精品解析：安徽合肥市第五中学等六校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025年秋季学期期末考试高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：高玉敏 审题教师：白礼伟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知空间向量，.若，则（ ） A. B. C. 2 D. 10 2. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面内，，是两个定点，是动点，若（是常数且大于），则点轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C 抛物线 D. 直线 8. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，如图所示，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数的导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点点在第一象限，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 这就是数学史上著名“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等 如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：， 下列说法正确的是（ ） A. 当时，使得需要步雹程 B. 当时，则 C. 若，则的所有可能取值之和为 D. 若，为的前项和，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等轴双曲线的渐近线方程为____________． 13. 若曲线在处的切线与直线垂直，则的值为 ______. 14. 已知点是棱长为的正方体表面上一个动点，若三棱锥的体积为，则点的轨迹的长度为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求的面积； （2）求的外接圆的标准方程． 16. 设为数列的前项和，已知，． （1）证明：数列为等比数列； （2）判断，，是否成等差数列并说明理由． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，且，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知点，直线与椭圆相交于，两点，且线段被直线平分． ①求直线的斜率； ②若，求直线的方程． 19. 若各项均为正数的数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若正项等比数列，满足，求； （3）对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期末考试高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：高玉敏 审题教师：白礼伟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，.若，则（ ） A. B. C. 2 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直坐标表示列式求解即可. 【详解】由题意得：，解得. 故选：C 2. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可直接利用等差数列通项公式和前和公式联立方程组求解即可得出答案. 【详解】设等差数列的首项和公差分别为和,则由题意可得,联立解得. 故选:B. 【点睛】本题着重考查了等差数列通项公式和前和公式的运算应用,属于基础题. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合已知求解. 【详解】因为椭圆，所以，，， 因为左、右焦点分别为，，所以利用椭圆的定义可知， ，， 的周长为， 故选：B． 4. 若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论直线是否经过原点，经过原点时，设为，不经过原点时设为，代入求解. 【详解】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为， 设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为； 当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为， 代入点解得，此时直线的斜率为. 故选：D. 5. 如图，在正方体中，、分别为棱和中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可求解. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C． 6. 设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两圆心连线即是两圆公共弦的垂直平分线，结合两点式直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线， 所以直线方程为，即， 故选：A. 7. 在平面内，，是两个定点，是动点，若（是常数且大于），则点的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设，，，根据数量积的坐标表示求出轨迹方程，即可判断. 【详解】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设，，，则，， 由题意，得， 即，又是常数且大于，所以， 因此动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆. 故选：A． 8. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，如图所示，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线的光学性质及双曲线定义，结合勾股定理列式求出离心率. 【详解】连接，，由双曲线的光学性质，得，，三点共线，，，三点共线， 则，，于是，， 不妨设，，，由双曲线的定义得，， 则，，而， 解得，，，在中，由勾股定理得，， 即，解得，所以双曲线的离心率 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数的导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本初等函数导数公式和复合函数的求导法则逐项判断. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 10. 已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点点在第一象限，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线的方程求得其焦点坐标及准线方程，联立直线与抛物线的方程，求得，两点的坐标，求出，判断A；求出，判断B；计算的斜率乘积，判断C；求出ΔAOB的面积，判断D. 【详解】因为抛物线：，所以，即，准线方程为， 焦点为，设，，直线：， ，可得，所以，， ，， ，所以A正确； ，，可得，所以B正确； ，所以C不正确； 的面积，所以D正确. 故选：ABD． 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等 如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：， 下列说法正确的是（ ） A. 当时，使得需要步雹程 B. 当时，则 C. 若，则的所有可能取值之和为 D. 若，为的前项和，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知新定义结合分类讨论判断A，B，C，应用等比数列求和公式计算判断D. 【详解】对于A，当时，即，根据上述运算法则得出：，故当时，使需要步雹程，故A正确； 对于B，是偶数，每次操作均除以，经过次操作后，，故B错误； 对于C，若，根据上述运算法则进行逆推，，，或， 若，则，或5， 当时，，当时， 若，则，，或 故的所有可能取值集合， 所以的所有可能取值之和为，故C正确； 对于D， ，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等轴双曲线的渐近线方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线得出，进而得出渐近线方程. 【详解】等轴双曲线得出，所以渐近线方程. 故答案为：. 13. 若曲线在处的切线与直线垂直，则的值为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求得曲线在处的切线斜率，根据两条直线垂直，斜率乘积为，求得的值. 【详解】函数，. 求导得,， 故曲线在处的切线斜率为. 由，得，所以其斜率为. 所以，解得 . 故答案为：. 14. 已知点是棱长为的正方体表面上一个动点，若三棱锥的体积为，则点的轨迹的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过已知求出点到平面的距离，再建立空间直角坐标系得点到平面的距离，最后作辅助线得到点的轨迹，进而求出. 【详解】设为点到平面的距离，则，解得 建立空间直角坐标系，则， ，， 有，即， 而与为平面内的两条相交直线，得平面，且 而，得点到平面的距离为， 如图所示：取棱上的中点，得等边三角形和正六边形，易知平面平面，平面平面， 因为点到平面的距离为，可知点到平面的距离也为， 由中点的性质可知：到平面的距离为， 则点的轨迹为一个边长为的等边三角形和一个边长为的正六边形， 此时点到平面的距离一直都为，故三棱锥的体积一直为， 故点的轨迹的长度为：． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求的面积； （2）求的外接圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：求直线的方程，算点到直线的距离，计算的长度，最后代入面积公式计算即可； 方法二：计算的斜率，判定垂直关系，定直角边长度最后代入直角三角形面积公式计算即可. （2）方法一：设圆的一般方程，代入三点坐标得方程组，求解系数，最后配方转化为标准方程即可； 方法二：判定为直角三角形，确定斜边为外接圆直径，求斜边中点（圆心）和半径，最后写出标准方程即可. 【小问1详解】 方法一：根据已知条件，所在直线的方程为，即， 则点到直线的距离， 又， 故的面积. 方法二：根据已知条件，，， 则有，所以， 所以为直角三角形，为其直角边， 而， ， 故的面积. 【小问2详解】 方法一：设的外接圆方程为. 将，，代入， 得，解得， 所以的外接圆方程为， 其标准方程为. 方法二：由（1）可知为直角三角形，为其斜边， 则的外接圆直径即为， 由已知可得，的中点为，即圆心为， 又半径， 故的外接圆的标准方程为. 16. 设为数列的前项和，已知，． （1）证明：数列为等比数列； （2）判断，，是否成等差数列并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2），，成等差数列，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出，将给定等式两边同时加1，利用等比数列定义判断作答. （2）由（1）可得，进而求出，再利用等差中项的意义判断作答. 【小问1详解】 证明：由可得：， 又 则为首项为，公比为的等比数列； 【小问2详解】 由可得，即有， ， 假设，，成等差数列，， 可得，，成等差数列． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，且，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】以点为原点，以 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定定理证明 平面 ，从而得到平面 的一个法向量，求出平面的一个法向量，根据两个法向量垂直证得平面平面； 根据面面角的向量求法求得平面与平面的夹角的余弦值． 【小问1详解】 以点为原点，以 所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为 平面 ，且 平面 ，所以 ， 又因为 ，且 ， 平面 ， 所以 平面 ， 平面 的一个法向量 ， 且 ， ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 令 ，可得 ，所以 ， 又因为 ， 所以 ，所以平面 平面 【小问2详解】 由(1)知：平面 的一个法向量 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 令 ，可得 ，所以 ， 因为 ， 所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ． 18. 已知椭圆的离心率为，过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知点，直线与椭圆相交于，两点，且线段被直线平分． ①求直线的斜率； ②若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率公式和点满足椭圆方程，以及，联立方程求解即可得答案； （2）①利用点差法中点坐标公式，求出中点的坐标，即可得直线的斜率； ②运用向量数量积的坐标表示，化简整理，解方程求出，即可得直线的方程． 【小问1详解】 可得. 故椭圆方程为：． 【小问2详解】 ①由条件知， 设，，则满足，， 两式作差得：，化简得， 当时，直线l过原点，其斜率不唯一，不合题意； 当时，因为被平分，故， 所以，即直线的斜率． 设直线为，代入椭圆方程可得， 所以，， ， ， 故 ， 由得：即，解得 又因为方程①中，所以. 故所求直线方程为，即 19. 若各项均为正数的数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若正项等比数列，满足，求； （3）对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据项与和的关系，可得到数列的递推公式，由此判断数列是等差数列，从而求得其通项公式； （2）由题意求出等比数列的通项公式，根据错位相减求和法，求得； （3）分离参数，并构造新函数，通过分析新函数的最值情况，得到实数的取值范围． 【小问1详解】 由，可得，且， 又，所以，  即， 因为，所以，所以， 所以是公差为的等差数列. 又，得，所以. 小问2详解】 设的公比为，因为，所以， 即，解得舍或， 因为，所以，， 所以，  ， 两式相减得:. 所以； 【小问3详解】 由（2）得不等式，可变为 当为奇数时，， 记，所以，   ， 令，得，所以. 所以时，，即，即， 时，，即，即且取奇数时，单调递增， 此时，即； 当为偶数时，，所以， 时，，即， 时，，即，且取偶数时，单调递增. 此时，所以，即. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $