精品解析：山东临沂市兰陵县2025-2026学年上学期期末质量调研八年级数学试卷（三）

2025～2026学年度上学期质量调研 八年级数学（三） 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. =0 B. =4 C. ≠0 D. ≠4 【答案】D 【解析】 【详解】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4， 故选D. 3. 用科学记数法表示：0.000000109是（　　） A. 1.09×10﹣7 B. 0.109×10﹣7 C. 0.109×10﹣6 D. 1.09×10﹣6 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】用科学记数法表示：0.000000109是1.09×10﹣7． 故选：A． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形，则此项不符合题意； B、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形，则此项不符合题意； C、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形，则此项不符合题意； D、，满足三角形的三边关系，能构成三角形，则此项符合题意； 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方进行排除选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算正确，故符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选C． 6. 下列多项式能分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用公式法分别分析利用公式法分解因式得出即可． 【详解】因式分解的常用方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法等．用各种方法分别检验是否能够分解：A、B、D不能分解，C：. 故选C. 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法是解题关键． 7. 甲、乙两单位为爱心基金分别捐款4800元、6000元，已知甲单位捐款人数比乙单位少50人，而甲单位人均捐款数比乙单位多1元.若设甲单位有x人捐款，则所列方程是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用x的代数式表示出甲单位人均捐款数和乙单位人均捐款数，再根据甲单位人均捐款数比乙单位多1元即可列出方程. 【详解】解：设甲单位有x人捐款，则乙单位有(x+50)人捐款，根据题意，得. 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是列出方程的关键. 8. 如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝55°，则∠ACD的度数是（ ） A. 80° B. 85° C. 100° D. 110° 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵∠B=30°，∠DAE=55°， ∴∠D=∠DAE﹣∠B=55°﹣30°=25°， ∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线 ∴∠CAD=∠DAE=55°， ∴∠ACD=180°﹣∠D﹣∠CAD=180°﹣25°﹣55°=100°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义等知识点，灵活应用三角形的内角和外角之间的关系成为解答本题的关键． 9. 如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示阴影部分的面积是得出答案的关键．阴影部分是边长为的正方形，其面积可表示为，也可以看作是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，进而得出结论． 【详解】解：阴影部分是边长为的正方形，因此其面积为， 阴影部分也可以看作是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，即， 因此有， 故选：D． 10. 如图，在中，平分，，，若，，则的长为（ ） A. 16 B. 18 C. 14 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定．延长交于点E，如图，证明，得到，，可得，由可得，进而可得答案． 【详解】解：延长交于点E，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为________． 【答案】（2，1）． 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 12. 已知，则 ___________________. 【答案】31 【解析】 【详解】∵a-b=5， ∴（a-b）2=25， 即a2-2ab+b2=25， ∵ab=3， ∴a2+b2=25+2ab=25+6=31， 故答案为31. 13. 若分式值为0，则x的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得x−1＝0且2x＋1≠0， 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，注意：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 14. 如图，在边上，，，则的度数为_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题关键．由全等得到，，进而得到，再根据等边对等角的性质与三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称−−最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点， 连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点， 连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式，平方差公式计算即可； （2）先利用提公因式法分解，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，通过去分母把分式方程化为整式方程，是解题的关键．先去分母，把分式方程化为整式方程，进而即可求解． 【详解】解：原方程化为， 方程两边同乘，得， 解得． 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知． （1）请说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是通过角的等量关系推导线线平行，并利用垂直关系和角度和差计算角度． （1）利用角平分线得角相等，结合已知角相等推出内错角相等，证明平行． （2）由垂直得直角，结合已知角度求，再用三角形内角和求． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， ． 20. 年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． （1）甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ （2）该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 【答案】（1）每副甲种春联的进价为元，每副乙种春联的进价为元； （2）商家最多可以购买副甲种春联． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握列分式方程和一元一次不等式解决实际问题的方法是解题的关键． （1）通过设甲种春联进价为未知数，依据两种春联购进数量相同这一条件，列分式方程求解进价． （2）设购进甲种春联数量，进而表示出乙种春联数量，根据利润不低于给定值的条件，列一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设每副甲种春联的进价为x元，则每副乙种春联的进价为元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的根，此时， 答：每副甲种春联的进价为6元，每副乙种春联的进价为8元； 【小问2详解】 解：设购进甲种春联m副，则购进乙种春联副， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为150． 答：商家最多可以购买150副甲种春联． 21. 如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分，求证： （1）； （2）是等边三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．解题关键是利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出角相等或边相等的结论，以证明相关角的关系和三角形的形状． （1）利用等边三角形的性质和角平分线的定义得到，再结合边相等，利用SAS判定即可得到； （2）根据得到，再利用等角减等角得到，即可判定为等边三角形． 【小问1详解】 证明：为等边三角形， ， 平分， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 证明：， ， 即， ， 为等边三角形． 22. 我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是　　 （填序号）； 与；与；与． （2）多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； （3）关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，用表示代数式的最简形式　　 ． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算的应用，完全平方公式，理解新定义是解题的关键． （）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （）由，然后根据与互为“对消多项式”，所以，，解得，，再代入求值即可； （）由，然后根据与互为“对消多项式”且对消值为，所以，，则，又，，得，再由，再把代入即可求解． 【小问1详解】 解：，和不是常数，不符合题意； ，和是常数，符合题意； ，和是常数，符合题意； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由， ∴ ， ∵与互为“对消多项式”， ∴，， 解得，， ∴对消值； 【小问3详解】 解：由， ∵与互为“对消多项式”， ∴ ， ∵与互为“对消多项式”且对消值为， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， 由得， ∴， 由 ， ∴原式 由代入， ∴原式 ． 23. （1）基础探究：三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形． 如图1：在中，是中线，求证：； （2）类比探究 如图2：在中，是角平分线，求证：； （3）进阶探究： 如图2：在中，是角平分线，，，那么______．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查三角形中线、角平分线的性质，三角形的面积，熟记角平分线的性质定理等知识是解题的关键． （1）过点作于点，根据三角形中线的定义可得，然后由三角形面积公式可得，即可证明结论； （2）过作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，根据三角形面积公式的得到，，即可证明； （3）过点作于点，易证，结合（2）中结论得到，即可解答． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵ 在中，是中线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过作，，垂足分别为，， 平分， ， ，， ，即； （3）解：过点作于点， ，， ，即， 由（2）知， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度上学期质量调研 八年级数学（三） 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. =0 B. =4 C. ≠0 D. ≠4 3. 用科学记数法表示：0.000000109是（　　） A. 1.09×10﹣7 B. 0.109×10﹣7 C. 0.109×10﹣6 D. 1.09×10﹣6 4. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 下列多项式能分解因式的是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两单位为爱心基金分别捐款4800元、6000元，已知甲单位捐款人数比乙单位少50人，而甲单位人均捐款数比乙单位多1元.若设甲单位有x人捐款，则所列方程是( ) A. B. C. D. 8. 如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝55°，则∠ACD的度数是（ ） A. 80° B. 85° C. 100° D. 110° 9. 如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，平分，，，若，，则的长为（ ） A. 16 B. 18 C. 14 D. 12 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为________． 12. 已知，则 ___________________. 13. 若分式值为0，则x的值是______． 14. 如图，在边上，，，则的度数为_____． 15. 如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 17. 解分式方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知． （1）请说明：； （2）若，，求的度数． 20. 年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． （1）甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ （2）该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 21. 如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分，求证： （1）； （2）是等边三角形． 22. 我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是　　 （填序号）； 与；与；与． （2）多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； （3）关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，用表示代数式的最简形式　　 ． 23. （1）基础探究：三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形． 如图1：在中，是中线，求证：； （2）类比探究 如图2：在中，是角平分线，求证：； （3）进阶探究： 如图2：在中，是角平分线，，，那么______．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $