精品解析：安徽省六安第一中学等校2025-2026学年高二上学期期末质量检测数学试卷

2026年秋学期高二年级期末质量检测卷（数学） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知数列满足，，则（ ） A. 2028 B. 2029 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式可得答案. 【详解】因为，所以数列是等差数列，且公差为， 所以. 故选：C 2. 已知直线与平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行时，斜率间的关系可求答案. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得. 故选：B 3. 如图，在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】由题意， 由可得：， 点是中点，故， 即. 故选：C 4. 设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线中的关系和等差数列可求答案. 【详解】因为成等差数列，所以，又，所以，即，所以. 该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 5. 已知数列满足：，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用递推公式求出数列的通项，计算即可. 【详解】令，其中，递推式为. ， 对，利用递推式： 则， 因此是首项、公比为的等比数列，通项公式为：， . 故选：D 6. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（ ） A. 1或9 B. 9 C. 2或6 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义和性质可求答案. 【详解】由方程可得， 由定义可得，因为，所以或， 双曲线上的点到同侧焦点的最小距离为， 所以. 故选：B 7. 已知等比数列的前项和为，且满足，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求出首项和公比，利用等比数列求和公式可得答案. 【详解】因为，所以当时，有， 两式相减：，即； 当时，， 因为为等比数列，所以，代入可得， 数列是首项为 3、公比为 3 的等比数列， 所以前 10 项和为. 故选：D 8. 已知数列其中第一项是，第项是，接下来项为，接下来项为，依此类推，设该数列的第项为，前项和为，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按数列规律分组：第组有个数，求出第组的和及前组的个数，即可求解. 【详解】按数列规律分组：第组有个数，为，每组和为，前组总个数为， 选项A：前组总个数：， 第项是第组第个数，第组第个数为， 故第个数是，A选项错误， 选项B：，前组总个数：， 第项是第组第个数，第组第个数为， 故第个数是，B选项错误， 选项C：，前组和：， 第组前个数和：，C选项错误， 选项D：，前组和：， 第组前个数和：，D选项正确. 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为，最小值为，则下列结论正确的是（） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 椭圆上不存在点，使得 D. 若，则的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用题目条件椭圆上点到两焦点距离的最大值为、最小值为，由此求出椭圆的方程，再结合选项逐一判断. 【详解】由题可知的最大值为，最小值为， 则：，解得：， 故椭圆的方程为： 离心率，A选项正确； 由椭圆定义可得的周长，B选项正确； 设，若， 则， 化简得：，与椭圆方程联立， 代入得：， 化简得：，方程无解， 故不存在满足条件的点，C正确； 焦点三角形面积公式：， 当时，，D错误. 故选：ABC 10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由条件结合通项公式可得，由此证明判断A，再由可得与一个大于1，一个小于1，并证明，由此判断BCD. 【详解】选项A：由及可知， 若，则，乘积为负，与大于1矛盾，因此，A选项错误； 选项B：由知与一个大于1，一个小于1， 因且已得，若则所有项，不可能出现小于1的项， 故必有，数列递减，于是， 从而，B选项正确； 选项C：由数列递减且从开始小于1，前2025项均大于1， 因此前项积在时达到最大值，C正确； 选项D：，由且得， 即，D选项错误， 故选：BC 11. 关于曲线，下列结论中正确的是（） A. 曲线有且仅有两条对称轴 B. 曲线围成的图形的面积为 C. 曲线上的点到直线距离的最小值为 D. 若直线与曲线有四个公共点，m的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据曲线的方程，分类讨论去绝对值可画出曲线围成的图形，再数形结合一一判断即可． 【详解】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为． 所以曲线的图象如图所示：曲线有四条对称轴，A选项错误； 由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， ，B选项正确； 直线恒经过定点与，如图所示， 曲线到直线最短距离为第四象限半圆圆心到直线的距离减去半径， 可知第四象限圆心为：，则圆心到直线距离， 减去半径：，故C选项正确； 直线恒过点，对称性保证和时情况对称，只需考虑， 保持四个交点的条件是直线与各弧恰有一个交点，不会因相切导致某一象限无交点， 临界是直线与某一象限的弧相切，切点在该弧内部（非端点）， 取第三象限圆弧（圆心，半径）， 直线到圆心距离等于半径： 平方并整理：， 解得： 其中的上界取（负根舍去，因为需对应临界状态）， 当时，直线通过某段弧的端点，导致两个象限共享一个交点，公共点数减少为， 因此要保持四个交点，须，因此正斜率范围， 对称得负斜率范围，由对称性，当时同样有区间：， 综上，，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数满足，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】求解导数，代入数值可得答案. 【详解】因为，所以， . 故答案为： 13. 已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出公共弦的方程，求出点到直线的距离，结合勾股定理可得答案. 【详解】两圆的方程相减可得：， 如图，圆心到直线的距离为， 所以. 故答案为： 14. 已知为椭圆的左、右焦点，为上一点，的离心率为，为的一个动点，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据离心率和点的坐标求出，利用基本不等式可求答案. 【详解】因为的离心率为，所以，，由得， 将代入方程可得，解得，即. 由椭圆定义可得， ， 当且仅当时，即，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求下列函数的导数． （Ⅰ）； （Ⅱ）； （2）已知函数．求在点处的切线方程； 【答案】（1）（Ⅰ）；（Ⅱ）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用复合函数的求导法则可得答案； （2）求解导数值得到斜率，点斜式可求切线方程. 【详解】（1）（Ⅰ），. （Ⅱ），. （2）因为，所以， ，， 所以在点处的切线方程为，即. 16. 已知等比数列的各项均为正数，满足：，且是与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项公式可得答案； （2）先求解的通项公式，利用裂项相消法可求答案. 【小问1详解】 因为是与的等差中项，所以，即， 设的公比为，则，即，解得或（舍）， 因为，所以，即，解得， 所以. 【小问2详解】 . ， . 17. 如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，BC∥平面SAD，BC⊥AB. （1）证明：平面SAD⊥平面SAB； （2）若AD＝AB，SA＝BC，且异面直线SD与BC所成角的正切值为，求平面SAB与平面SCD所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直证明线线垂直，进而得到线面垂直，结合面面垂直的判定可证结论； （2）建立坐标系，利用异面直线所成角的正切值得出线段关系，求解法向量，利用向量夹角公式可求答案. 【小问1详解】 因为SA⊥底面ABCD，所以， 因为BC⊥AB，且平面, 所以平面, 又BC∥平面SAD，平面平面，平面，则，因此平面， 又平面 SAD，所以平面SAD⊥平面. 【小问2详解】 以 A 为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，， ，设异面直线SD与BC所成角为，，由得， 故，解得，取，得， 易求平面的一个法向量为， ,设平面的一个法向量为， ，令，得，故， 设平面SAB与平面SCD所成二面角为，则， 所以. 18. 已知抛物线 的焦点为为坐标原点，抛物线上存在点到和的距离都等于． （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，直线与抛物线相交于另一点，直线与抛物线相交于另一点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：直线经过定点． 【答案】（1） （2）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）结合题意先判断在的中垂线上，再利用两点间距离公式建立方程求出，进而得到，最后求出抛物线方程即可. （2）（Ⅰ）联立方程组求出和，再结合平面向量的数量积得到即可. （Ⅱ）利用三点共线求出，同理得到，再结合和建立方程，得到，进而确定定点即可. 【小问1详解】 如图，作出符合题意的图形， 由题意得，则， 而，可得在的中垂线上，故设点的坐标为， 由两点间距离公式得，解得， 而点在上，则，即，解得， 故抛物线的方程为； 【小问2详解】 （Ⅰ）由题意，直线的斜率存在，设方程为，并记点， 联立方程组，消去得，易知， 则，， 而，则， 可知，即． （Ⅱ）由题意，点，设直线的方程为， 并记点， 联立方程组，消去得，则， 由三点共线，可得， 得到，将代入化简， 得， 所以，而，可知，同理可得， 则，解得， 故直线的方程为，过定点． 19. 已知满足，且 （1）求和； （2）求的前项的和； （3）若，求. 【答案】（1）, （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系，得出，结合等比数列通项公式可得，再利用递推可求； （2）利用分组求和的方法分奇数项和偶数项讨论即可求得答案； （3）先分组，结合错位相减法可得答案. 【小问1详解】 当 n 为奇数时，；当 n 为偶数时，， 于是：，，故， 即， 数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以. . 【小问2详解】 奇数项的和：， 偶数项的和：， 所以. 【小问3详解】 ， ，，则. ，， 两式相减可得， . 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期高二年级期末质量检测卷（数学） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知数列满足，，则（ ） A. 2028 B. 2029 C. D. 2. 已知直线与平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 3. 如图，在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足：，，则（    ） A. B. C. D. 6. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（ ） A. 1或9 B. 9 C. 2或6 D. 6 7. 已知等比数列的前项和为，且满足，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列其中第一项是，第项是，接下来项为，接下来项为，依此类推，设该数列的第项为，前项和为，则（） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为，最小值为，则下列结论正确的是（） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 椭圆上不存在点，使得 D. 若，则的面积为 10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 11. 关于曲线，下列结论中正确的是（） A. 曲线有且仅有两条对称轴 B. 曲线围成的图形的面积为 C. 曲线上的点到直线距离的最小值为 D. 若直线与曲线有四个公共点，m的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数满足，则____________. 13. 已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________. 14. 已知为椭圆的左、右焦点，为上一点，的离心率为，为的一个动点，则的最小值为____________. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求下列函数的导数． （Ⅰ）； （Ⅱ）； （2）已知函数．求在点处的切线方程； 16. 已知等比数列的各项均为正数，满足：，且是与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，BC∥平面SAD，BC⊥AB. （1）证明：平面SAD⊥平面SAB； （2）若AD＝AB，SA＝BC，且异面直线SD与BC所成角的正切值为，求平面SAB与平面SCD所成二面角的正弦值. 18. 已知抛物线 的焦点为为坐标原点，抛物线上存在点到和的距离都等于． （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，直线与抛物线相交于另一点，直线与抛物线相交于另一点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：直线经过定点． 19. 已知满足，且 （1）求和； （2）求的前项的和； （3）若，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $