第09讲 空间向量及其运算（知识清单+5题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版选择性必修一）数学高二重难点讲义与测试

⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未一 第09讲空间向量及其运算 内容预览 知识清单 知识点01：空间向量的有关概念 知识点02：空间向量的有关定理 知识点03：两个向量的数量积 题型1：空间向量的加减运算 题型2：空间向量加减运算的几何表示 题型讲解 题型3：空间向量数乘运算与空间向量的数乘运 题型4：求空间向量的数量积 (举三反三) 算的集合表示 题型5：空间向量数量积的应用 强化训练 一、填空题(12) 二、单选题(4) 三、解答题(5) 知识清单 知识点01空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平 共线向量（或平行向量） 行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 知识点02空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数入，使得a=入b (2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数 对(x,y),使p=xa十yb (3)空间向量基本定理：如果三个向量，b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使 1 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 得p=xa十yb十zc,其中，{a,b,c叫做空间的一个基底. 知识点03两个向量的数量积 (1)非零向量a,b的数量积a·b=a b cos(a,b) (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：（入a)·b=入(a·b: ②交换律：a·b=b·a: ③分配律：a·(b十c)=a·b十a·c 888 题型讲解 题型1：空间向量的加减运算 【例1-1】设A、B、C、D是空间中不共面的四点，令u=AD+BC,v=AB+CD,w=AC+BD,则心w三 个向量() A.互不相等 B.有且仅有两个相等C.都相等 D.以上均有可能 【答案】B 【分析】利用空间向量的加减运算求解 【详解】u=AD+BC=AC+CD+BC=AC+BD=O, v=AB+CD=AD+DB+CD=AD+CB, 若y=u,则BC=CB,即BC=0,则B,C重合， 于是A、B、C、D共面，矛盾， 所以v≠4，即立、w三个向量有且仅有两个相等， 故选：B 【例1-2】已知长方体ABCD-A,B,CD,中，点Q为线段CC的中点，AQ=rAB+SAD+1AA,则 r+s+t= 2 宋老师数学图文制作室 数子 ©初高中数学备课备考 o. 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期抹 【答案】25 【分析】根据向量的加法运算及向量的相等求值即可 【详解】如图， A D B C D 因为A0=AB+BC+CO=AB+AD+2AM=rAB+sAD+1A4, 所以r+s+1=1+1+1=5 22 故答案为： 5-2 【例13】已知四面体ABCD,G是CD的中点，连接AG,则AB+(BD+BC)= 【答案】AG/GA 【分析】根据己知条件作出图形，利用空间向量的加法法则即可求解 【详解】四面体ABCD,G是CD的中点，如图， B G 3 宋老师数学图文制作室 确数子 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 则BG=(BD+BC,所以AB+(BD+BC)=AB+BG=AG 故答案为：AG 【变式1-1】(24-25高二上·上海青浦期末)如图，在四面体0-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c，且OM=2MA, BN=NC，则MN=(用a,b,c表示) 21,1 【答案】- a+b+ 【分析】根据条件，结合空间向量的运算，即可得到结果 【详解】依题得，MN=MA+AB+BN -04+(o8-04+58c =专01+(08-04)+50c-08） 1+508+0c 3 2-,1,1 -b+ 3a+2b+20。 故答案为：-2a+ 1 30 2 c. + 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【变式1-2】如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中，设AA=1,AB=2,AD=3,则CC,-BD,= D B D B 【答案】√13 【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及己知条件，求目标向量的模即可， D 【详解】 B CC:-BD,=BB,-BD,=D,B,=DB-13+2 =3 故答案为：√3 【变式1-3】(24-25高二上·上海课后作业)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，CA=a,CB=b,CC=c,将向量 AB表示为a、五、C的线性组合. A B 【答案】AB=-a+b-c 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期抹 【分析】由空间向量的加减法运算即可求解 【详解】AB=AB+BB=AB+CC=CB-CA-CC=-a+b-c. 题型2：空间向量加减运算的几何表示 【例2-1】如图，在平行六面体ABCD-A,B,CD中，AB+AD-CC1=(） D C A B ! D A.AC B.C C.DB D.DB 【答案】B 【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量 D 9 A 、、 B1 【详解】 连接AC、A,C,可得AB+AD=AC,又CC=AA, D C --- A B 所以AB+AD-CC=AC-AA=AC. 故选：B. 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。一 【例2-2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若PA=a,PB=b,PC=c,若 BE=xa+yb+zC,则x+y+2= B 【答案】-/-0.5 2 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 【详解】因为BE=PE-PB=)PD-PB=(PC+CD)-PB (PC)(PCPA-P)-P8Pc 1 1 所以xy=所以+ 2 故答案为：一2 1 【创2.3】如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，且∠APB=∠APC=∠BPC=胥PA=3PB=PC=2,M是PD 的中点. M 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (I)若BD=mPA+nPB+pPC,求m+n+p的值： (2)求线段BM的长， 【答案】(1)0 【分析】小问1利用空间向量的线性运算即可，小问2运用空间向量线性运算结合中点的条件，建立方程，求解即可 【详解】(I):BD=BA+BC=PA-PB+PC-PB=PA-2PB+PC, .m+n+p=0 (2) BM -PM-P8PD-P8(PC+CD)-PB(PC+PA-PB)-PB -(PC+P4)-PB. (PCPCP2PC)P8FP =4+92x2x3xe0 2x2xc π3 .π3 3 32 3x2xco+9=19-3- 3 4 +9=25 9 :.BM= 21 【变式2-1】(24-25高二上·上海期末)在四棱锥S-ABCD中，若SA=xSB+ySC+zSD,则实数组(x,y,z)可能是 () A.(1,l,1 B.(1,-1,1 C.1,0,-1 D.(1,-1,-1 【答案】B 【分析】利用底面是平行四边形判断B,根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断A,C,D. 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【详解】 C B B 对于选项A,取BC的中点E,连接SE,DE,取DE的中点F,连接SF,若(x,y,z)=(1,1,1,则 SA=SB+SC+SD=2SE+SD=SE+SE+SD=SE+2SF≠SA,故A错误； 对于选项B,若底面是平行四边形，设AC∩BD=0,则SA+SC=2SO=SB+SD,因此SA=SB-SC+SD,即 (x,y,z=1,-1,1),故B正确： 对于选项C,若(x,y,z=(1,O,-l),则xSB+ySC+zSD=SB-SD=DB≠SA,故C错误， 对于选项D,若x,y,z=(1,-1,-1),则xSB+ySC+zSD=SB-SC-SD=CB-SD,但BCd平面SAD,即 SA,SD,CB不共面，因此SA=CB-SD不可能成立，故D错误. 故选：B 【变式2-2】在平行六面体ABCD-A,B,CD,中，M为AC与BD的交点，若AB,=Q,AD=b,AA=c,则 BM= (用a,6,c表示) 【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用向量的加法几何意义表示出BB、BM,从而得出B,M 【详解】如图所示，平行六面体ABCD-A,B,C,D,中， M为AC与BD的交点，A,B,=Q,A,D,=b，A,A=C, 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 .BB=AA=c, 8M=8D=8A+BC(B4+BC)=48+4D)小=a+b) 故答案为：c+ b- 2 2 D M D B 【变式2-3】如图所示，己知空间四边形ABCD,连接AC、BD、EF,点E、F、G分别是BC、CD,DB的中点，请化简下列 算式，并标出化简得到的向量 B E (1)AB+BC+CD: (2)AB+GD+EC· 【答案】(I)AB+BC+CD=AD,作图答案见解析 (2)AB+GD+EC=AF,作图答案见解析 10 第09讲 空间向量及其运算 知识清单 知识点01：空间向量的有关概念 知识点02：空间向量的有关定理 知识点03：两个向量的数量积 题型讲解 （举三反三） 题型1：空间向量的加减运算 题型2：空间向量加减运算的几何表示 题型3：空间向量数乘运算与空间向量的数乘运算的集合表示 题型4：求空间向量的数量积 题型5：空间向量数量积的应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 知识点02空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 知识点03两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 题型1：空间向量的加减运算 【例1-1】设A、B、C、D是空间中不共面的四点，令，，，则、、三个向量（    ） A．互不相等 B．有且仅有两个相等 C．都相等 D．以上均有可能 【例1-2】已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 【例1-3】已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则 ． 【变式1-1】（24-25高二上·上海青浦·期末）如图，在四面体中，，且，，则= （用表示） 【变式1-2】如图，在长方体中，设，，，则 ． 【变式1-3】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在直三棱柱中，，，，将向量表示为、、的线性组合．    题型2：空间向量加减运算的几何表示 【例2-1】如图，在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【例2-2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，若，则 ．    【例2-3】如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则 .（用，，表示） 【变式2-3】如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量. (1)； (2). 题型3：空间向量数乘运算与空间向量的数乘运算的集合表示 【例3-1】在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则（    ）． A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量 .（用、、表示） 【例3-3】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【变式3-1】（24-25高二上·上海嘉定·期中）在长方体中，为中点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则 .    【变式3-3】如图，设A是所在平面外的一点，G是的重心.求证： .    . 题型4：求空间向量的数量积 【例4-1】棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 【例4-2】（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间向量，，则 . 【例4-3】已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 【变式4-1】如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，则||等于（    ） A． B．5 C． D．5 【变式4-2】已知空间向量的夹角为，则 ． 【变式4-3】（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知棱长为1的正方体，任选2个顶点作为起点和终点所成的向量，与向量的数量积共有 种结果． 题型5：空间向量数量积的应用 【例5-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【例5-3】（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m． 【变式5-1】（24-25高二上·上海·月考）已知、是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对任意，，（），则 . 【变式5-2】在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则 . 【变式5-3】已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 一、填空题 1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，线段EF的长度为1，则 . 2．（24-25高二下·上海闵行·期末）沿着正四面体的三条棱的方向分别有大小等于的三个力，则此三个力的合力的大小为 ． 3．已知正四面体，底面边长为2，侧棱中点为E，则 ． 4．（24-25高二上·上海·期中）已知，空间向量，．若，则 ． 5．如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 6．空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则 . 7．（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 8．（24-25高二上·上海·期中）平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为 . 9．（24-25高二上·上海·月考）已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 10．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 11．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则 ．（用，，表示）    12．（25-26高二上·辽宁·月考）如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为 .      二、单选题 13．空间四边形中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·上海·月考）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 15．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 三、解答题 17．在长方体中，，，，写出： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量． 18．化简下列算式： (1)； (2)． 19．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：        (1)的相等向量，的相反向量； (2)用另外两个向量的和或差表示； (3)用三个或三个以上向量的和表示． 20．（24-25高二上·上海·课后作业）已知三棱锥中，底面BCD为等边三角形，，，点E为CD的中点，点F为BE的中点，若点M、N是空间中的两动点，且，，求. 21．（24-25高二上·上海·课后作业）已知空间向量、、都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $