云南保山第一中学2025-2026学年上学期期末考试高三年级数学试卷

2025-2026学年上学期期末考试试卷 高三年级 数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则（ ） A.       B.       C.       D. 2.已知集合，集合，则（ ） A.       B.       C.       D. 3.已知，则的值为（ ） A. 15    B.       C.       D. 4.在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A.       B.       C.       D. 5.已知z是方程的一个复数根，则（ ） A.       B.       C.       D. 6.已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列的前10项和为（ ） A.       B.       C.       D. 7.已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（ ） A. 20，2    B. 21，2    C. 21，4    D. 20，4 8.已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ） A.       B.       C.       D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数，则（    ） A. 是的极小值点 B. 有两个极值点 C. 的极小值为 D. 在上的最大值为 10.函数 的图象关于点对称，则下列结论正确的有（ ） A. B. 函数图像的一条对称轴为直线 C. 函数在区间上是增函数 D. 函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到 11.已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前8项和为 D. 的前50项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为            ． 13.已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围是        . 14.已知函数的图象关于点对称，则      ． 四、解答题 15.（13分）已知、、分别为三个内角、、的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求、. 16.（15分）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数为增函数，求的值； 17.（15分）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. （1）现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. （2）高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 18.（17分）在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面. （1）证明：平面 平面； （2）若点在棱上，求直线与平面所成角的正弦值取最大值时，的值； （3）求平面MAC与平面夹角的余弦值. 19.（17分）已知函数. （1）若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； （2）若，对，不等式恒成立（a,b均为实数），求的最大值； （3）实数满足对任意的，函数总有两个不同的零点，证明：. 一、单选题 1. B【解析】集合，集合 ， 筛选得和既在中也在中，故. 故选：B. 2. B【解析】解不等式，解得或，所以. 那么. 又因为，即. 所以. 故选：B. 3. C【解析】由于，则，已知，可变形为. 已知，，将其代入可得. 故选：C. 4. D【解析】由正弦定理，得 故，解得 因，得 ，故 由内角和 ，得 故选：D. 5. B【解析】已知方程， 其判别式， 方程在实数范围内无实根，在复数范围内， 根为， 则. 故选：B. 6. B【解析】数列是首项、公差的等差数列， 则， 化简得. 所以. 数列是首项、公比的等比数列. 前项和为. 故选：B. 7. C【解析】设数据为原数据组， 新数据组为（）， 原数据总和为， 新数据总和为， 代入原总和得， 新均值为， 原方差， 新数据与新均值差的平方和为， 化简得， 展开为， 原平方和为，所以新平方和为， 新方差为. 故选：C. 8. D【解析】. 令，得， 则或， 解得①或②， ①②中，分别取，因为，从小到大排列得， 因为集合恰有3个元素， 所以需满足：，解得：. 故选：D. 二、多选题 9. BD【解析】由题设， 令，则或，令，则， 所以、上递增，上递减， 故为极大值，为极小值，A、C错误，B正确； 在上，在上递减，在上递增，而， 所以在上的最大值为，D正确. 故选：BD. 10. ACD【解析】可得. 选项A：因为图象关于点对称，其对称中心满足，， 整理得，. 又因为，当时，，此时，A选项正确. 选项B：， 因为正弦函数最值为，所以不是的对称轴，B选项错误. 选项C：当时，，则. 而在上单调递增， 令，所以函数在区间上是增函数，C选项正确. 选项D：函数的图像向左平移个单位， 得到，D选项正确. 故选：ACD． 11. ABD【解析】对于A，因为成等比数列，所以，即，解得，故A正确； 对于B，的前项和为，故B正确； 对于C，因为， 所以的前8项和为，故C错误； 对于D，因为， 所以的前50项和为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 【解析】因为两个正数，几何平均值为，即，所以， 根据完全平方公式变形，， 因为，所以， 把代入，得， 当时，等号成立，所以最小值是. 13. 【解析】当时，. 由，得；由，得. 所以在单调递减，在单调递增，在的最小值为. 当时，. 因为有个零点，所以两段函数分别有个和个零点. 若有四个零点， 则，解得. 此时有两种情况： ①，解得； ②，解得. 综上，. 14. 【解析】函数图象关于点对称，则的图象关于点对称， 即是奇函数. 由奇函数性质，对任意，有 . . . 因为， 展开并整理： . 可得. 由于上式对任意恒成立，则系数与常数项均为： 由，得 . 将代入，即，解得 . 所以 . 故答案为： . 四、解答题 15. 解：（1）由正弦定理，原方程化为：， 即， 展开得， 整理得，即， 因，故，得. （2）由及面积公式：，得， 由余弦定理：， 即，得， 故，结合，得. 16. 解：(1)当时，， 对求导，， 所以. 切线方程为， 整理得. （2）， 化简得. 因为为增函数，所以对恒成立. 当时，，要使， 则，即， 所以，. 当时，， 要使，则， 即，所以，. 当时，，，对无限制. 综上，. 17. 解：(1) 前3组频数和为，抽样比为， 故各组抽取人数： ：人； ：人； ：人. 设事件为“4人中至少有2人来自前2组”，则对立事件为“至多1人来自前2组”， 即0人或1人来自前2组. . 故. （2）（i）样本平均数： . 已知，， 则：. 所求概率为： . (ii) 方案1总时长：小时. 方案2中，设每位学生获赠时长为， 则：， ， . 数学期望： 总时长：小时，大于方案1的500000小时， 故方案2赠送总时长更多. 18. (1)证明：因平面，平面平面，故. 设，，连接. 由四棱台性质，平面平面，得. 已知，故四边形为等腰梯形，. 底面为菱形，故， 又，， 得平面， 故平面. 又平面，由边长计算得，即， 故平面平面. (2)解：由(1)知平面，以为原点，为轴建立坐标系. 得，，，，. 平面的法向量可取.设，， 则. 直线与平面所成角的正弦值为： . 当时，最大，此时. (3)解：设， 设平面的法向量， 由，可得. 设，，， ， 得，. 又在平面上，代入，得，解得， 故，，即. 平面的法向量， 由，， 则，令，可得. 平面与平面夹角的余弦值为：. 19. （1）解：对 求导，得 曲线在处切线斜率为 ，令，解得 （2）解：当，不等式 化为 ， 即 对任意 成立. 若 ：当 时，，， 故 ，矛盾； 若 ，则 需 ，此时 若 ：设 ， 则 ，极小值点为 极小值 ， 即 令 ，设， 求导得 当 时，； 当 时，， 故 在 处取最大值 此时 ，，故的最大值为 （3）证明：由 得 ， 由 得 ，且 . 需证，变形为 代入 ，得 因，故 ，即 代入得，即 再证：令（因 ）， 则需证 ，即 ，即 考虑 因，故 ，而， 故，即 又 在 单调递增， 故 ，即 因 ， 故 ， 从而 ，得证. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $