第7章 认识概率 小结与思考 同步练习2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第7章 认识概率 小结与思考 同步练习 一、单选题 1．下列事件是不确定事件的是(   ) A．太阳从西边升起 B．多边形的内角和等于360° C．三角形任意两边之差小于第三边 D．三角形任意两边之和大于第三边 2．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是奇数 B．某一天一定会下雨 C．开车到达一个路口，一定遇到绿灯 D．13个人中至少有两个人出生月份相同 3．下列说法正确的是（    ）． A．要了解一批炮弹的杀伤半径，采用抽样调查的方式 B．抛掷一枚硬币正面朝上的机会与抛掷一支铅笔笔尖朝上的机会一样大 C．某彩票的中奖率为，九年级每个班有50人，其中三个班的同学每人买一张这种彩票则一定会有同学中奖 D．某同学对武汉某社区家庭调查后发现，拥有小轿车的家庭占，于是他得出结论：武汉市拥有小轿车的家庭的百分比为 4．下列事件中，属于随机事件的是（） A．哥哥的年龄比弟弟的年龄大 B．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球 D．三角形的两边之和小于第三边 5．数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验， 多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 400 由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为（   ） A． B． C． D． 6．下列事件中，是必然事件的是( ) A．任意买一张电影票，座位号是的倍数 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数是质数 C．人中有两人的生日在同一天 D．一个射击运动员每次射击的命中环数 7．一个不透明的口袋中装有个红球，为了估计红球的个数，向口袋中加入2个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 8．小武在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种说法：①摸出的小球标号都小于4是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球虽然是随机的，但可能性不一样．则（　　） A．只有说法①正确 B．只有说法①错误 C．说法①②都正确 D．说法①②都错误 9．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数 C．一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球 D．在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 二、填空题 10．某商场“元旦”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘.商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 800 1000 落在“洗衣液”区域的次数 60 122 240 295 472 604 落在“洗衣液”区域的频率 请估计当很大时，获得“洗衣液”的概率是 ．（精确到） 11．“太阳每天从东边升起”是 事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”） 12．以下事件的可能性大小关系为 ．（由小到大写出序号） （1）销量很大某种彩票中了一等奖； （2）掷一枚质地均匀的骰子，得到的结果为偶数； （3）4个球随机放入3个盒子中，至少有一个盒子中的球数不少于2个； （4）自然状态下水往高处流． 13．斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于金州勇士队，下表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录： 罚球总数 400 1000 1600 2000 2887 命中次数 348 893 1432 1802 2617 罚球命中率 0.87 0.893 0.895 0.901 0.906 根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为 （精确到0.1） 14．下列事件中是确定事件的是 （填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 15．二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，抗损性强，备援性大，成本便宜等特性，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发．如图是一张边长为的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 ． 三、解答题 16．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子个数 发芽种子个数 发芽种子频率（结果保留小数点后三位） 一般地，种子中大约有多少是不能发芽的？ 17．请用“一定”、“很可能”、“可能性极小”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等语言来描述下列事件的可能性． (1)买20注七星彩票，获特等奖500万； (2)袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球； (3)掷一枚均匀的骰子，6点朝上； (4)100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品； (5)早晨太阳从东方升起； (6)小丽能跳高． 18．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共个，某小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 … 摸到白球的次数 … 摸到白球的频率 … (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ； (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ； (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？ 19．（1）小徐抛一枚硬币20次，有11次正面朝上，当她抛第21次时，正面朝上的概率为______． （2）通常单项选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．现有20道选择题，小明认为只要在每道题中任选1个选项，其中必有5题的选择结果是正确的，请你从频率与概率的角度分析小明的推断是否正确？ 20．某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制了如图所示的统计图，根据图中信息回答问题．    (1)估计该运动员正中靶心的概率为________；（结果精确到0.1） (2)在一次练习中，他一共打了160枪，试估计他正中靶心的枪数为多少枪？ 21．市工商部门对某批次产品的质量进行了抽样检查，结果如下表所示： 随机抽取的产品数 10 20 50 100 200 500 1000 合格的产品数 9 19 47 93 467 935 合格率 解答下列问题： (1)表格中，________，________； (2)根据上表，在下图中画出产品合格率变化的折线统计图；      (3)根据图表可得，从这批产品中，任意抽取一个，它是合格品的概率约为________； (4)如果重新抽取1000个该产品进行质量检查，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？产品的合格率变化有什么共同的规律？ 22．民间有种折纸玩具“东南西北”，每每想起它，都能唤起我们对美好童年的回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．图①是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图②所示． (1)随机挑选出的一面写有“文具”是____________事件（填“必然”“随机”或“不可能”）． (2)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品．经过多次试验后得到数据如下： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为____________． 23．某商场开业期间为了吸引顾客，推出了有奖销售的促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘）．下表是此次促销活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 600 800 1000 落在“红色”区域的次数m 60 122 240 357 b 603 落在“红色”区域的频率 0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.603 (1)a＝ ；b＝ ． (2)转动该转盘一次，估计指针落在“红色”区域的概率约是 ；（结果精确到0.1） (3)在该转盘中，估计“黄色”区域的扇形的圆心角约是多少度？（结果精确到） 24．在一个不透明的袋子中，装有9个大小、质地完全一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出个球，在这个球中，红球、白球、黑球至少各有一个．当或时，判断事件是何种事件，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据事件发生的可能性大小对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A. 太阳从西边升起是不可能事件，不符合题意； B. 只有四边形的内角和是360°，故是不确定事件，符合题意； C. 三角形任意两边之差小于第三边是必然事件，不符合题意； D. 三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．． 2．D 【分析】本题考查了事件的分类，掌握必然事件，随件事件的概念是关键． 必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生；随机事件；指在一定的条件下重复进行试验时，可能发生也可能不发生的事件；根据上述概念判定即可． 【详解】解：A、抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是奇数，是随机事件，不符合题意； B、某一天一定会下雨，是随机事件，不符合题意； C、开车到达一个路口，一定遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； D、13个人中至少有两个人出生月份相同，是必然事件，符合题意； 故选：D ． 3．A 【详解】A、要了解一批炮弹的杀伤半径，采用抽样调查的方式，故A正确； B、因为抛掷一支铅笔不是等可能性的随机事件，和抛一枚硬币的实验情况不好比较，故B错误； C、彩票中奖的机会是，并不表示买100张彩票就一定会中，故C错， D、用样本估计总体时，抽取的样本应具有广泛性的，代表性，全面性，故D错． 故选A． 4．B 【分析】本题考查随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，据此进行判断即可． 【详解】解：哥哥的年龄比弟弟的年龄大是必然事件，则A不符合题意； 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，则B符合题意； 6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球是必然事件，则C不符合题意； 三角形的两边之和小于第三边是不可能事件，则D不符合题意． 故选：B． 5．B 【分析】分别计算每次的频率即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，， ∴任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为， 故选：B． 【点睛】此题考查利用频率得到大量重复实验的概率，掌握计算公式是解题的关键． 6．C 【分析】根据必然事件的定义对题目中的四个逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：、任意买一张电影票，座位号是的倍数，是随机事件，不符合题意，排除； 、掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数是质数，是随机事件，不符合题意，排除； 、人中有两人的生日在同一天，是必然事件，符合题意； 、一个射击运动员每次射击的命中环数，是随机事件，不符合题意，排除， 故选：． 【点睛】此题考查了随机事件和必然事件，解答此题的关键是理解随机事件和必然事件的定义． 7．A 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握概率计算公式是解题关键． 根据频率稳定在附近，可知摸到红球的概率为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】∵总球数为，红球数为，摸到红球的概率为， ∴， 解得， 即， ∴， 即， ∴， 经检验，符合题意， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查的是可能性的大小及随机事件，根据可能性大小的定义解答即可，熟知随机事件与必然事件的定义是解题的关键． 【详解】解：∵四个小球分别标号为1，2，3，4， 摸出的小球标号都小于4是不可能事件，故①错误； ∵每个标号只有一个小球， ∴摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球是随机的，可能性一样，故②错误， 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了折线统计图，样本频率估计总体概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，该选项不符合题意； 、掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数的概率为，该选项不符合题意； 、一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球的概率为，该选项符合题意； 、在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯的概率为，该选项不符合题意； 故选：． 10． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定得到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计事件发生的概率．由统计数据，可知落在“洗衣液”区域的频率逐渐稳定在，故获得“洗衣液”的概率为． 故答案为：． 11．必然 【分析】本题考查了随机事件的概念，掌握知识点是解题关键．根据必然事件的概念进行判断即可． 【详解】解：太阳每天从东边升起是必然的， ∴太阳每天从东边升起是必然事件， 故答案为：必然． 12．（4）（1）（2）（3） 【分析】此题考查了事件可能性的大小，根据题意逐项判断比较即可． 【详解】解：（1）销量很大某种彩票中了一等奖，可能性非常小； （2）掷一枚质地均匀的骰子，得到的结果为偶数，可能性为； （3）4个球随机放入3个盒子中，至少有一个盒子中的球数不少于2个，可能性为1； （4）自然状态下水往高处流，可能性为0． ∴可能性大小关系为（4）（1）（2）（3）． 故答案为：（4）（1）（2）（3）． 13．0.9 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法和正确分析表中数据．根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数之间附近，且精确到0.1， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.9， 故答案为：0.9． 14．②④/④② 【分析】本题主要考查了确定事件和随机事件的定义，掌握确定性事件包括不可能事件和必然事件成为解题的关键． 根据确定事件和随机事件的定义逐个判断即可． 【详解】解：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意； ②对于实数、，有，是不可能事件，是确定性事件，符合题意； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； ④14人中至少有2人在同一个月过生日是必然事件，是确定性事件，符合题意． 故答案为：②④． 15． 【分析】先根据通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右估计点落在黑色部分的概率为，再乘以正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右， 估计点落在黑色部分的概率为， 估计该二维码黑色部分的总面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 16．发芽种子频率：，，，，，，，，，；一般地，种子中大约有是不能发芽的． 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键在于能够熟练掌握大量反复试验下频率稳定值即概率． 根据频率=频数÷总数进行求解，再根据提供的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在左右，据此求出种子中大约有多少种子是不能发芽的即可． 【详解】解：，，，，，，，，，， ∴种子发芽的概率大约为， ∴种子中大约有不能发芽． 答：种子中大约有不能发芽． 17．(1)可能性极小 (2)不太可能 (3)可能 (4)很可能 (5)一定 (6)不可能 【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小，据此逐一判断即可． 【详解】（1）解：买20注七星彩票，获特等奖500万，可能性极小； （2）解：袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球，不太可能； （3）解：掷一枚均匀的骰子，6点朝上，可能； （4）解：100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品，很可能； （5）解：早晨太阳从东方升起，一定； （6）解：小丽能跳高，不可能． 【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间． 18．(1)； (2)，； (3)口袋中黑、白两种颜色的球各有和个． 【分析】（）观察表格中的统计数据，即可得出结论； （）根据摸到白球的频率，可以得出摸到白球的概率，进而可以求出摸到黑球的概率；（）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少个； 本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是正确理解频率和概率之间的关系． 【详解】（1）根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）因为当很大时，摸到白球的频率将会接近；所以摸到白球的概率是；摸到黑球的概率是； 故答案为：，； （3）因为摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是，所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球是个，黑球是个， 答：口袋中黑、白两种颜色的球各有和个． 19．（1）；（2）不正确，理由见详解 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）根据大量重复试验中事件发生的频率约等于事件发生的概率即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：当她抛第21次时，正面朝上的概率为； 故答案为； （2）小明的推断是不正确的，因为20题的题量较小，只有当题量很大时，在每道选择题中任选1个选项，其选择结果正确的频率才能在常数0.25附近摆动，由此才可以估计其选择的结果正确的概率为0.25． 20．(1)0.8 (2)128枪 【分析】本题考查了频率，用频率估计概率，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从图中获取准确的信息． （1）由图可确定频率，根据频率与概率的关系确定概率即可； （2）根据估计他正中靶心的枪数为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，该运动员正中靶心的频率在0.8附近摆动，他正中靶心的概率估计值为0.8， 故答案为：0.8； （2）解：由题意知，， ∴估计他正中靶心的枪数为128枪． 21．(1)，187 (2)见解析 (3) (4)结果很可能会不一样，但随着抽取产品数量的增加，它们的合格率都会稳定在左右 【分析】（1）根据合格率等于进行计算即可； （2）结合表格中的数据，画出折线图即可； （3）结合折线图，利用频率估计概率即可； （4）根据频率估计概率作答即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，187； （2）画出折线图如图：      （3）由折线图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在， ∴概率为； 故答案为：； （4）结果很可能会不一样，但随着抽取产品数量的增加，它们的合格率都会稳定在左右． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键． 22．(1)随机 (2)3 【分析】本题考查了随机事件的概念、用频率估计概率的方法，掌握随机事件的定义，以及用频率估计概率的步骤是解题的关键． （1）根据必然、随机、不可能事件的定义，结合图中面的内容，判断抽到写有文具的面是否具有不确定性； （2）先计算获得钢笔的频率，用频率估计概率，再结合总面数计算写有钢笔的面数． 【详解】（1）解：∵图②中既有写文具的面，也有写零食、图书的面，随机挑选时，可能抽到文具，也可能抽到其他内容， ∴这是随机事件． （2）解：先计算获得钢笔的频率：试验次数越多，频率越接近概率，取160次试验的数据，频率为． ∵总面数为8，用频率估计概率， ∴写有钢笔的面数为． 23．(1)； (2)0.6 (3)“黄色”区域的扇形的圆心角约是 【分析】（1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数； （2）从表中频率的变化，估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，指针落在“红色”区域的概率约是0.6， （3）可根据“黄色”区域的的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可估计“黄色”区域的扇形的圆心角． 本题考查了，利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.595；472 （2）解：估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，指针落在“红色”区域的概率约是0.6， 故答案为：0.6， （3）解：， 故答案为：“黄色”区域的扇形的圆心角约是． 24．当时，是不可能事件；当时，是随机事件 【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，结合摸球数量分析组合可能性是解题关键． 根据“至少各有一个”的要求，结合摸球数量，分析所有可能的摸球组合，进而判断事件类型． 【详解】解：当时，因为总共要摸出2个球，而有3种颜色的球，所以无论怎么摸，都不可能使得红球、白球和黑球至少各有1个，所以是不可能事件； 当时，有可能出现红球、白球和黑球至少各有1个的情况，也有可能出现比如3个红球和3个白球这种情况，此时不满足红球、白球和黑球至少各有1个的要求，所以是随机事件． 答：当时，是不可能事件；当时，是随机事件． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $