精品解析：广东茂名市高州市2025-2026学年上学期期末八年级数学试卷

2025－2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，属于无理数的是（　　） A. 0 B. 3.1 C. D. ﹣ 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 1，3，2 4. 下列命题是真命题的有（ ） ①对顶角相等；②同旁内角互补；③若，则．④两直线平行，内错角相等 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（　　） 甲 乙 丙 丁 （环） 8 9 9 8 S2（环2） 1 1.2 1 1.2 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，直线：和：相交于点，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种出行方式已融入人们的日常生活．如图1是某单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，，要使与平行，则的度数是（ ） A. 16° B. 60° C. 66° D. 114° 9. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的容器外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的立方根是__________． 12. 如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成与，若，则的度数为_____． 13. 已知y与成反比例，并且当时，．则y与x之间的函数解析式为 ____． 14. 如果的整数部分为，则的值为_____． 15. 在矩形中，，点P是直线一动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连接，若P、E、D三点在同一条直线上，则_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算 （1） （2） 17. 解二元一次方程组： 18. 如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是多少？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某银行的理财经营团队，在2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（单位：）如下： 4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． （1）求该理财经营团队负责经营的12项理财产品收益率的下四分位数、中位数和上四分位数． （2）某同学想要利用箱线图分析该理财经营团队的经营水平，请你根据该团队的相关数据制作箱线图，并根据箱线图对该团队的经营水平作出合理的评价． 20. 操作与实践： 已知在平面直角坐标系中三点，，．请回答如下问题： （1）在坐标系内作出关于轴对称的． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小，并求点坐标．（不用写作法．保留作图痕迹） 21. 随着科技的发展，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元 （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． （1）若三边长分别是3，和4，则此三角形___________常态三角形（选填“是”或“不是”）； （2）若是常态三角形．求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）． （3）如图，中，，，点D为的中点，连接、若是常态三角形，求的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，另一条直线与x轴交于点E，与交于点． （1）求m的值和的解析式； （2）当点C为直线上一动点，且的面积为8，求点C的坐标； （3）点M为x轴一动点，点P是直线上一动点，是否存在以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，属于无理数的是（　　） A. 0 B. 3.1 C. D. ﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．3.1是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是无理数，故本选项符合题意； D．﹣是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的横纵坐标的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在第四象限． 3. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 1，3，2 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证三边满足即可验证是直角三角形． 【详解】A：，能构成直角三角形； B：，不能构成直角三角形； C：，不能构成直角三角形； D：，不能构成直角三角形； 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 4. 下列命题是真命题的有（ ） ①对顶角相等；②同旁内角互补；③若，则．④两直线平行，内错角相等 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了真假命题的判断，对顶角相等，平行线的性质等知识，根据以上知识点逐项判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②两直线平行，同旁内角互补，原说法是假命题； ③若，则，原说法是假命题； ④两直线平行，内错角相等，是真命题． ∴真命题有2个． 故选：B． 5. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 6. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（　　） 甲 乙 丙 丁 （环） 8 9 9 8 S2（环2） 1 1.2 1 1.2 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】先比较平均数，乙、丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答． 【详解】解：由图可知，乙、丙的平均成绩好， 由于，故乙的方差大，波动大． 故选：C． 【点睛】本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 7. 如图，直线：和：相交于点，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数与二元一次方程组，解题关键是熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系． 由一次函数与二元一次方程组的关系得出是方程组的解，求出的值即可． 【详解】解：直线：和：相交于点， 是方程组的解， ， 解得， 是方程组的解． 故选：． 8. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种出行方式已融入人们的日常生活．如图1是某单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，，要使与平行，则的度数是（ ） A. 16° B. 60° C. 66° D. 114° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线定理与性质、三角形内角和定理，根据平行线定理可得，由平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故故选C． 9. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，，即，正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的容器外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理最短路径问题、轴对称的性质，解决本题的关键是根据轴对称的性质画出蚂蚁走的最短路径，将圆柱的侧面展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出结果． 【详解】解：如图所示，将圆柱的侧面展开， 则有，，， 作点关于的对称点，作交的延长线于点， 则，， ， ． 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 12. 如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成与，若，则的度数为_____． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查平行的性质，垂直的定义，掌握相关定理是解题的关键． 由得到，求出，然后由得到． 【详解】解：如图，过点E作 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 13. 已知y与成反比例，并且当时，．则y与x之间的函数解析式为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整体思想的应用，将“”看作一个整体，替换中的“x”，再用待定系数法求出函数表达式．根据反比例函数的定义，可表示出y与的关系式，再由一对x，y的值，可求出待定系数，进而确定函数解析式． 【详解】解：由题知，令， 又当时，， 则，解得． 所以y与x之间的函数解析式为：． 故答案为：． 14. 如果的整数部分为，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，注意找出最接近的整数范围是解决本题的关键． 由得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴的整数部分． 故答案为：3． 15. 在矩形中，，点P是直线一动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连接，若P、E、D三点在同一条直线上，则_______． 【答案】1或9 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，矩形性质中折叠问题，全等三角形性质及判定．解题的关键是根据题意分情况讨论． 由勾股定理可以求出的长，设，在直角三角形中，有勾股定理列方程即可，另一种情况先证明，再利用勾股定理即可． 【详解】解：根据题意得：， 分情况讨论： 当点在线段上时， 根据折叠性质：， 在中，， 设，则， 在中，， 解得：， 当点在线段的延长线上时， 根据折叠性质：， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 综上：的长为1或9， 故答案为：1或9． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，分母有理化等知识，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）先根据二次根式性质化简，再合并同类项即可； （2）先化简绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂，分母有理化，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解二元一次方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．将方程整理后根据加减消元法求解即可． 【详解】解： 整理得 得， 解得：； 将代入①得， 解得：； ∴． 18. 如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，，， ， ∵，， ，， ， 是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积， ， 这块菜地的面积为， 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某银行的理财经营团队，在2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（单位：）如下： 4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． （1）求该理财经营团队负责经营的12项理财产品收益率的下四分位数、中位数和上四分位数． （2）某同学想要利用箱线图分析该理财经营团队的经营水平，请你根据该团队的相关数据制作箱线图，并根据箱线图对该团队的经营水平作出合理的评价． 【答案】（1）下四分位数为3.195，中位数为3.915，上四分位数为4.44 （2） 如图所示， 由箱线图可得，团队核心产品收益稳健且水平较高，仅少数产品收益偏低，整体经营水平良好，具备较强的收益管理能力，但需优化低收益产品的运营策略． 【解析】 【分析】本题考查了知识点四分位数的计算和箱线图的数据分析，解题关键是掌握四分位数的计算规则，并能通过箱线图中的中位数、四分位数间距等指标，对两组数据的集中趋势和离散程度进行对比分析． （1）先将团队的收益率数据排序，再根据四分位数的公式求解即可； （2）由（1）的结果画出箱线图，然后结合中位数、四分位数间距等指标，从总体经营效益进行评价即可． 【小问1详解】 解：首先，将团队的收益率数据从小到大排序： 2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.88，4.89， ∵共有12个数， ∴下四分位数为第3和第4个数的平均值：， 中位数为第6和第7个数的平均值：， 上四分位数为第9和第10个数的平均值：； 【小问2详解】 略 20. 操作与实践： 已知在平面直角坐标系中三点，，．请回答如下问题： （1）在坐标系内作出关于轴对称的． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小，并求点坐标．（不用写作法．保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，为所求． （2） （3） 如图，点为所求． ， 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称变换，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与x轴交点问题，找出对应点是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到对应点，然后顺次连接即可得到答案； （2）根据分割法求解即可； （3）作关于轴的对称点，连接交x轴与点P，则点P即为所求；然后求出A，所在直线的表达式为，然后令求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：由作图得， ∴当点A，P，三点共线时，有最小值，即的长度， 由对称得， 设A，所在直线的表达式为 将，代入得， 解得 ∴A，所在直线的表达式为 ∴当时， 解得 ∴． 21. 随着科技的发展，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元 （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）种型号的汽车每辆进价分别为万，种型号的汽车每辆进价分别为万元； （2）购买汽车的方案有三种：①种汽车辆，种汽车辆；②种汽车辆，种汽车辆；③种汽车辆，种汽车辆； （3）方案①的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用； （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据题意即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设种汽车辆，种汽车辆，则可列二元一次方程为，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设种汽车每辆万元，种汽车每辆为万元， 则可列二元一次方程组为 解得： 答：种型号的汽车每辆进价分别为万，种型号的汽车每辆进价分别为万元 【小问2详解】 设种汽车辆，种汽车辆，则可列二元一次方程为 符合题意的正整数解有：，， 所以公司购买汽车的方案有三种：①种汽车辆，种汽车辆；②种汽车辆，种汽车辆；③种汽车辆，种汽车辆． 【小问3详解】 公司购买汽车三种方案的利润分别是：①元； ②元 ③元 方案①的利润最大，最大利润是元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． （1）若三边长分别是3，和4，则此三角形___________常态三角形（选填“是”或“不是”）； （2）若是常态三角形．求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）． （3）如图，中，，，点D为的中点，连接、若是常态三角形，求的面积． 【答案】（1）是 （2） （3）的面积为或． 【解析】 【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）分①和②两种情况，利用直角三角形的性质、常态三角形的定义得出的长，从而可得的长，再根据勾股定理求得的长，然后利用直角三角形的面积公式即可得． 【小问1详解】 解：， 是常态三角形， 【小问2详解】 设的两直角边长为，斜边长为， 则， ∵是常态三角形， ， ，， ，， 则三边长之比按照从小到大为． 【小问3详解】 ∵中，，点D为的中点， ∴， ①∵， 当时，是常态三角形， ∵， ∴，（负值已舍）， 在中，由勾股定理得：， 此时的面积为； ②当时，是常态三角形， ∵， ∴，（负值已舍）， 在中，由勾股定理得：， 此时的面积为； 综上，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、二次根式的乘法运算与化简、利用平方根解方程．直角三角形斜边上的中线的性质，理解常态三角形的定义，并熟练掌握勾股定理是解题关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，另一条直线与x轴交于点E，与交于点． （1）求m的值和的解析式； （2）当点C为直线上一动点，且的面积为8，求点C的坐标； （3）点M为x轴一动点，点P是直线上一动点，是否存在以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1； （2）点或 （3）存在；0或或或 【解析】 【分析】（1）根据过点，确定坐标，后代入的解析式，解答即可； （2）设点，当点C在x轴的上方时，此时，；点C在x轴的下方时，此时，，分类解答即可． （3）根据等腰直角三角形的性质，构造一线三直角全等模型，分类解答即可． 本题考查了待定系数法，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点， 故， ∴， ∴， ∴， ∴的解析式为； 【小问2详解】 解：根据直线的解析式为，得，由直线，得，故, 又， 设点，当点C在x轴的上方时，此时， 根据题意，得的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点； 当点C在x轴的下方时，此时， 根据题意，得的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点； 综上所述，点或． 【小问3详解】 解：存在是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 设，， 当为直角边时，过P作轴，过M作于N，过F作于Q，如图： 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 解得或， 此时点P的横坐标为0或； 当为直角边时，过P作轴于H，过F作轴于G，如图： 同理可得， ，， ， 解得或此时P，F重合，舍去或， 综上所述，P的横坐标为0或或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $