第9章因式分解 单元测试卷2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第9章因式分解单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(每题3分,共30分) 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 2．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．将关于的多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．若，且，，则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 5．如果多项式是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．18 B．36 C． D． 6．如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．若，，是三角形三边的长，则代数式的值（    ） A．小于等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零 8．下列选项中，对任意的整数n，能整除的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 10．已知，为实数，若，，同时成立，则，，从小到大的排列的次序为（   ） A． B． C． D． 二、填空题(每题3分,共18分) 1．分解因式： ． 2．分解因式： ． 3．已知，则的值为 ． 4．若关于的二次三项式能被整除，则的值为 ． 5．一个四位自然数各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位和百位数字后得到的两位数，则称此数为“美好数”．例如：四位数2436，因为，所以2436是“美好数”：又如：四位数3572，因为，所以3572不是“美好数”．按照这个规定，最小的“美好数”是 ． 已知“美好数”，记，．当为整数，为完全平方数时，满足条件的“美好数”为 ． 6．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．若a，b为实数且满足，整式，求整式M的最小值为 ． 三、解答题(每题9分,共72分) 1．（1）计算： （2）因式分解： 2．（1）计算： （2）因式分解： 3．先化简，再求值：，其中，． 4．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 5．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 6．仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 7．对于一个平面图形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，可以得到一个因式分解等式． 利用图1，可以得到一个因式分解等式：；如图2所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形．③、④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． (1)观察图2，可以发现多项式可因式分解为________； (2)若图2中每块小长方形的面积为7，四个正方形的面积之和为22，试求图2中所有裁剪线（虚线部分）长之和； (3)类似的，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：________． 8．阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求最小值：的最小值_______； (2)已知，求的值_______； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章因式分解单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(每题3分,共30分) 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分解因式，提取公因式需确定系数的最大公因数和各项共有字母的最低次幂，由此即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵系数2和8的最大公因数为2，变量和都含有，且的最低次幂为1， ∴公因式为， 故选：B． 2．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断是否是因式分解等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 根据因式分解的概念，判断各选项即可． 【详解】解：，这是整式乘法，不是因式分解， 故A不符合； ，右边不是积的形式， 故B不符合； ，右边是整式的积，符合定义是因式分解， 故C符合； ，右边不是整式，因此不是因式分解， 故D不符合； 故选：C． 3．将关于的多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式将展开，与原多项式比较即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵原多项式为， ∴， 故选：． 4．若，且，，则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，已知式子的值，求代数式的值． 由已知可得，移项，因式分解可得，由，可得，即可得的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．如果多项式是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．18 B．36 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：D． 6．如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值、整体代入法求代数式的值．根据长方形的周长和面积可得：，，利用完全平方公式可得，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：边长为，的长方形的周长为，面积为， ，， ， ， ． 故选：A． 7．若，，是三角形三边的长，则代数式的值（    ） A．小于等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，将代数式分解因式，利用三角形三边关系得，，然后判断符号即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵，，是三角形三边， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即原代数式的值小于零， 故选：． 8．下列选项中，对任意的整数n，能整除的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式展开，再去括号，合并同类项，简化给定表达式为，分析其整除性质． 【详解】解：原式 对于任意整数n，总能被4整除， 故选：B． 9．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】根据“智慧数”的定义，若正整数是智慧数，则存在正整数，使得．利用平方差公式分解得 ，因此可以通过验证每个选项能否写成两个正整数的平方差来判断． 【详解】解：A、，符合智慧数定义，不符合题意； B、，符合智慧数定义，不符合题意； C、，符合智慧数定义，不符合题意； D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用与正整数的因数分解，解题关键是利用平方差公式将“智慧数”转化为两个因数的乘积，通过分析因数的奇偶性和整数解来判断是否为智慧数． 10．已知，为实数，若，，同时成立，则，，从小到大的排列的次序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式、因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据完全平方公式和因式分解对式子变形，推出，分两种情况讨论，当时和当时，进而得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴、同号， ∵，， ∴； ①当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴； ②当时，可化为， ∴， ∴， ∴，与矛盾， 故此种情况不成立； 综上所述，． 故选：A． 二、填空题(每题3分,共18分) 1．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式x即可分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，直接应用平方差公式即可求解. 【详解】解：. 故答案为 3．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，因式分解；先根据已知求出，，然后把提取公因式分解因式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴将代入可得， ∴， 故答案为：． 4．若关于的二次三项式能被整除，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意设出多项式分解因式的结果是解题的关键． 根据题意设出多项式分解因式的结果，利用多项式乘多项式法则及多项式相等的条件即可求出的值． 【详解】解：根据题意可设， 解得 则的值为． 故答案为：． 5．一个四位自然数各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位和百位数字后得到的两位数，则称此数为“美好数”．例如：四位数2436，因为，所以2436是“美好数”：又如：四位数3572，因为，所以3572不是“美好数”．按照这个规定，最小的“美好数”是 ． 已知“美好数”，记，．当为整数，为完全平方数时，满足条件的“美好数”为 ． 【答案】 1425 1764 【分析】本题考查新定义，因式分解，根据“美好数”定义有，据此代入计算即可． 【详解】解：“美好数”，根据“美好数”定义有，且互不相等且均不为0， 为求最小“美好数”，从开始尝试： 当、时，，不满足“美好数”； 当、时，，十位和千位重复，不满足“美好数”； 当、时，，即、，数字互异，满足“美好数”； ∴最小“美好数”为1425； ∵， ∴，， ∴， ∴当为整数时，是11的倍数或是11的倍数， ∵为两个不相等且不为0的数， ∴，则， ∴或 当时，，不合题意； ∴，即， ∴，， ∵为完全平方数， ∴， ∴， ∴， ∴当为整数，为完全平方数时，满足条件的“美好数”为1764， 故答案为：1425；1764． 6．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．若a，b为实数且满足，整式，求整式M的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分组分解法因式分解，配方法的运用，掌握以上知识，正确配方是关键． 由已知条件得到，代入整式中，通过配方法将转化为完全平方式与常数的和，进而利用非负性求最小值． 【详解】解：由，得， 代入，得： ， 对和分别配方：，， 代入得： ， 由于， 且，故， 当时，满足，且， 因此，整式的最小值为， 故答案为：． 三、解答题(每题9分,共72分) 1．（1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算和因式分解，熟练掌握因式分解的技巧方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘以多项式进行求解即可； （2）先利用提公因式法分解，再利用平方差公式法和完全平方公式法进行分解即可得． 【详解】解：（1） ． ； （2） ． 2．（1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查整式的乘法和因式分解： （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式； （2）结合提公因式法和公式法求解即可． 【详解】（1）原式      （2）原式 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】此题考查了整式的混合运算及求值、因式分解的简便运算，熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解本题的关键． 先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项化简原式，再将的值代入计算即可得． 【详解】解：， ， ． ， 将，代入， 原式 ， ， ． 4．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)时，多项式有最小值，最小值为 (3)，时，多项式的最小值为 【分析】（）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵，， ∴当且时，多项式取最小值， 即时，多项式有最小值，最小值； （3）解： ， ，， ∴当且时，多项式取最小值， 即当，时，多项式的最小值为． 5．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用分组分解法分解因式，分组分解时往往还要用到提公因式法和公式法，首先观察给出的多项式，将多项式进行适当的分组，使分成的各组中有公因式或可以用公式分解；然后要再用提公因式法或公式法进行分解，注意因式分解要分解到不能分解为止． （1）把前两项和第四项结合后利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先对式子进行分组分解，把已知的两式相加得，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵，， ∴， ∴原式． 6．仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 7．对于一个平面图形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，可以得到一个因式分解等式． 利用图1，可以得到一个因式分解等式：；如图2所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形．③、④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． (1)观察图2，可以发现多项式可因式分解为________； (2)若图2中每块小长方形的面积为7，四个正方形的面积之和为22，试求图2中所有裁剪线（虚线部分）长之和； (3)类似的，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：________． 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】本题考查几何图形与整式乘法，熟练掌握整式乘法的应用是解题的关键， （1）利用两种不同的方法计算图中的面积，即可得，从而得到答案； （2）根据题意可得：所有裁剪线长之和为：，由于每块小长方形的面积为7，四个正方形的面积之和为22，所以可得到，，进而求出的值，即可得到答案； （3）根据图中图形的变化关系可得到几何体的体积不变，分别求出几何体变化前后的体积即可得到答案． 【详解】（1）解：由图2可得：矩形的面积为：， ∴， 故答案为：． （2）解：由图得，所有裁剪线长之和为：， 每块小长方形的面积为7，， 四个正方形的面积之和为22， ， ∴， ∴， 或（舍去）， ． （3）解：由图3中左图得，几何体体积为：， 由图3中右图得，几何体体积为， ． 故答案为：． 8．阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求最小值：的最小值_______； (2)已知，求的值_______； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)18，见解析 【分析】本题考查了非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解-分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，，根据，确定出最大值即可． 【详解】（1）解： ， ， 当时，有最小值， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： （3）解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $