浙江金丽衢十二校2025-2026学年高三第一次联考数学试题

金丽衢十二校2025学年高三第一次联考 数学试题 本卷分选择题和非选择题两部分。考试时间为120分钟，试卷总分为150分。请考生将 所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={0,12},B=-{xx2<4,则AnB=(▲) A.{O,1 B.{0,12 C.（2,2) D.（2,2] 2.直线V5x+y-1=0的倾斜角为（▲） A君 C. 2π 3 D. 3. 已知函数)-nx,x>1 e+2,x<1 则fU2》=（▲） A.In(In2) B.In2 C.2 D.4 4.已知复数z=2+i,设z,z在复平面内对应的向量分别为a,b,则ab=(▲) A.√5 B.3 C.5 D.3+2i 5.已知直线a,b与平面a,B,则下列选项可使得a∥a的是（▲） A.al∥b,bca B.acB,B∥a C.a∥b,b⊥a D.a⊥B,B⊥a 6.对实数，y,则“>以”是“x2>y”的（▲） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知三次函数y=x3-6x2+9x,若不等式y≤m的解集为≤m},则m的值为（▲） A.0 B.1 C.2 D.4 8.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出 演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（▲）种. A.216 B.360 C.432 D.672 影巴全赶 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.有一组数据1,1,3,4,5,5,6,7，则（▲) A.该组数据的极差为6 B.该组数据的中位数为5 C.该组数据的平均数为4 D.将数据1均改为3后，方差会变大 10.M是坐标平面内一个动点，MA与直线y=x垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线 y=-x垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB(O为原点)的面积为3，设M(x,y) 的轨迹为曲线C,则（▲） A.C的方程为x2-y2=6(x>0) B.C的方程为y2-x2=6(y>0) C.·y-2x的最大值为-3W2 2=型的最大值为号 D. 2 11.己知矩形ABCD,AB=2,BC=1,若点P为边AB上的一动点（不包括端点），现将 △ADP沿着DP翻折成△A'DP,使得平面APD⊥平面PBCD,并记为xp()=A'.则 (▲) A.存在点P,使得A'D⊥PB B.任意点P,都有AA'⊥PD C.存在两点rB(),rB(),使得它们所确定的直线与PB垂直 D.任意两点xB(A),tB(A)，它们所确定的直线与平面PBCD的所成角都小于45° 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知ae0小，满足ma+引行则ama=人 l3.已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=l0,S。是{Sn}中的唯一最大项，则 d的取值范围为▲ 14. 股离心率为e的椭圆上 +京=1>b>0)的左焦点为F,右顶点为A.以4B为直径的 圆与该椭圆相交于点B（异于点A),过点B作x轴的垂线，设垂足为D,记 △FBD,△ABD,△FBA的面积分别为S1,S2,S3,若S1,S2,S3为以9为公比的等比数列， 则qe= 餐巴扫描全能王 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分)已知函数f(x)=2W3 sinxcosx-2co82x+1. (D求函数)的最小正周期，。以及在区间[0引上的最小值： (2)在△MBC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c.若f(A)=2,SBc=5，b+c=5, 求a的长 16.(本题满分15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上有一点Pp,o)到焦 点F的距离为3，过焦点F作直线与抛物线交于A,B两点，AB=6,O为坐标原点， (1)求点F的坐标； (2)求△OAB的面积. 17.（本题满分15分)如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC是正三角形，中心为0， SC=AB=6,CD=2DS. (1)证明：OD∥平面ABS; (2)若SA=SB=2√5， (i)证明：平面SOC⊥平面ABC; (i)求平面SOA与平面ABC夹角的正切值. 影田扫全 2-2- 18.(本题满分17分) 现将m+1个黑球与n个白球分装入甲、乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇 数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. (1)若n=4,且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率： (2)若n>5且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， ()操作5次时，求取出白球个数的数学期望； ()设事件A为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求P(). 19.(本题满分17分)在正弦曲线y=s血x上有一点A(0<<号 按照如下方式依 次构造点Pn(n=23,…):作曲线在Pn1处的切线与x轴交于点2n-1,过点2-1作x轴的 重线与正弦曲线交于点月，记只的坐标为化以】，已知≠受+kke☑，设 tan为1=0c1· (1)证明：a>1; (2)若对任意正整数n,都有x<x成立，求a的取值范围： (3)若a=多，证明：对任意正整数，有am名+an马+…+an1<2x成立。 