第二十八章 锐角三角函数 章末综合试题 2025-2026学年 人教版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数 章末综合试题 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册 一、单选题 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在 中，，，，则 的长是(     ) A． B．4 C．8 D．4 3．下列各式不正确的是(    ) A．cos30°=sin60° B．tan45°=2sin30° C．sin30°＋cos30°=1 D．tan60o·cos60o=sin60o 4．如图，线杆DC的高度为，两根拉线与互相垂直，，若、、在同一条直线上，则拉线的长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，点A(2，t)在第一象限，OA与x轴所夹锐角为，tan=2，则t的值为(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端25米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为a，则树0A的高度为(    ) A．米 B．25sina米 C．25tana米 D．25cosa米 7．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是(     ). A． B． C． D． 8．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（　　） A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+ ）米 9．已知为锐角，且tan2－(1＋)tan＋1=0，则的度数为(    ) A．30° B．45° C．30°或45° D．45°或60° 10．如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，△ABC的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则sin∠BAC的值为 . 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，如果∠A=，AC=4，那么BD= .(用含的式子表示). 13．已知a为锐角，当无意义时，tan(a＋15°)－tan(a－15°)的值是 . 14．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为 m（结果保留整数，≈1.73）． 15．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，若BC=4，sinA=，则BD的长为 ． 16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为 ．    三、解答题 17．计算： 18．如图，已知是的直径，切圆O于A，交圆O于D，，，求的值． 19．在一次数学综合实践活动中，小华想要测量城门大楼的高度．如图，小华在点B处测得楼顶A的仰角为，然后前进18米到达点C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为，已知，，点B、C、F在同一条直线上，求城门大楼的高度约为多少米．（结果保留整数，参考数据：，，） 20．如图，在中，，，．点D是边的中点，过点D作的垂线，与边相交于点E． (1)求线段的长； (2)求的值． 21．龙门石窟被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”．它坐落在龙门山突然断裂的“伊阙”上，伊河横流，把山分成东西两座．资料显示，西山山顶A比河谷高出116米；东山又名香山，山顶D比河谷高出166米，小明游玩西山石窟后，渡河从B到C，然后沿坡度是1：0.75的登上东山山顶，俯瞰西山山顶A的俯角为．已知，量得西山的坡角是76°，求河宽．（参考数据：，，） 22．一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含角的直角三角形，另一块是含角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形（如图），设． (1)用含的代数式直接表示： ． (2)求的正切值． 23．某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，，且点A，B，C，D，E在同一平面内． (1)求点D到直线的距离； (2)求古塔的高度． 24．北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据：，，） (1)求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） (2)测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 25．如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B A C C A C B 1．C 先根据勾股定理求出BC得长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可． 如图，根据勾股定理得，BC==12， ∴sinA=． 故选C． 本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键． 2．B 本题考查了直角三角形角的性质以及勾股定理，根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 解：∵在中，，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：B． 3．C 熟练掌握特殊锐角三角函数值，分别计算即可求解. A. cos30°= , sin60° ,正确， B.tan45°,2sin30°,正确， C. sin30°＋cos30°,错误， D. tan60o·cos60o sin60，正确. 故答案选C. 本题主要考查了特殊锐角三角函数值，解题关键是熟练记忆这些三角函数值. 4．B 根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由，即可求出BC的长度． 解：∵两根拉线与互相垂直，DC垂直AB, ∴∠CAB+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠CAB=∠BCD， ∵，∴ 在Rt△BCD中，； ∴ 故选：B． 本题主要考查解直角三角形，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键． 5．A 根据点A的坐标，利用锐角三角函数定义求出t的值即可. 如图，过点A作AB⊥x轴与点B， ∵点A在第一象限,坐标为(2，t)， ∴， 在RT△AOB中，tan，则t=4，故选A. 本题考查了三角函数的定义，熟练掌握定义即可求解. 6．C 首先根据题意可知，在Rt△ABO中，BO=25米，∠ABO为，结合正切函数的定义得：tan=，接下来再代值进行计算，即可求得树高OA的长. 解：在Rt△ABO中， ∵BO=25米，∠ABO为， ∴AO=BO·tan=25tan（米）. 故选C. 点睛：本题主要考查了解直角三角形的知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决本题的关键. 7．C 由题意可知，三角形ABD，三角形ACD和三角形ABC都是直角三角形， 在直角三角形ABD中，∠B的正弦等于∠B的对边AD比斜边AB，故A正确； 在直角三角形ABC中，∠B的正弦等于∠B的对边AC比斜边BC，故B正确； 又因为∠B=∠DAC，而sin∠DAC=，所以sin∠B=，故D正确； 而AD：AC是∠DAC的余弦，也是∠B的余弦，故结论不正确的是C； 故选C． 8．A 试题分析：根据CD：AD=1:2，AC=3米可得：CD=3米，AD=6米，根据AB=10米，∠D=90°可得：BD==8米，则BC=BD－CD=8－3=5米. 考点：直角三角形的勾股定理 9．C 首先解一元二次方程求得tanα的值，再根据特殊角的正弦值求出α的度数. ∵tan2α－(1＋)tanα＋1＝0， ∴(tanα−1)(tanα−1 )=0， 解得tanα=或tanα=1. 则α=30°或45°. 故选C． 本题考查了解一元二次方程以及特殊角的正弦值，正确解出方程并熟记特殊角的正弦值是解答本题的关键. 10．B 连接BD， ∵AB是直径，∴∠ADB=90°, ∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC, ∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC， ∴cos∠BOC==， ∴cos∠A=cos∠BOC=， 又∵cos∠A= ，AB=4， ∴AD= ，故选B. ． 11． 根据网格画出直角△ABD，如下图所示，由图形可得AD=4，BD=2，由勾股定理可求出AB的值，结合正弦的定义即可得到答案. 根据网格画出直角△ABD，如下图所示. 由图形可得AD=4，BD=2， 由勾股定理可得：AB=， 所以sin∠BAC= . 故答案为 . 本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义是关键. 12．4sinαtanα 在中， 在中，根据同角的余角相等可得： 故答案为： 13． 根据分式无意义的条件可得1-tanα=0，从而可得到α的值，再将α的值代入待求式中，结合特殊角的三角函数值即可求解. 根据分式无意义的条件，得1-tanα=0，即tanα=1. 因为α为锐角，根据特殊角的三角函数值，得α=45°. 所以tan(a＋15°)－tan(a－15°)=tan60°-tan30°==. 故答案为：. 本题考查特殊角的三角函数值，分式有无意义的条件，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值. 14．300 在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可． 如图，∵在Rt△ABD中，AD=110，∠BAD=45°， ∴BD= AD•tan45° =110（m）， ∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°， ∴CD=AD•tan60°=110×≈190（m）， ∴BC=BD+CD=110+190=300（m）， 即该建筑物的高度BC约为300米， 故答案为：300． 本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 15．． 因为CD为斜边AB上的高，所以∠BCD=∠A，根据可求出BD的长． ∵CD⊥AB ∴∠BCD+∠B=90°， 又∠A+∠B=90°， ∴∠BCD=∠A， ∵， ∴BD=． 本题考查解直角三角形．理解三角函数的定义式是解题的关键． 16． 解：如图所示：过点M作MF⊥DC于点F，    ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点， ∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°， ∴FD=MD=， ∴， ∴MC=， ∴EC=MC-ME=-1． 故答案为：-1． 本题考查折叠问题；菱形的性质． 17． 本题主要考查了实数混合运算，根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式性质，进行计算即可． 解： ． 18． 连接，求出，再证明即可求解． 解：连接， ∵是直径， ∴， ∴在中，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 本题考查了圆周角定理，切线的性质，直径对的圆周角为直角，以及三角函数的知识，掌握圆的性质是解答本题的关键． 19．约13米 本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答的关键．先根据已知得到，米，再在中，利用正切定义得到，进而求解即可． 解：由题意，四边形是矩形， ∴米，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，米，米，， 由得， 解得， ∴（米）， 答：城门大楼的高度约为13米． 20．(1) (2) 本题考查锐角三角函数、勾股定理，利用同角的锐角三角函数值相等是关键． （1)由勾股定理求出，再根据斜边上的中线求出，，由余弦定理求出; （2)作交于H，在直角三角形中由勾股定理求出长，从而求出的正弦值． （1）解：在中，， ∵点D是边的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∴． （2）解：过点E作，垂足为点H． ∵在中，，， ∴． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∴在中，． 21．河宽等于246.5米 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过作于E，于H，过D作于F，由，坡度是1：0.75，西山的坡角是76°分别解三角形得到，，，再利用线段的和差计算即可得到河宽． 解：如图，过作于E，于H，过D作于F， 则米，米，      ∴米     ∵， ∴米     ∵坡度是1：0.75， ∴米，     ∵ ∴米．     ∴（米）     即河宽等于246.5米． 22．(1) (2) 本题主要考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质，熟知三角函数的定义及等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）先用表示出的长，再进一步表示出长即可； （2）过点作的垂线，垂足为，用分别表示出及的长，再结合的长及正切的定义即可解决问题． （1）解：在中，，则， ∴， 在中，，则， ∴． 故答案为：； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如图所示： ∵，且是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，． 23．(1)点D到直线的距离为 (2)古塔的高度是 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点D作于点M，解直角三角形求出即可； （2）证明，在中，解直角三角形求出，再在中求出即可． （1）解：过点D作于点M， ∵斜坡的斜面坡度， ∴， ∴， ∴． 即点D到直线的距离为； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：古塔的高度是． 24．(1)米 (2)小明先到达，先到达分钟． 本题主要考查了解直角三角形的应用、方位角、直角三角形的性质等知识点，将实际问题转化为三角函数问题是解题的关键． （1）由题意可得：，，即，如图：过D作，先说明，解直角三角形可得，再说明，可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先解直角三角形得到米，再说明，解直角三角形得到，，即；然后分别求得小明、小刚所用时间，然后作差比较即可． （1）解：由题意可得：，，即， 如图：过D作， ∵， ∴，米，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴米 （2）解：由题意可得：， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明骑自行车以180米/分钟从D出发赶往B地， ∴小明用时：分钟；小刚共用时：分钟， ∵， ∴小明先到达，先到达分钟． 25．(1) (2)该货车能进入该地下车库，理由见解析 本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得：，，如图：过点作于点，易证四边形是矩形，则、；然后在和中解直角三角形即可解答； （2）由题意得：，再在中解直角三角形可得，如图：过点作于点，根据勾股定理和解直角三角形可得，设，则，则，解得，进而求得，最后与3米比较即可解答． （1）解：由题意得：， 如图：过点作于点， ∴ ∴四边形是矩形． ∴， 在中，， ∴  解得：． ∴ 在中，， ∴， ∴． （2）解：由题意得： 在中，，，， ∴， 如图：过点作于点， 在中，，，， 设，则， ∴，解得 ∴， ∵  即该货车能进入该地下车库． 学科网（北京）股份有限公司 $