关键． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程∶ （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，． 18. 小明和父母计划年寒假从盐城市的四个著名景点：中华麋鹿园、丹顶鹤湿地生态旅游区、盐城海盐历史文化景区、大丰荷兰花海中随机选择景点游玩． （1）若小明一家从中随机选择一个景点游玩，则选中盐城海盐历史文化景区的概率为___； （2）若小明一家从中随机选择两个景点游玩，求选中中华麋鹿园和盐城海盐历史文化景区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图求概率． （1）根据等可能事件的概率公式计算即可． （2）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到其中选中和景区的次数，计算即可. 【小问1详解】 解：从四个著名景点中选择一个，选中盐城海盐历史文化景区的概率是； 【小问2详解】 解：四个景点分别为：， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中选中和景点的结果有：，共种， 小明一家选中和景点的概率为． 19. 王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）： 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 a 6 乙 b 7 c d （1）以上成绩统计分析表中_______，________，______； （2）d______（填“＞”、＜或“＝”）： （3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由． 【答案】（1）6，7，7 （2） （3）乙同学，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果； （2）根据平均数和方差的计算结果求出答案； （3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可． 【小问1详解】 解：甲数据从小到大排列，第5、6位都是6，故中位数为； 乙的平均数， 乙的数据中7最多有4个，所以众数， 故答案为：6，7，7； 【小问2详解】 ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 选择乙同学， 理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定． 【点睛】本题主要考查了平均数、众数、方差的有关概念，在解题时要能根据方差的计算公式求出一组数据的方差是本题的关键． 20. 已知关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）设该方程的两个根分别是、，若．求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论； （2）利用根与系数的关系求得，，代入，解方程即可求解． 【详解】（1）， 不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）根据题意得，， ， ． 解得：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式：，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程无实数根． 21. 如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． （1）求证； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 证明：四边形内接于圆， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 22. 如图，，连接，交于点C． （1）求证：； （2）若，则的度数为_____ 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形相似判定与性质，三角形内角和，掌握三角形相似判定与性质是解题关键． （1）根据，得出，，根据比例性质得出，可证，根据三角形相似判定定理即可证明； （2）根据相似三角形的对应角相等得到，利用三角形内角和解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， 即，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 23. 二次函数的图像经过，． （1）求二次函数的表达式； （2）该二次函数图像与x轴交于C、D两点，则的面积为______； （3）将该二次函数图像向上平移______个单位长度，恰好与坐标轴有两个公共点． 【答案】（1） （2）6 （3）3或4 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出C、D的坐标，从而求出在，再根据进行求解即可； （3）分二次函数顶点坐标恰好在x轴上和二次函数恰好经过原点两点情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入到二次函数解析式中得： ， ∴， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∴不妨设， ∴， ∴， 故答案为：6； 【小问3详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴平移前的顶点坐标为， 当二次函数向上平移4个单位长度时，平移后的顶点坐标为， ∴此时二次函数与x轴只有一个交点，并且与y轴有一个交点．符合题意； 当平移后的二次函数恰好经过原点时，设向上平移t个单位长度， ∴平移后的二次函数解析式为， 把代入到 得， 解得， ∴平移后的解析式为， 令，则，令，则或 ∴此时抛物线与x轴有两个交点，，与y轴有1个交点，即此时二次函数与坐标轴只有2个交点； 综上所述，将该二次函数图像向上平移3或4个单位长度，恰好与坐标轴有两个公共点， 故答案为：3或4． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 24. 某厂生产的零件成本为20元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为30元/个时，月销售量为560个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少8个．该厂生产的零件向车企进行销售． （1）为使月销售利润达到9600元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元/个？ （2）设该厂所取得的月销售利润为W元，问当售价定为多少元/个时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）零件的实际售价应定为40元． （2）当售价定为元时，月销售利润最大，最大利润为12800元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该零件的实际售价应定为元，则利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定答案； （2）依据由题意得，结合（1）该零件的实际售价定为x元，则月销售利润为，进而结合二次函数的性质得到最大值即可． 【小问1详解】 解：设该零件的实际售价应定为元，由题意得： 整理得， 解得：． ∵尽可能让车企得到实惠， 答：零件的实际售价应定为40元． 【小问2详解】 解：由题意得： ， 当时，月销售利润最大，最大利润为12800元． 25. 如图1，在中，，以为直径的分别交、于点、． （1）求证：； （2）若，，则__； （3）结合第（1）问的结论，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图： 如图2，已知及外一点，在上取一点，连接交于点，使得．(保留作图痕迹，简要写出作法) 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定． （1）连接，根据为的直径，可得，根据等腰三角形的性质，即可得证； （2）连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． （3）以为圆心，直径为半径，画弧交于点，连接并延长交于；连接交于，根据（1）的结论，即可得证． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴ 解得： 故答案为：． 【小问3详解】 如图，直线即为所求的直线 26. 阅读材料，回答问题 主题 直角三角形中最大内接正方形的截取探究 提出问题 要在一个直角三角形中截取最大内接正方形，只有两种情况：一种是正 方形的两边落在两条直角边上；另一种是正方形一边落在斜边上，有两个顶 点分别落在两条直角边上．那么，哪种截取方法所得到的内接正方形的面积 最大？ 特例感知 在，，，． 问题1： （1）小明同学所截取正方形的两边落在两条直角边上，请在图1中求 作符合要求的正方形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直 接写出所截取正方形的边长为 ； 问题2： （2）小红同学所截取正方形一边落在斜边上，有两个顶点分别落在两 条直角边上，如图2所示，请求出所截取正方形的边长． 猜想验证 由上述特例，可以猜想并验证两种截取内接正方形的边长大小关系． 问题3： （3）对于任意，，，，，设按 小明方法所截取的正方形边长为，按小红方法所截取的正方形边长为，试 比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）图见解析， （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）用尺规作图作出小明作的正方形，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长； （2）利用相似三角形的性质求出小红作的正方形的边长； （3）利用相似三角形的性质分别把小明、小红作的正方形用含、的代数式表示出来，再用求差法比较两个正方形边长的大小关系． 【详解】（1）解：如下图所示， 作的平分线交边于点， 则有， 过点作，交于点， ， ， 以点为圆心为半径画弧，交于点，连接， 则有， 在和中，， ， ， 四边形是正方形， 正方形就是所求的正方形； 在中，，，， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 正方形的边长为； 故答案为：； （2）解：如下图所示，设所截取正方形的边长为，过点作边上的高线，分别交、于点、I，则，， ，， ， ， ， 解得：， 在正方形中，， ， ， 即 解得：； （3）解：， 理由如下： 如下图所示，按小明方法截取， ， ， 即， 解得：， 如下图所示，按小红方法截取，由， 可得：， ， ， ，即， 解得：， 且，， 即，， ， 即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的面积、尺规作图、分式的加减混合运算、求差法比较分式的大小． 27. 综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】任务①；米；任务小明会被照射到 【解析】 【分析】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，涉及正弦、余弦、正切三角函数的运用，等腰三角形的性质与勾股定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角函数是解题关键． 任务1：①如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； 任务2：如图，过点作交于点，在中，米，米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍， （米）， 如图，过作于，而， 故答案为：; ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， 由条件可知米， 在中，， 又， 解得：米， 此时影子的长度为米； 任务2：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点 由条件可知， 由条件可知是等边三角形， 米， . 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $