精品解析：安徽省六安第二中学和西校区2025-2026学年上学期高二年级期末考试数学试卷

六安二中河西校区2025年秋学期高二年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：叶金兰 审题人：朱艳鸣 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程得出斜率，再由斜率得直线倾斜角. 【详解】由可得直线斜率， 又， 所以. 故选：B 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化为标准方程即可求解． 【详解】抛物线的标准方程为：，则焦点在的正半轴，且, 所以抛物线的准线方程为：; 故选：D 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】在等比数列中，，则，解得： 由，可得：, 由于，所以(与同号，负值舍去) 故选：A 4. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 5. 已知函数在上单调递增，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因为在上单调递增， 则对任意的，成立，设，则， 由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：B 6. 两个等差数列和的前项和分别为、，且则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式求解. 【详解】两个等差数列和的前项和分别为、， ， . 故选：A. 7. 我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】如图，作，以为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， 因为，分别为，的中点，所以由中点坐标公式得，， 则，，设异面直线与所成角为， 可得，而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得（负根舍去）， 则异面直线与所成角的正弦值为，故C正确. 故选：C 8. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点（不与顶点重合），若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，垂足为，表示出，由，可得，即可表示出，再在中利用勾股定理得到、的关系，从而转化为离心率的方程，解得即可. 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，，在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求出圆心的坐标，按直线的斜率是否存在，结合圆的弦长公式求解即得 【详解】圆的圆心，半径， 当直线l的斜率不存在时，则直线方程为， 圆心到直线的距离为1，满足，直线符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线l的距离， 此时直线l：， 所以直线的方程为或. 故选：AC 10. 设等差数列的公差为，前项和为，若，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当时最大 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式和下标和性质判断AB；根据项的正负性判断C；根据等差数列的通项公式判断D. 【详解】因为，， 所以，则，故，故B错误； 又数列是递减数列，，所以，故A正确； 因为，所以时；时， 则当时最大，故C正确； 因为，所以，得，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（ ） A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则椭圆方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由双曲线和椭圆共焦点，得到的关系，判断A，根据切线长性质和双曲线的定义得到，再由，进行判断B，根据双曲线和椭圆的定义得到和的关系式，再利用和离心率公式进行求解，判断C，利用勾股定理得，进而求出椭圆方程，判断D. 【详解】A.由双曲线，，所以，故A错误； B. 设的内切圆的圆心为，且圆心与边相切于， 可得，，， 又因为， 所以， 又，解得：，， 可得的横坐标为1，即的横坐标为1，故B正确； C.在椭圆中，，， 则， 由，得，得， 则的离心率，故C正确； D.因为，， 则，， 若，则， 又，，解得，， 则椭圆方程为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求得，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可求得结果. 【详解】由题可得：，所以，解得：, 所以， 则函数在处的切线方程是，即; 故答案为： 13. 数列的前项和记为，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的关系即可求解. 【详解】当时，, 当时，不满足上式， 故 故答案为: 14. 已知抛物线的焦点为，点的坐标为，动点在抛物线上，且，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立方程组求得点坐标（只要求得横坐标即可），然后计算，同理得，利用二次函数性质求得的最小值． 【详解】易知在抛物线上，的斜率都存在且不为0， 设的斜率为，直线方程为， 由得，是方程的一解，另一解为（不重合，因此）， 抛物线的焦点为， ，（∵）， 同理， ， ∴时，取得最小值11，此时满足题意． 故答案为：11. 【点睛】方法点睛：直线与抛物线相交弦长问题，弦所在直线为，可设，，直线方程与抛物线方程联立方程组后消元，应用韦达定理得,然后由弦长公式计算，本题中由于弦的一个端点已知，即方程的一个解已知，因此可由韦达定理求得另一解，从而由两点间距离公式直接计算． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是函数的一个极值点. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值. 【答案】（1）减区间为，，增区间为 （2）112 【解析】 【分析】（1）根据极值点列出方程求解，再利用导数求函数的单调区间即可； （2）根据（1）可知函数解析式及单调性，据此求解即可. 【小问1详解】 ， ∵是函数的一个极值点， ∴，∴， 经检验满足条件， ∴， 令，解得或；令，解得. 所以函数的减区间为，，增区间为. 【小问2详解】 由（1）知， 又∵在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的极大值为，又， ∴函数在区间上的最大值为. 16. 已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用作差求出，再列方程组求出，最后利用等比数列的通项公式即可； （2）利用裂项相消和等比数列的求和公式求出. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 又时，满足上式，故， 因为是，的等差中项，所以， 因为，所以，， 又，，解得，，得， 故. 故数列和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 ∵ ∴ . 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，且平面平面，，，为的中点. （1）求证：平面. （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，求证四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理求证； （2）以为原点建系，设，再计算两个平面的法向量，根据面面角求出，再利用向量计算点到面的距离即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，. 因为是的中点，所以，， 又因为，，所以，， 可知四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，故平面 【小问2详解】 在平面内过点作垂直于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以，， 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为， 则，取，则. 又平面的一个法向量为， 所以平面与平面所成角的余弦值为， 解得，则平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 18. 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点． （1）求动点的轨迹的方程. （2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合椭圆的定义求得动点的轨迹的方程. （2）设出直线的方程并与轨迹的方程联立，化简写出根与系数关系，结合列方程，化简后判断出直线过定点. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 依题意得， 则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 其中，，， 所以动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 则由得， 由根与系数的关系得①， 由题意，两点不在轴上，所以，，， 又点，， 所以，，由得， 从而由已知得，即②， 又，③， 将③代入②得， 将①代入上式并整理得： ． ， 整理得， ，直线的方程为， 故直线恒过定点. 【点睛】求解动点轨迹方程有关的题目，可根据圆锥曲线的定义来进行求解，还可以利用题目所给等量关系，列方程来进行求解.求解直线定点有关问题，可先设出含有参数的直线方程，根据已知条件求得与参数有关的式子，从而判断出定点. 19. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知双曲线与椭圆是“姊妹”圆锥曲线，分别为和的离心率，. （1）求椭圆的方程； （2）试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称； （3）若，是椭圆上的两动点（两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）已知双曲线，结合“姊妹”圆锥曲线的定义，可设出椭圆方程，再根据，即可求出，即可得到椭圆方程； （2）设出椭圆上的两点，以及的中点，利用点差法，结合直线的斜率，可以得到，再结合点在上，可求得，再利用点在椭圆内，即可求得的范围； （3）设出直线以及两点，根据可得，点在直线上，可得，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，代入前式，可得，再表示出，再根据是定值，即可求出对应的. 【小问1详解】 已知双曲线，由“姊妹”圆锥曲线的定义，可设椭圆的方程为， 则，整理得，解得， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆上，两点关于直线对称， 设的中点为，则. 因为点在椭圆上，所以，两式相减得， 又因为，所以即，所以， 又因为点在直线上，所以，即，所以. 因为点在椭圆内部，所以， 得，即. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 结论：存在非零常数，使时，的面积为定值. 设存在这样的常数，使时，为定值. 设直线的方程为，且直线与的交点坐标分别为，， ，，， . 联立，得， 由韦达定理，可得，， ， 即，因此. ∵点到直线的距离为， ， ， . 要使得的面积为定值，只需，得， 即，解得， 此时，即， 故存在非零常数，使得时，的面积为定值1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安二中河西校区2025年秋学期高二年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：叶金兰 审题人：朱艳鸣 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. 6 B. C. 12 D. 4. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知函数在上单调递增，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 两个等差数列和的前项和分别为、，且则等于（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点（不与顶点重合），若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 10. 设等差数列的公差为，前项和为，若，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当时最大 D. 11. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（ ） A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则椭圆方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 13. 数列的前项和记为，若，则_________. 14. 已知抛物线的焦点为，点的坐标为，动点在抛物线上，且，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是函数的一个极值点. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值. 16. 已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，且平面平面，，，为的中点. （1）求证：平面. （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离. 18. 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点． （1）求动点的轨迹的方程. （2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点． 19. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知双曲线与椭圆是“姊妹”圆锥曲线，分别为和的离心率，. （1）求椭圆的方程； （2）试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称； （3）若，是椭圆上的两动点（两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $