第10章分式单元测试卷 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第10章分式单元测试卷 学校 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（每题3分，共30分） 1 1.分式3ab,4b的最简公分母为（） 12a2b2 12a2b C.12a62 12ab A. B. D. 2.下列方程中，是分式方程的是() -2=3 r-2 =x x-32(x+1) ①x F:②3；③35：④r-5s x A.①④ B.①③ C.②③ D.①②③④ 3xy 3.如果把分式x+y中的x,y同时扩大为原来的6倍，那么分式的值() A.扩大到原来的6倍 B.缩小到原来的6倍 1 C.不变 D.缩小到原来的2 4.2025年12月25日，首届粤港澳大湾区低空经济高质量发展大会在广州海珠区举行， “无人机送外卖”正式走进了人们的日常生活.若某外卖订单配送快递员骑行路程为10km, 无人机走直线路程为8km,无人机速度是快递员速度的3倍，若两者同时配送，无人机比 快递员早到22分钟.设外卖员配送速度为xkm/h,根据题意可列分式方程() 108=22 A.3x x B. 108=22 x 3x 10811 10811 C.3xx 30 D. x3x30 S 5.从温州轨道交通 线惠民路站到动车南站，线车程约2千米，自驾车车程约15千米. 小钱乘坐S线比自驾车平均速度提高了206，时间缩短了0.，1小时.设小钱自驾车平均速度 为每小时x千米，则下列方程正确的是() 试卷第1页，共3页 12=0.1 12 15=0.1 A. (1+20%)xx B.1-20%)xx 15 12 15 12 =0.1 =0.1 C.x(1-20%)x D.x(1+20%)x 6.学校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过 一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，少用3分钟跑完全程，设小 亮训练前的平均速度为x千米时，则根据题意所列的方程是() 33=3 A.x 1.2x 33=3 B.1.2x x 331 3,31 C.x1.2x20 D.1.2xx20 -x-1=3x-4 7.小海解分式方程2-x =x-2的过程如图所示，他从某一步开始出现了错误，则出 现错误的是() -1-1=3x-4 解：方程整理，得x-2 x一2，第一步 去分母，得x-1-1=3x-4,第二步 移项，合并同类项，得x=1,第三步 经检验x=1是原分式方程的解.第四步 A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步 8.若关于x的分式方程3-x +口=1的解是整数，则整数a的个数是（） A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 9.通常房屋的窗户面积小于房屋的地面面积.按采光标准，窗户面积与地面面积的比应不 小于10%，并且这个比值越大，房屋的采光条件越好.若某房间的窗户面积为am,地面 面积为(6>0，则以下四个房间比该房间采光条件更好的是《) 1 A.窗户面积为2am，地面面积为2b加m 2am2 26m2 B.窗户面积为 ,地面面积为 试卷第2页，共3页 C窗户面积为+列m,抢面面积为+m<@ D.窗户面积为a-m 地面面积为 b-xm(x<a L。=+m-3.若分式方程无解，则m=（） 10.已知关于x的分式方程x-22-x A.0 B.-1 C.-3 D.-1或-3 二、填空题（每题3分，共18分） 2 1.解分式方程3+x2十x1时，去分母后可得到一· 2.“万家乐”超市近日用800元购进了一批新品种苹果，由于销售良好，又用900元二次 购进了该品种苹果，但第二次进货价比第一次的进货价低10%，且进货量比第一次多40千 克，求第一次购进苹果的单价.设第一次购进苹果的单价为x元/千克，则可列方程为：一 x-3 3.关于x的分式方程x-2 1=m =2-x的解为非负数，则所有满足条件的正整数m的值之和 为 3_a4 4.若关于x的分式方程x-2xx(x-2)有增根，则该分式方程的增根为一· x+2s2-x 5.若关于，的不等式组3x>m3无解，且关于，的分式方程4-3的解为非 3 1 “x-33-x 负数，则满足条件的所有整数m的和是一。 1 6.已知a,b>0,ab=1,则S=1+a+1+26的最小值是一 一十 三、解答题（每题9分，共72分） 1.解分式方程： 23 (1)x-3x 5-x+1=1 (2)x-4T4-x 2.先化简，再求值： 试卷第3页，共3页 a[x+y-(x+3列x-3列]÷2y,其中x=1,y=l. (2m+3m-9) m2-2m+1 m-3 m2-3m,其中m=2 3.我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明 显优势.经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电 费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为200元时，电动汽车可 行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里充电费用是多少？ 、211.2-11.2-11 4.观察下列第式：①长31②2x424®3x535@4x646 ()由以上式子可以推出(5)式为 (2)用含字母n(n为非零自然数)的等式表示(1)中的一般规律为 1 1 …十 (3)用以上方法解方程：xx+2(x+2(x+4(x+2024x+2026x+2026 【点晴】本题考查了知识点分式的裂项规律与分式方程的求解，解题关键是观察算式总结 出裂项规律，并利用裂项相消法化简方程，最后注意检验分式方程的解。 5.2025年云南省城市足球联赛（简称“滇超联赛”）开幕式暨揭幕战在玉溪高原体育运 动中心举行.为保障赛场环境整洁，赛后需对赛场看台、跑道及周边区域进行全面清洁. 已知专业清洗机每天能完成的清洁面积是人工每天能完成的清洁面积的5倍，且专业清洗 0000m 机单独完成 的清洁任务所用天数比人工单独完成 4000m2 的清洁任务所用天数少1 天，求专业清洗机和人工每天能完成的清洁面积分别是多少平方米？ 6.某学校计划利用暑假时间（共58天）对全校教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程 队有意承包这项工程，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍，甲、乙两队 合作完成工程需要24天，甲队每天的工作费用为1500元，乙队每天的工作费用为950元. ()甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ ① ③ (2)现有三种方案可选：甲队单独完成工程，乙队单独完成工程，甲、乙两队合作 完成工程.请你选择其中一种方案，既能在暑假时间完工，又能使工程费用最少，并计算 出最少工程费用. 试卷第4页，共3页 7.我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如 a+b+c,abc,a2+b2,…,任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我 们称为对称式.含有两个字母a、b的对称式的基本对称式是“+b和b, 2+b2 和，像 (a+2b+2等对称式都可以用a+b和ab表示，例如：。+=(a+-2ab.请根据上 述材料解决下列问题： 11 ()式子①b2,②a2-b,③。+方中，属于对称式的是 (填序号). (2)已知x+a(x+b)=x2+mr+n ①m=,n=(用含a,b的代数式表示)； b a ②若m2+n2=-4m-6m-13,求对称式。+方值： a4+1,b4+1 ③若m≥0，n=-1,求对称式a2+b2的最小值. 8.信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一.某茶叶店计划从茶场购进甲、乙两种毛尖， 加工之后进行销售，现两种毛尖的进价和售价如下表： 进价1（元kg) 售价/（元kg) 甲种毛尖 0 300 乙种毛尖 a+40 360 已知用10000元购进甲种毛尖的质量与用12000元购进乙种毛尖的质量相同. (1)a的值为_. 300kg 100kg (2)该茶叶店计划购进甲、乙两种毛尖共 ,其中甲种毛尖不少于 且不超过 150kg. ①求销售完这两种毛尖的最大利润； ②五一芳动节假期期间，茶叶店让利销售，将乙种毛尖的售价每千克降低m元m<20), 甲种毛尖的售价不变.为保证销售完这两种毛尖的利润的最小值不低于30750元，求m的 最大值 试卷第5页，共3页 试卷第6页，共3页 第10章分式单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(每题3分,共30分) 1．分式，的最简公分母为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简公分母，最简公分母是各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积，由此即可得出结果，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵分母和的系数最小公倍数为12，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为， ∴最简公分母为：， 故选：A． 2．下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义是分母中含有未知数的方程，据此逐一判断各方程是否符合条件． 【详解】解： ∵方程① 的分母含有未知数， ∴ ①是分式方程； ∵ 方程② 的分母是常数， ∴ ②不是分式方程； ∵ 方程③ 的分母 都是常数， ∴ ③不是分式方程； ∵ 方程④ 的分母含有未知数， ∴ ④是分式方程． ∴ 是分式方程的是①④， 故选：A． 3．如果把分式中的同时扩大为原来的6倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的6倍 B．缩小到原来的6倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键； 将x和y同时扩大6倍后代入分式，化简后与原分式比较即可解答． 【详解】解：∵原分式为， 将和分别替换为和， ∴新分式为， 而原分式为， ∴新分式是原分式的6倍， 故分式的值扩大到原来的6倍． 故选：A． 4．2025年12月25日，首届粤港澳大湾区低空经济高质量发展大会在广州海珠区举行，“无人机送外卖”正式走进了人们的日常生活．若某外卖订单配送快递员骑行路程为，无人机走直线路程为，无人机速度是快递员速度的3倍，若两者同时配送，无人机比快递员早到22分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列分式方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 根据题意，快递员速度为，无人机速度为；快递员配送时间为小时，无人机配送时间为小时；无人机早到22分钟，即小时，故快递员时间减无人机时间等于时间差，据此即可列出分式方程． 【详解】解：设外卖员配送速度为， 根据题意可列分式方程， 故选：D． 5．从温州轨道交通线惠民路站到动车南站，线车程约千米，自驾车车程约千米．小钱乘坐线比自驾车平均速度提高了，时间缩短了小时．设小钱自驾车平均速度为每小时千米，则下列方程正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的应用，理解速度提高和时间缩短的关系是关键． 设自驾车速度为，则线速度为，根据时间缩短0.1小时列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得自驾车时间，线时间为，且时间缩短0.1小时， ∴， 故选：D． 6．学校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为千米/时，则根据题意所列的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．理解题意列出分式方程是关键． 根据比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，可得比赛时小亮平均速度为千米时，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟即小时，列出方程即可． 【详解】解：比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，小亮训练前的平均速度为千米时， 比赛时小亮平均速度为千米时， 根据题意可得， 故选：C． 7．小海解分式方程的过程如图所示，他从某一步开始出现了错误，则出现错误的是（   ） 解：方程整理，得，第一步 去分母，得，第二步 移项，合并同类项，得，第三步 经检验是原分式方程的解．第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤进行判断即可，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 小海在去分母时未将方程左边的常数项乘以公分母，导致错误． 【详解】解：∵原方程整理后为，去分母时两边应同乘， ∴左边：， 右边：， 得， 但小海第二步写为，错误在于未将乘以， ∴出现错误的是第二步， 故选：B． 8．若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，首先解分式方程，得到x关于a的表达式，注意分母不为零的条件；然后根据x为整数且，确定整数a的取值；最后验证每个a是否满足原方程有整数解且． 【详解】解：∵ 分式方程 ，且 ， 两边乘 得：， 整理得：， ∴ （其中 )． 设 （t为整数且 ）， 则 ， 变形得：． ∵ a为整数， ∴ 为整数， 即 是4的约数：， ， ． ∴ ， 对应 ． 但 ，排除 ， ∴ ． 代入求a： 时，； 时，； 时，； 时，； 时，． 当 时，原方程无解，无效． 验证各a值均使x为整数且， ∴ 整数a有5个：3， 1， ， ， 故选：C． 9．通常房屋的窗户面积小于房屋的地面面积．按采光标准，窗户面积与地面面积的比应不小于，并且这个比值越大，房屋的采光条件越好．若某房间的窗户面积为，地面面积为，则以下四个房间比该房间采光条件更好的是（    ） A．窗户面积为，地面面积为 B．窗户面积为，地面面积为 C．窗户面积为，地面面积为 D．窗户面积为，地面面积为 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，通过作差法判断分式比值的大小是解题的关键． 分别计算各选项窗户面积与地面面积的比值，再与原房间窗户面积与地面面积的比值进行比较即可． 【详解】解：原房间的采光比值为：， A、采光比值为：，与原房间采光比值相同，故该选项不符合题意； B、采光比值为：，与原房间采光比值相同，故该选项不符合题意； C、采光比值为：，与原房间的采光比值作差得 ， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴C比原房间采光条件更好，故该选项符合题意； D、采光比值为：，与原房间的采光比值作差得 ， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴D比原房间采光条件更差，故该选项不符合题意． 故选：C． 10．已知关于x的分式方程．若分式方程无解，则（   ） A．0 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分式方程无解有两种情况：一是化简后方程矛盾，无解；二是解出的根使分母为零，为增根．先化简方程，利用分母关系简化，再求解关于x的方程，讨论m的值． 【详解】解：∵， ∴原方程可化为： 两边同乘，得： 去括号，得：， 移项，得：， ， ， 当，即时， 方程变为，矛盾，无解； 当时，， 若，则， 解得：，此时为增根，无解． ∴或时，方程无解， 故选：D． 二、填空题(每题3分,共18分) 1．解分式方程时，去分母后可得到 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，去分母时，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，即可作答． 【详解】解：∵方程， ∴最简公分母为， 则两边同时乘以，得， 故答案为：． 2．“万家乐”超市近日用800元购进了一批新品种苹果，由于销售良好，又用900元二次购进了该品种苹果，但第二次进货价比第一次的进货价低，且进货量比第一次多40千克，求第一次购进苹果的单价．设第一次购进苹果的单价为x元/千克，则可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设第一次购进苹果的单价为元/千克，则第二次进货价为元/千克，根据第二次进货量比第一次多40千克，列出方程即可． 【详解】解：设第一次购进苹果的单价为元/千克，则第二次进货价为元/千克， 由题意，得． 故答案为：． 3．关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的正整数的值之和为 ． 【答案】 14 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为非负数和分母不为零的条件确定的取值范围，最后求满足条件的正整数的和． 【详解】解：分式方程，方程两边同时乘以， 得， 整理得， 解得． 由于解为非负数，即，且分母（即）， 因此且． 解得且． 又∵为正整数， ∴． 这些值的和为． 故答案为：14． 4．若关于的分式方程有增根，则该分式方程的增根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的增根是使分母为零的根，且能使去分母后的整式方程成立是解题的关键． 分式方程的增根是使公分母为零的根，公分母为 ，因此可能增根为 或 ，代入整式方程检验， 时方程不成立， 时方程成立当 ，因此增根为 ． 【详解】解：原方程为 公分母为 ，两边乘公分母得整式方程 增根为使公分母为零的 值，即 或 当 时，代入整式方程得 ，即 ，不成立； 当 时，代入整式方程得 ，即 ，解得 ， 此时整式方程有解 ，但 使原方程分母为零，故为增根 因此该分式方程的增根为 ． 故答案为： ． 5．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解题关键是根据不等式组无解的条件和分式方程解的非负性确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据无解条件求出m的取值范围；再解分式方程，根据解为非负数且分母不为零求出m的取值范围，最后求公共范围内所有整数的和． 【详解】解：解不等式组： 由 得：， 由 得 ， ∵不等式组无解， ∴，即； 解分式方程， 去分母得：， 整理得：． 解得：． ∵解为非负数且， ∴且， 解得：且． ∴的取值范围为： 且 ， ∴满足条件的所有整数为 ，，，，， 满足条件的所有整数的和为． 故答案为： 6．已知，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、完全平方式的非负性、不等式的性质、分母有理化等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．先根据分式的混合运算法则得，设，根据完全平方式的非负性和分母有理化，结合不等式的性质求解即可． 【详解】解  ∵， ∴， ∴ ， 设，则， 当时取得等号， ∴， 解得：， ∴，． 因此，当，时，取得最小值． 故答案为：． 三、解答题(每题9分,共72分) 1．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键． （1）根据等式的性质将分式方程转化为整式方程，再根据整式方程的解法求出x的值，再进行检验即可； （2）根据等式的性质将分式方程转化为整式方程，再根据整式方程的解法求出x的值，再进行检验即可． 【详解】（1）解：方程两边乘，得： ， 解得， 检验：当时， 原分式方程的解为． （2）解：方程两边乘， 得， 解得： 检验：当时，，是增根， 原分式方程无解 2．先化简，再求值： (1)，其中 ，． (2)，其中 【答案】(1)， (2)，4 【分析】本题主要考查了整式的化简与求值，分式的化简求值． （1）先计算括号里面的整式乘法，再合并同类项，然后除以单项式，最后代入数值计算即可． （2）先计算括号里面的分式，再把括号外面的除法转化成乘法，然后约分计算，最后再代入数值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式． （2）解： ， 当， 原式 3．我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元，若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每公里充电费用是多少? 【答案】 元 【分析】本题考查了分式方程与实际问题，关键是找到相等关系列方程；设这款电动汽车平均每公里充电费用是元，根据电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，列方程求解即可． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里充电费用是元， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 答：这款电动汽车平均每公里充电费用是元． 4．观察下列算式：①，②，③，④，… (1)由以上式子可以推出（5）式为_________________． (2)用含字母（为非零自然数）的等式表示（1）中的一般规律为___________________． (3)用以上方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知算式的序号与式子的对应关系，可直接推出第（5）式； （2）通过分析已知算式的分子、分母与序号的关系，总结出一般规律； （3）利用（2）中的规律对分式进行裂项，再通过化简求解方程． 【详解】（1）解：观察已知算式： ①，②，③，④ 可知第式为： 因此第（5）式为：． （2）解：由上述规律可得，一般规律为：． （3）解：∵ ， ∴，整理，得， 即，解得． 检验：当时，原方程中各分母均不为零，故是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了知识点分式的裂项规律与分式方程的求解，解题关键是观察算式总结出裂项规律，并利用裂项相消法化简方程，最后注意检验分式方程的解． 5．2025年云南省城市足球联赛（简称“滇超联赛”）开幕式暨揭幕战在玉溪高原体育运动中心举行．为保障赛场环境整洁，赛后需对赛场看台、跑道及周边区域进行全面清洁．已知专业清洗机每天能完成的清洁面积是人工每天能完成的清洁面积的5倍，且专业清洗机单独完成的清洁任务所用天数比人工单独完成的清洁任务所用天数少1天，求专业清洗机和人工每天能完成的清洁面积分别是多少平方米？ 【答案】专业清洗机每天能完成的清洁面积是10000平方米，人工每天能完成的清洁面积是2000平方米 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设人工每天能完成的清洁面积是平方米，则专业清洗机每天能完成的清洁面积是平方米，根据专业清洗机单独完成的清洁任务所用天数比人工单独完成的清洁任务所用天数少1天，进行列式，再解得，最后验根作答即可． 【详解】解：设人工每天能完成的清洁面积是平方米， 则专业清洗机每天能完成的清洁面积是平方米， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴专业清洗机每天能完成的清洁面积是10000平方米，人工每天能完成的清洁面积是2000平方米． 6．某学校计划利用暑假时间（共58天）对全校教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍，甲、乙两队合作完成工程需要24天，甲队每天的工作费用为1500元，乙队每天的工作费用为950元． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)现有三种方案可选：甲队单独完成工程，乙队单独完成工程，甲、乙两队合作完成工程．请你选择其中一种方案，既能在暑假时间完工，又能使工程费用最少，并计算出最少工程费用． 【答案】(1)甲单独完成此项工程需要40天，乙单独完成此项工程需要60天 (2)甲、乙两队合作既能在暑假时间完成工程，同时费用最少，最少费用为5.88万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需天，再根据“甲、乙两队合作完成工程需要24天”，列出分式方程，解方程即可； （2）根据（1）中的结果求出甲单独完成，和甲、乙两队合作完成的费用比较，即可解答． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需天， 由题意得：， 即：， 即： 解得：， 经检验：是原方程的解， 则（天）， 答：甲单独完成此项工程需要40天，乙单独完成此项工程需要60天； （2）解：由（1）知甲单独完成此项工程需要40天，乙单独完成此项工程需要60天， ∵， ∴甲能在暑假时间完成，乙不能在暑假时间完成， 又∵甲单独完成的费用为：（元）， 甲、乙两队合作完成的费用为：（元）， 且， ∴综上：甲、乙两队合作既能在暑假时间完成工程，同时费用最少，最少费用为5.88万元． 7．我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，，，…，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母a、b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是______（填序号）． (2)已知． ①______，______（用含a，b的代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，，求对称式的最小值． 【答案】(1)③ (2)①，；②；③4 【分析】本题考查代数式，完全平方公式，对称式，分式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用公式解决问题． （1）根据对称式的定义判断即可； （2）①利用多项式的乘法公式展开，可得结论；②利用完全平方公式求解即可；③利用非负数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ 不一定成立，不一定成立，成立，③属于对称式． 故答案为：③． （2）解：①   故答案为：，； ②∵， ∴， ∴，解得． ． ． ③ ， ∵ ∴ 原式 ， ， ， ∴当时，原式取的最小值，最小值为4， 的最小值为4． 8．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一．某茶叶店计划从茶场购进甲、乙两种毛尖，加工之后进行销售，现两种毛尖的进价和售价如下表： 进价/（元/kg） 售价/（元/kg） 甲种毛尖 300 乙种毛尖 360 已知用10000元购进甲种毛尖的质量与用12000元购进乙种毛尖的质量相同． (1)的值为 ． (2)该茶叶店计划购进甲、乙两种毛尖共，其中甲种毛尖不少于且不超过． ①求销售完这两种毛尖的最大利润； ②五一劳动节假期期间，茶叶店让利销售，将乙种毛尖的售价每千克降低元，甲种毛尖的售价不变．为保证销售完这两种毛尖的利润的最小值不低于30750元，求的最大值． 【答案】(1)200 (2)①销售完这两种毛尖的最大利润为34000元；②的最大值为15 【分析】本题考查了分式方程与一次函数在利润问题中的综合应用，解题关键是通过建立方程和函数模型，结合自变量范围与函数单调性求解． （1）根据质量=总价÷单价，利用两种毛尖购进质量相等的关系列分式方程求解； （2）①先确定甲、乙的利润表达式，建立总利润的一次函数，结合的取值范围，根据一次函数的单调性求最大利润；②调整乙的利润表达式后，重新建立总利润的一次函数，根据单调性确定最小值的位置，结合最小值不低于30750的条件列不等式求的最大值． 【详解】（1）解：根据题意，购进质量相等，得： 交叉相乘： 解得： 经检验：是原分式方程的解． （2）解：设购进甲种毛尖，则购进乙种毛尖，销售完这两种毛尖的总利润为元． ①由题意，得． ， 随的增大而减小． ， 当时，有最大值，最大值为． 答：销售完这两种毛尖的最大利润为元． ②由题意，得． ， ， 随的增大而减小． ， 当时，有最小值， ， 解得， 的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $