第08讲 条件概率（知识清单+4题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏教版选择性必修二）数学高二重难点讲义与测试

第08讲 条件概率 知识清单 知识点01：条件概率 知识点02：全概率公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：计算条件概率 题型2：条件概率性质的应用 题型3：利用全概率公式求概率 题型4：利用贝叶斯公式求概率 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01条件概率 定义 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 性质 ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) [方法技巧] 解决条件概率问题的步骤 第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步． 第二步，计算概率，这里有两种思路： 思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算 思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算 [提醒]　要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率． 知识点02全概率公式 若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均互斥，即，． （2）． （3）．则对任意事件，都有，则称该公式为全概率公式． 上述公式可借助图形来理解： 题型1：计算条件概率 【例1-1】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】C 【分析】由条件概率公式计算可得结果. 【详解】由，可得，则. 故选：C. 【例1-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知，则 . 【答案】0.6/ 【分析】根据条件概率的概率公式即可求解. 【详解】， 所以， 所以. 故答案为：0.6. 【例1-3】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率． 【答案】 【分析】设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，得到事件AC为“第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目”，利用条件概率求解. 【详解】解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C， 则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC． 又， ∴． 【变式1-1】（24-25高二下·江苏镇江·期末）某高校两名学生准备从、、、、、这门选修课程中任选门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了门相同课程的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件这两名学生在所选课程中有相同课程，事件这两名学生恰好选择了门相同课程， 则，， 由条件概率公式可得. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二下·江苏南京·期末）设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据条件概率的公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 所以. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二下·江苏苏州·月考）（1）已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为，求展开式中的常数项． （2）已知随机事件，，，求． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由已知条件求出的值，写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解； （2）利用概率的乘法公式求出的值，然后利用条件概率公式可求出的值. 【详解】（1）由题意可得，整理可得， 因为且，解得， 所以的展开式通项为， 由得，故展开式中的常数项为； （2）由概率的乘法公式可得， 由条件概率公式可得. 题型2：条件概率性质的应用 【例2-1】（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率的乘法公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得. 故选：C. 【例2-2】（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【详解】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 【例2-3】（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知两个随机事件，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据条件概率的性质即可求解. 【详解】由可得，故, 故答案为：, 【变式2-1】已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式进行计算. 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以. 故选：B 【变式2-2】已知随机事件，则 . . 【答案】 / / 【分析】求出和，由概率的乘法公式和条件概率公式，可得结果. 【详解】由概率的乘法公式得， 因为，，则， 所以由条件概率公式得， 故答案为：； 【变式2-3】一只蚂蚁从正四面体的顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点为一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后仍在顶点的概率为 ． 【答案】 【分析】设“蚂蚁爬行次后仍在顶点” 为事件，“不在顶点”为事件，则，，，根据求出，再代入可得结果. 【详解】设“蚂蚁爬行次后仍在顶点” 为事件，“不在顶点”为事件， 则，，，, ， 则，又， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，所以， 所以. 所以蚂蚁爬行5次后仍在顶点的概率为. 故答案为：. 题型3：利用全概率公式求概率 【例3-1】（24-25高二下·江苏南通·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意及全概率公式可得答案. 【详解】依题意，设事件为“零件为第i台车床加工”（1，2，3），事件B为“零件为次品”. 由全概率公式： . 故选：A 【例3-2】（24-25高二下·江苏·月考）已知某次数学测试卷中有8道4选1的单选题，某学生能完整做对其中6道题，在剩下的2道题中，有1道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.小明从这8题中任选1题，则他做对的概率为 . 【答案】/0.875 【分析】合理设出事件，利用全概率公式进行求解. 【详解】设小明从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的6道题为事件B， 选到有思路的1道题为事件C，选到完全没有思路为事件D， 则，，， 由全概率公式可得： . 故答案为：. 【例3-3】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】利用全概率公式直接列式求解. 【详解】依题意，， 因此，所以. 故答案为：0.2 【变式3-1】（25-26高二上·江苏常州·期末）秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分别记事件、、为选取的人来自、、地区，记事件为选取的人患了流感， 则，，， ，，， 从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为 ， 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二下·江苏常州·期末）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球、先从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取1个球，则该球是红球的概率为 . 【答案】 【分析】考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设A表示事件“从甲袋取出又放入乙袋中的球是白球”， 则表示事件“从甲袋中取出放入乙袋中的球是红球”， B表示事件“最后从乙袋中取出的球是红球”， 所以，， 故，， 故 ， 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二下·江苏徐州·期中）在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.96；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.25，处于嘈杂环境的概率为0.75，则该天测试结果为语音识别成功的概率为 ． 【答案】0.69/ 【分析】利用全概率公式求值. 【详解】设事件：语音识别成功，则. 故答案为： 题型4：利用贝叶斯公式求概率 【例4-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 【例4-2】某小学举办家长开放日，欢迎家长参加活动，小明母亲参加活动的概率为，若母亲参加，则父亲参加的概率为；若母亲不参加，则父亲参加的概率为，请问小明父亲参加活动的概率为 ；在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为 . 【答案】 / 【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件为小明母亲参加活动，设事件为小明父亲参加活动， 由题意可得, 所以， 因为， 所以在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为. 故答案为：； 【例4-3】某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，且四条流水线的产品不合格率分别为和，现从该厂的这一产品中任取一件. (1)问抽到不合格品的概率是多少? (2)在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解. （2）结合第（1）问，利用贝叶斯概率公式求解即可. 【详解】（1）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”， 表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，， 由题意，，，，， 且，，，， 从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是： . （2）结合第（1）问知. 【变式4-1】（25-26高二·江苏·假期作业）已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果． 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：． 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·江苏连云港·月考）有3台车床加工同一型号的零件，甲、乙、丙三台车床加工的次品率依次为，，，且甲、乙、丙三台车床加工的零件数分别占总数的，，.将加工出来的零件混放在一起，从混合零件中任取1个. （1）它是次品的概率为 ； （2）如果取到的零件是次品，那么它是甲车床加工的概率为 . 【答案】 / 【分析】设任取一件产品来自甲车床为事件、来自乙车床为事件、来自丙车床为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率；利用贝叶斯概率公式可求出取得零件是次品，则它是来自甲车床加工的概率. 【详解】设任取一件产品来自甲车床为事件、来自乙车床为事件、来自丙车床为事件， 则彼此互斥，且，，，，， 设从混合零件中任取1个，取到的是次品为事件， 则 ， 如果取到的零件是次品，那么它是甲车床加工的概率为 , 故答案为：； 【变式4-3】（2024高二下·江苏·专题练习）一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为. (1)求这位教授迟到的概率； (2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设A=“这位教授迟到”；B1=“乘飞机”；B2=“乘动车”；B3=“乘非机动车”，根据全概率公式，即可求得答案； （2）由题意可知所求概率为，根据贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】（1）设“这位教授迟到”；=“乘飞机”；=“乘动车”；=“乘非机动车”， 则， 由全概率公式得：. （2）由题意可知所求概率为， 由贝叶斯公式得：. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南通·期末）某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 【答案】B 【分析】利用全概率公式进行计算即可. 【详解】利用全概率公式计算， 即现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是， 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏南京·月考）一份数学试卷中有8道单选题，小王对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是0.8，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小王从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示“考生答对”， 设事件表示“考生选到有思路的题”. 则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为： 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏苏州·期末）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知接收到0有两种情况，发射0或发射1，再利用全概率公式求解即可. 【详解】根据题意接收到0有两种情况，发射0或发射1， 所以接收到0的概率为. 故选：C. 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：B． 5．从数字中随机取一个数字，记为，再从数字中随机取一个数字，则第二次取到的数字为2的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可. 【详解】记事件为“第一次取到数字n”， ， 事件B为“第二次取到的数字为2”， 由题意知是两两互斥的事件，且（样本空间）， , 故选：B 6．（24-25高二下·江苏淮安·期中）为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某校在第47个植树节来临之际，从高一、高二、高三中分别选派4名、5名、6名学生参加植树造绿活动，其中高一、高二、高三年级参加活动的学生中男生人数分别为2、3、4，活动结束后，随机推选一名学生汇报活动体会，如果选到的是女生，则该生不是高二同学的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式计算可得. 【详解】依题意高一、高二、高三年级参加活动的学生中女生人数均是人， 记选到的是女生为事件，该生不是高二同学为事件， 则. 故选：D 7．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某足球队球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为、、，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为、、．当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件、、分别为球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，记事件乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件、、分别为球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置， 记事件乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球， 由题意可知，，， ，，， 由全概率公式可得 . 故选：A. 8．（24-25高二下·江苏·期末）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，根据全概率公式得到，，再利用条件概率公式计算得到答案. 【详解】设第一次取出红球的事件为，第二次取出的球是白球的事件为， 取到甲袋，乙袋的事件分别为，， 则， ， 则. 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高二下·江苏淮安·期中）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率及全概率公式计算即可. 【详解】由题意知，， ，，故A正确； ，，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高二下·江苏南京·期中）某位同学参加投篮比赛，第一次投篮投中的概率为．如果他第一次投中，那么在第二次投篮中更有自信，投中的概率为．如果他第一次未投中，那么在第二次投篮中会紧张，投中的概率为．下列说法正确的是（   ） A．连续投篮两次都投中的概率为 B．连续投篮两次都未投中的概率为 C．第二次投篮投中的概率为 D．若他第二次投中，则他第一次投中的概率为 【答案】ACD 【分析】对A，利用全概率公式求解；对B，利用全概率公式求解；对C，利用全概率公式求解；对D，利用条件概率的公式求解. 【详解】设事件：第一次投篮投中，事件：第二次投篮投中， 则，，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，由条件概率得，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高二下·江苏南京·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2，3台车床加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则（    ） A．任取一个零件，该零件是第1台车床加工的次品的概率为0.015 B．任取一个零件，该零件是次品的概率为0.058 C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 【答案】AC 【分析】运用概率乘法公式可判断A；根据全概率公式可判断B；由贝叶斯公式可判断CD. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”， 则，，， ，，， 对于A，即，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏泰州·期中）某工厂3个车间生产同一件计算机配件，3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，这3个车间的次品率依次为6%，5%，5%.任取一个配件是次品的概率为 . 【答案】 【分析】根据三个车间的产量占比和次品率，即可求出任取一个配件是次品的概率. 【详解】由题意， 3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，次品率依次为6%，5%，5%， ∴任取一个配件是次品的概率为：， 故答案为：. 13．（24-25高二下·江苏盐城·月考）已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式和乘法公式列式计算得解. 【详解】由，得， 而，所以 故答案为： 14．（24-25高二下·江苏连云港·月考）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，移动了3次，该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，该质点竖直方向移动两次的概率 . 【答案】 【分析】根据相互独立时间的概率乘法公式，结合分类讨论以及条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“竖直方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论． 记向下，向上，向右，向左， ①若1步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D）， LR（U或D或R），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL 所以；所以， 满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）． 所以，所以． 故答案为:． 四、解答题 15．在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，利用全概率公式可求得的值； （2）利用条件概率公式可求得的值. 【详解】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区， 记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区， 则，且、、彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 . （2）由条件概率公式可得. 16．（24-25高二下·江苏·月考）坛子里放着5个大小，形状都相同的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的，如果不放回地依次拿出2个鸭蛋. (1)求第1次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第2次拿出绿皮鸭蛋的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式可得结果； （2）利用条件概率计算公式代入计算即可求得结果. 【详解】（1）记“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件， 易知； 即第1次拿出绿皮鸭蛋的概率为； （2）记“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件， 则可得， 由条件概率计算公式可得； 所以在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为. 17．某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． (1)求客户满意的概率； (2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 【答案】(1) (2)；；. 【分析】（1）利用全概率公式求解； （2）利用条件概率求解. 【详解】（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：. 所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：. （2）设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件， 则客户满意且是甲运送的概率为：, 客户满意且是乙运送的概率为：, 客户满意且是丙运送的概率为：. 18．（24-25高二下·江苏南京·期中）假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球与2个红球，第二个盒子里装有2个白球与4个红球，这些小球除颜色外完全相同. (1)从两个盒子中分别取出一个球，求取到红球的概率； (2)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率； (3)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据古典概型结合对立事件概率计算求解； （2）应用对立事件及条件概率公式计算求解； （3）应用全概率公式计算求解. 【详解】（1）记“取到红球”为事件， 则， 即取到红球的概率为. （2）依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球， 则， 即所求概率为. （3）记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球， 则. 即所求概率为. 19．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； (2)求第一次取出的是白球的概率； (3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)合理设出事件，利用条件公式进行求解； (2) 利用全概率公式进行求解； (3) 利用全概率公式，条件概率公式进行求解； 【详解】（1）记“随机取到甲袋”为事件，“随机取到乙袋”为事件，“第一次取出的是白球”为事件，“第二次取出的是白球”为事件. . 所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为. （2） 所以第一次取到白球的概率为. （3） 所以. 所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 条件概率 知识清单 知识点01：条件概率 知识点02：全概率公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：计算条件概率 题型2：条件概率性质的应用 题型3：利用全概率公式求概率 题型4：利用贝叶斯公式求概率 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01条件概率 定义 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 性质 ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) [方法技巧] 解决条件概率问题的步骤 第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步． 第二步，计算概率，这里有两种思路： 思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算 思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算 [提醒]　要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率． 知识点02全概率公式 若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均互斥，即，． （2）． （3）．则对任意事件，都有，则称该公式为全概率公式． 上述公式可借助图形来理解： 题型1：计算条件概率 【例1-1】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【例1-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知，则 . 【例1-3】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率． 【变式1-1】（24-25高二下·江苏镇江·期末）某高校两名学生准备从、、、、、这门选修课程中任选门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了门相同课程的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·江苏南京·期末）设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则 ． 【变式1-3】（24-25高二下·江苏苏州·月考）（1）已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为，求展开式中的常数项． （2）已知随机事件，，，求． 题型2：条件概率性质的应用 【例2-1】（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【例2-3】（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知两个随机事件，若，，，则 . 【变式2-1】已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知随机事件，则 . . 【变式2-3】一只蚂蚁从正四面体的顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点为一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后仍在顶点的概率为 ． 题型3：利用全概率公式求概率 【例3-1】（24-25高二下·江苏南通·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高二下·江苏·月考）已知某次数学测试卷中有8道4选1的单选题，某学生能完整做对其中6道题，在剩下的2道题中，有1道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.小明从这8题中任选1题，则他做对的概率为 . 【例3-3】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知，，，则 . 【变式3-1】（25-26高二上·江苏常州·期末）秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·江苏常州·期末）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球、先从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取1个球，则该球是红球的概率为 . 【变式3-3】（24-25高二下·江苏徐州·期中）在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.96；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.25，处于嘈杂环境的概率为0.75，则该天测试结果为语音识别成功的概率为 ． 题型4：利用贝叶斯公式求概率 【例4-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【例4-2】某小学举办家长开放日，欢迎家长参加活动，小明母亲参加活动的概率为，若母亲参加，则父亲参加的概率为；若母亲不参加，则父亲参加的概率为，请问小明父亲参加活动的概率为 ；在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为 . 【例4-3】某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，且四条流水线的产品不合格率分别为和，现从该厂的这一产品中任取一件. (1)问抽到不合格品的概率是多少? (2)在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少? 【变式4-1】（25-26高二·江苏·假期作业）已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·江苏连云港·月考）有3台车床加工同一型号的零件，甲、乙、丙三台车床加工的次品率依次为，，，且甲、乙、丙三台车床加工的零件数分别占总数的，，.将加工出来的零件混放在一起，从混合零件中任取1个. （1）它是次品的概率为 ； （2）如果取到的零件是次品，那么它是甲车床加工的概率为 . 【变式4-3】（2024高二下·江苏·专题练习）一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为. (1)求这位教授迟到的概率； (2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南通·期末）某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 2．（24-25高二下·江苏南京·月考）一份数学试卷中有8道单选题，小王对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是0.8，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小王从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏苏州·期末）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 5．从数字中随机取一个数字，记为，再从数字中随机取一个数字，则第二次取到的数字为2的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏淮安·期中）为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某校在第47个植树节来临之际，从高一、高二、高三中分别选派4名、5名、6名学生参加植树造绿活动，其中高一、高二、高三年级参加活动的学生中男生人数分别为2、3、4，活动结束后，随机推选一名学生汇报活动体会，如果选到的是女生，则该生不是高二同学的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某足球队球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为、、，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为、、．当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏·期末）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·江苏淮安·期中）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（   ） 10．（24-25高二下·江苏南京·期中）某位同学参加投篮比赛，第一次投篮投中的概率为．如果他第一次投中，那么在第二次投篮中更有自信，投中的概率为．如果他第一次未投中，那么在第二次投篮中会紧张，投中的概率为．下列说法正确的是（   ） A．连续投篮两次都投中的概率为 B．连续投篮两次都未投中的概率为 C．第二次投篮投中的概率为 D．若他第二次投中，则他第一次投中的概率为 11．（24-25高二下·江苏南京·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2，3台车床加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则（    ） A．任取一个零件，该零件是第1台车床加工的次品的概率为0.015 B．任取一个零件，该零件是次品的概率为0.058 C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏泰州·期中）某工厂3个车间生产同一件计算机配件，3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，这3个车间的次品率依次为6%，5%，5%.任取一个配件是次品的概率为 . 13．（24-25高二下·江苏盐城·月考）已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 14．（24-25高二下·江苏连云港·月考）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，移动了3次，该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，该质点竖直方向移动两次的概率 . 四、解答题 15．在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率. 16．（24-25高二下·江苏·月考）坛子里放着5个大小，形状都相同的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的，如果不放回地依次拿出2个鸭蛋. (1)求第1次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第2次拿出绿皮鸭蛋的概率. 17．某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． (1)求客户满意的概率； (2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 18．（24-25高二下·江苏南京·期中）假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球与2个红球，第二个盒子里装有2个白球与4个红球，这些小球除颜色外完全相同. (1)从两个盒子中分别取出一个球，求取到红球的概率； (2)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率； (3)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率. 19．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； (2)求第一次取出的是白球的概率； (3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率 1 学科网（北京）股份有限公司 $