2 证我等有目制方博金丽衢十二校2025学年高三第一次联考 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D B B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 0 10 11 AC ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.2W2 (闭区间不扣分) 14.1 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)f(x)=√3sin2x-cos2x-1+1=2sin 2x- …3分 因此最小正周期为T=2x …4分 因此fx)mn=f0）=-1.…6分 2)由4=2得A=号+收∈2列，又Ae0,闲放A=写 ……8分 由SaMc=V3得号besin A=V5从而bc=4,…10分 由余弦定理得a=Vb2+c2-2 bccos A=√b+c}-2bC+cosA)=√3.13分 16解：(0由抛物线定义可得利P时=号=3，因此D=2 ……3分 所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点F的坐标为(1,0) …5分 (2)设直线AB的方程为x=my+1,与y2=4x联立，消元可得y2-4my-4=0, △=16m2+1, …8分 故A=+m以-=+m公=40+m)=6。 …10分 得m=士 √2 …12分 2 原点O到直线AB的距离为d= 1V6 …14分 V1+m2 3 V2 所以SA4p三d:AB=6…l5分 2 17.解：(1)取AB的中点E,连结OE,SE,由于点O是正三角形△ABC的中心，故 CO=20E,因此0D∥SE, …2分 而OD丈平面ABS,SEC平面ABS,所以OD∥平面ABS.…5分 (2)(i)由于SA=SB,故SE⊥AB. 又因CE⊥AB,SE∩CE=E,故AB⊥平面SCE.…7分 而ABC平面ABC,因此平面SOC⊥平面ABC..... …8分 (ii)方法一： 以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，建立空间直角坐标系，…9分 得平面ABC法向量为n,=(0,0,1): …10分 00,V3,0A(-3,00,C0,33,0 因此A0=3√3,0. 设S0y,z(2>0). √5 9+y2+z2=25}=1 则 ,解程 0+(-35+z2=36 2W6 Z= 3 因此O5= 0,、 4W32W6 33 …11分 设平面的SOA的法向量为n2=(a,b,C), [3a+√3b=0 则 n2A0= n,·0s= 0即{_436+26 3 餐巴扫描全能王 额3配人直用的日量Ae 。-224-2 取a=1得n,=,-V5,-√6… …13分 eos， n1·n2 √65 m-n2 1×V10 5 平面S0A与平面ABC夹角的正切值为V6 …15分 方法二： 作SH⊥OC于点H,作HG⊥OA于点G,取AB中点E,连结SG,SE 由(i)得平面SOC⊥平面ABC,平面SOC∩平面ABC=OC,SHc平面SOC故SH⊥ 平面ABC. ……………10分 因此SH⊥OA,又HG⊥OA,SH∩HG=H,故OA⊥平面SHG,得OA⊥SG, 又SGC平面SOA,HG∈平面ABC,平面SOA∩平面ABC=OA,因此∠SGH就是 平面SOA与平面ABC的夹角（或其补角）.…I1分 在△SAB中，由SA=SB=2√3，AB=6得SE=√3在△SCH中，SC=6,CE=3W3, SE=5得cs∠5C=号甲c0么S8H-有计算得H= ,5H=26 3 …13分 在△MBC中，由HG⊥OA,∠A0H=60°，OH=4 -得HG=2, 3 2V6 所以tan∠SGH=SH- 3-= 0=2=3 ,即平面S01与平面ABC夹角的正切值为Y 3 …15分 18.（1)当n=4时，甲袋中2黑2白，乙袋中3黑2白.…2分 11.121.19 p=一×。+。×二=+ …5分 22254520 (2)()取到白球等价于选中乙袋， 设取出白球个数为X,则X~B5, …9分 1_5 E(X)=5× …11分 22 (i)事件A等价于前2n-1次操作中就已经摸出所有白球， 即掷骰子至多2n-1次就出现了n次偶数，…14分 (以此列式P代A)-登C即可得分) 2 不妨设掷骰子掷满2n-1次， …16分 用Y表示其中掷出偶数的次数，则Y~B2n-l,2 ,所以 P风=P≥m-C+C++c2） …17分 记通=m-0<引小0,2分 餐田扫描全能王 然病觉人言用的日事Ae 2-2- 因此在0，习 上单调递增，故)小>f0)=0,所以anx>0<x< 即a>1. …4分 (2)由题意可得直线P,2n的方程为y-sinx,=cosx(x-xn), 将点2n(xn+1,0)代入，得-sinx,=cosx（xl-xn).… …5分 x+=x-tanx 由题意得k<x即k-tanx<x,由(1)得a>l,(a-lx<x即a<2.…7分 另一方面，记函数g)=an 则g'x)=x-sin xcosx ,令 x2cos2x 4=x--0<x<则6)=1-cos2x>0,故4(e)在0） 上单调递增， 故>Mo)=0.即g>0,故g在0写 上单调递增 得2），2.南号点布在定可限序在度-气 使得 0 5π gxo)=2即tanx=2x, 因此当xn∈(0，xo)时，g(xn)∈(1,2)，而g(x)为偶函数，故当xn∈(-x,0)时，g(xn)∈(1,2)： …9分 当a∈(1,2)时，x∈(0，xo).假设n=k∈N)时x∈(xo,xo),则 =l- tan xk =g(x)-1∈(0，)，故xk+<x<x由此归纳可得 xn∈(xo,xo)vnEN'… …11分 所以E∈(O,1)即x<x X 综上所述，α的取值范围为a∈(，2). (3)由(2)得当a=号时k<k且=1-an=1-g)(-10).故 Xk X2n<0,x2m-1>0n∈N）… …12分 另一方面， g)-1ka-l.故-e）ec,ka--} …14分 故anl=X-2=knml小+kdl<kn-x)-=an5n ……16分 1、1 所以anx+n++an=anx手<54 1-12 2x1…17分 3 4 餐巴扫描全能王