精品解析：贵州黔西南州顶兴高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025-2026学年度高二数学期末测试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，且，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间平行向量的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：B 2. 与直线平行且过点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行关系可求斜率，利用点斜式可得答案. 【详解】因为所求直线与直线平行，所以斜率为， 因为直线过点，所以直线方程为，即. 故选：A 3. 若为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为（ ）. A. 4 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先把点代入抛物线方程得出，结合抛物线定义及准线计算求解. 【详解】为抛物线上一点，则，即， 且抛物线的准线为， 则点到其焦点的距离为. 故选：B. 4. “”是“为椭圆方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由方程为椭圆求出参数m，再由必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】若为椭圆方程，则且， 所以“”是“为椭圆方程”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出椭圆、双曲线的离心率，根据它们的离心率互为倒数求出的值，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】椭圆的离心率为， 双曲线的离心率为， 因为双曲线与椭圆的离心率互为倒数，所以， 解得，故双曲线的方程为，所以，渐近线方程为． 故选：A 6. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】直接用几何法判断直线与圆的位置关系可得结果. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离，所以直线和圆相交. 故选：A. 7. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 8. 已知椭圆的两个焦点为，，若A，B为C上的两个点，且满足，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的等量关系，设出线段长，利用勾股定理以及余弦定理，表示出，利用离心率的计算公式，可得答案. 【详解】由，则，可设，，其中， 由椭圆的定义可得，， 由，则，可得， 即，解得， 则，，在中，， 易知共线，则， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以离心率. 故选：C. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算判断AB；求出投影向量坐标判断C；利用点到直线距离公式计算判断D. 【详解】由点，得， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，因此在上的投影向量为，C错误； 对于D，点到直线的距离为，D正确. 故选：ABD 10. 已知点和圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，是椭圆上两点，交轴于点，线段的中点为，平分，，则（ ） A. B. 的周长为 C. D. 椭圆的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用面积得出，再结合相似可得；B结合椭圆的定义可得；C根据三线合一得出，再结合以及椭圆的定义可得；D在、中利用余弦定理可得. 【详解】A选项，因为，所以, 则，由相似可得，故A正确； B选项，因为直线过点， 则由椭圆的定义可知，的周长为， 又，故B错误； C选项，因为为线段的中点，平分，所以， 因为，所以可设，， 则由椭圆的定义可知，， 则，得， 故，故C正确； D选项，由C选项可知，， 在、中利用余弦定理可得， ， 即，得， 故椭圆的离心率为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用参数分离法即可解决直线恒过定点问题. 【详解】直线的方程可变形为， 由题意可知，解得. 故直线恒过定点. 故答案为： 13. 已知点，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，因此先求的最小值，由此可知当，，共线时取得最小值. 【详解】由题意知，圆心是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 记点到抛物线的准线的距离为， ，， 所以， 当且仅当直线与抛物线的准线垂直，点在线段上时，即，，共线时取得最小值，等号成立， 所以的最小值为6． 故答案为：6 14. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先得到的周长的表达式为，分析出当时，取得最小值，进而得到的关系，即可求出离心率. 【详解】 的周长为. 因为周长的最小值为8a，所以可得的最小值为. 因为直线过点，所以当时，取得最小值. 令，得，则，解得. 故的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知斜率为,经过点的直线l，交圆于两点． （1）求直线l的方程； （2）求AB的长度． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 由题可设直线点斜式，整理得直线. 【小问2详解】 由题可知，圆的圆心，半径， 又因为圆心到直线的距离， 所以弦长. 16. 已知椭圆的右焦点为，离心率为. （1）求的方程； （2）若为的左顶点，为上的动点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据焦点、离心率求出椭圆参数值，进而写出椭圆方程； （2）由（1）知，结合椭圆的性质确定面积最大时对应的位置，即可得. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，的坐标为，则， 由图知，当为的短轴的顶点时，的面积最大， 故面积的最大值为 17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）证明即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用向量夹角公式，结合二面角为锐二面角，即可得解. 【小问1详解】 因为平面，又因为平面， 所以. 在正方形中，易知， 又因为，平面， 因此平面. 小问2详解】 易知两两互相垂直， 因此可以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则. 由（1）可知，平面，故是平面的法向量. 设平面的法向量为， 则有，即，得，取，则， 即， 则， 又因为二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为. 18. 已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，. （1）求的方程. （2）已知坐标原点，直线交于，两点. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，证明：过定点. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线性质求出的表示式，结合条件即可求得抛物线的方程； （2）（i）直线与抛物线方程联立，由韦达定理可得，即可证；（ii）由向量数量积的坐标表示，结合，求出的值，代入直线方程即可求得定点坐标. 【小问1详解】 依题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 准线与x轴的交点，则，解得（舍）， 故抛物线C的标准方程为； 【小问2详解】 （i）直线，代入， 消去，可得，则， 由韦达定理，则，得证； （ii）， 则， 即，因，则， 此时直线的方程为，故直线必过定点，得证. 19. 已知双曲线的虚轴长为，且渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于两点. （i）若点均在的右支上，且的面积是面积的倍，求； （ii）证明：不存在直线，使得. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程，结合虚轴长定义进行求解即可； （2）（i）设出直线的方程与双曲线方程联立，根据面积关系得到两点纵坐标的关系，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式、双曲线弦长公式进行求解即可； （ii）分斜率为和斜率不为两种情况，结合（1）中的结论进行求解证明即可. 【小问1详解】 由题意得的渐近线方程为， 由的渐近线方程为得， 又，所以， 所以， 故双曲线的方程为； 小问2详解】 （i）由（1）可知， 由题意得直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，不妨设， 联立 整理得， 则，即， ①， 由得②，由①②得 ， 故 ； （ii）当直线的斜率为时为的两顶点， 此时； 当直线的斜率不为时，设直线的方程为， ， 由（i）知， 则， 因为， 所以与不垂直，即无论取何值，都有成立， 综上，不存在直线，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二数学期末测试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，且，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. 6 2. 与直线平行且过点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为（ ）. A. 4 B. 5 C. D. 6 4. “”是“为椭圆方程”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 6. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定 7. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的两个焦点为，，若A，B为C上的两个点，且满足，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 点到直线距离为 10. 已知点和圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 设点是圆上任意一点，则的最大值为8 11. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，是椭圆上两点，交轴于点，线段的中点为，平分，，则（ ） A. B. 的周长为 C. D. 椭圆的离心率为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． 13. 已知点，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为___________． 14. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知斜率为,经过点的直线l，交圆于两点． （1）求直线l的方程； （2）求AB的长度． 16. 已知椭圆的右焦点为，离心率为. （1）求的方程； （2）若为的左顶点，为上的动点，求面积的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，. （1）求方程. （2）已知为坐标原点，直线交于，两点. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，证明：过定点. 19. 已知双曲线的虚轴长为，且渐近线方程为. （1）求双曲线方程； （2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于两点. （i）若点均在右支上，且的面积是面积的倍，求； （ii）证明：不存在直线，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $