精品解析：山东烟台市栖霞市2025-2026学年九年级（五四制）上学期期末数学试卷

山东省烟台市栖霞市2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本大题共12小题，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 青花瓷是中国传统陶瓷艺术的瑰宝，以其独特的蓝白相间图案闻名于世．如图所示的青花冰梅大碗是清代康熙年间文物，现为苏州博物馆藏品，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径（ ）米． A. 9 B. C. D. 10 3. 从1，2，3，4中任选不同的两个数，记为a和b，则点在函数图象上的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 2025年山西高考首次实行“”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A. B. C. D. 8. 将抛物线绕点旋转，得到新的图象，则新的图象对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的高，，则的外接圆直径长为（　　） A. 20 B. 18 C. 16 D. 10. 如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形，杯脚高，杯口宽为，则酒杯总高度为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的是（ ） A. B. 点、在二次函数图象上，则 C. 当时，随增大而减小 D. 若方程有实数根，则 二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果．） 13. 某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在“一袋苹果”区域的次数m 落在“一袋苹果”区域的频率 假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是______（保留一位小数）． 14. 中国历来有“制扇王国”之称，中国扇文化是民族文化的重要组成部分．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为，将折扇抽象为扇形，则折扇的扇面面积用含a的代数式表示为______（结果保留）． 15. 如图所示的是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全相同，则该几何体的体积是_____（结果保留）． 16. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 17. 开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图①是平开窗的打开实物图，图②是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了，窗户底边长是，则这扇窗户底边端点扫过区域的轨迹长（弧长）是______ （结果保留）． 18. 如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上，且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分66分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 如图，在四边形中，，，顶点、，反比例函数的图象经过，两点，求反比例函数的关系式及的值． 20. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2026马年新年，小红向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． 若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 21. 如图，以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 飞行高度 （1）直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式（不写自变量取值范围）； （2）若小球飞行时间不超过，则小球飞行高度能否达到？若能，求出此时的值，若不能，说明理由； （3）当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 22. 如图，点、、、都在上，，． （1）求的度数； （2）求的度数； 23. 抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P为坐标平面内一点，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 24. 如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 25. 综合与实践 目标 篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度 工具 测角仪、卷尺 素材1 小敏借助测角仪测得：，，． 素材2 为计算篮球架的伸臂距离地面的高度，小明在点处测得：米，.在距离点左侧米的处测得：． （参考数据：，，） 任务一 利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂地面，支架地面）． 任务二 利用素材2，求篮球架的伸臂距离地面的高度．（结果保留一位小数） 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台市栖霞市2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本大题共12小题，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 青花瓷是中国传统陶瓷艺术的瑰宝，以其独特的蓝白相间图案闻名于世．如图所示的青花冰梅大碗是清代康熙年间文物，现为苏州博物馆藏品，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体的俯视图，根据俯视图的定义即可求解． 【详解】解：该几何体的俯视图如图所示． 故选：C． 2. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径（ ）米． A. 9 B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．根据垂径定理得到米，设米，则米，利用勾股定理求出答案． 【详解】解：连接，，， 可得：，， ∵，拱高米， ∴米， 设米，则米， 根据题意可得：， 即， 解得：， 即圆弧形桥拱所在圆的半径是米． 故答案为：10 3. 从1，2，3，4中任选不同的两个数，记为a和b，则点在函数图象上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率和反比例函数的性质，利用列举法即可求解． 【详解】解：从1，2，3，4中任选两个数，记为a和b，则点的所有可能组合有： ， 共12种等可能结果， 若点在函数图象上，则， 以上各点满足的有：，共2种， 故点在函数图象上的概率是， 故选：D． 4. 已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可． 【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故选：A． 5. 如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质是正确解答的关键．根据正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：点O是正六边形的中心， 是正三角形， ， 又点O是正方形的中心， 是等腰直角三角形， ， ， 故选：B． 6. 2025年山西高考首次实行“”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率等知识，准确求概率是解题的关键． 画树状图求出所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种，根据概率公式即可求解． 【详解】解：把思想政治、地理、化学、生物分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示：    由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种：，， ∴（李明恰好选中地理、生物）． 故选：A 7. 如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线．     ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 8. 将抛物线绕点旋转，得到新的图象，则新的图象对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，旋转的性质，中点坐标． 根据旋转的性质，可得原抛物线上任意一点绕点旋转所得点的坐标，代入原函数解析式，化简整理即可得新的图象对应的函数表达式． 【详解】解：设原抛物线上任意一点绕点旋转所得点的坐标为，则点为和的中点， ∴，， ∴，， ∴将代入得， 化简整理得， ∴新的图象对应的函数表达式为． 故选：C ． 9. 如图，是的高，，则的外接圆直径长为（　　） A. 20 B. 18 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接，根据圆周角定理得到，由此证得，根据对应边成比例，列式计算求出的长 【详解】解：连接， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴ ∴， 故选：B． 10. 如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形，杯脚高，杯口宽为，则酒杯总高度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质. 先确定抛物线的顶点坐标和对称轴，根据对称性确定点坐标，求出点到直线的距离即可求解. 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 即， ∴对称轴为直线， ∵为， ∴当时，代入解析式得， 即， ∴点到的距离为， ∴酒杯总高度为， 故选：C． 11. 如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x＝y或x＝﹣y，再判断一元二次方程解的情况即可求解． 【详解】解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切， ∴x＝y或x＝﹣y， 当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x， ∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0， ∴方程有两个不相等的实数解； 当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x， ∵Δ＝b2﹣4ac＝0， ∴方程有两个相等的实数解； 综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得到x＝y或x＝﹣y是解题的关键． 12. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的是（ ） A. B. 点、在二次函数图象上，则 C. 当时，随增大而减小 D. 若方程有实数根，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据抛物线的对称性求出其与轴的另一个交点在点和之间即可判断A；根据二次函数性质可直接判断B，C；根据二次函数性质得出函数值，即可判断D． 【详解】解：抛物线顶点为， 其对称轴为， 其与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 选项A错误， ， ， 选项B错误， 对称轴， 时，随的增大而增大， 选项C错误． 抛物线的顶点为，开口朝上， 函数值， 直线与抛物线有交点，则．即有实数根，则，选项D正确． 答案：D． 二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果．） 13. 某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在“一袋苹果”区域的次数m 落在“一袋苹果”区域的频率 假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是______（保留一位小数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数很大时，频率的稳定值可以作为概率的估计值． 【详解】解：当很大时，频率将会接近0.7， ∴获得“一袋苹果”的概率大约是0.7， 故答案为：0.7． 14. 中国历来有“制扇王国”之称，中国扇文化是民族文化的重要组成部分．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为，将折扇抽象为扇形，则折扇的扇面面积用含a的代数式表示为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式，扇形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知：折扇的扇面面积大扇形的面积小扇形的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】解：由图可得，折扇的扇面面积为： ． 故答案为： 15. 如图所示的是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全相同，则该几何体的体积是_____（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，长方体的长宽高分别为，，，圆柱体直径为，高为，据此解答即可． 【详解】解：由三视图可知，这个几何体是一个空心的长方体，空心部分是一个圆柱． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，求几何体的表面积和体积，熟练掌握三视图是解题的关键． 16. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 17. 开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图①是平开窗的打开实物图，图②是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了，窗户底边长是，则这扇窗户底边端点扫过区域的轨迹长（弧长）是______ （结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，根据弧长公式，代入数据计算即可求解． 【详解】解：这扇窗户底边端点扫过区域的轨迹长（弧长）是：． 故答案为：． 18. 如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上，且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图以O为圆心，1为半径作⊙O，首先算出∠ABD的正切值，根据圆周角定理可得∠AED=∠ABD，进而得到∠AED的正切值． 【详解】解：如图以O为圆心，1为半径作⊙O， ∵AB=2，AC=1． ∴∠ABD的正切值=， ∵∠AED=∠ABD， ∴∠AED的正切值是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及锐角三角函数，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 三、解答题（本大题共8个小题，满分66分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 如图，在四边形中，，，顶点、，反比例函数的图象经过，两点，求反比例函数的关系式及的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合．过点作于点．证明得出，进而待定系数法求解析式，将代入解析式，即可得出的值． 【详解】解：过点作于点． 、， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 反比例函数的图象经过，两点， ， ，， 反比例函数解析式为． 20. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2026马年新年，小红向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． 若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、轴对称图形的识别；先画出树状图得到所有可能的情况，再判断两次都是轴对称图形的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：观察4张卡片，是轴对称图形的有和两张卡片， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的结果有2种：，， ∴两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为． 21. 如图，以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 飞行高度 （1）直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式（不写自变量取值范围）； （2）若小球飞行时间不超过，则小球飞行高度能否达到？若能，求出此时的值，若不能，说明理由； （3）当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 【答案】（1） （2）小球飞行高度能达到，此时秒． （3）当值为秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是． 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，解一元二次方程，即可求解； （3）将解析式配方成顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可设关于的二次函数关系式为， 将代入得 ∴， 解得：． ∴关于的二次函数关系式为． 【小问2详解】 当，， 解得：，（舍去）． ∴小球飞行高度能达到，此时秒． 【小问3详解】 解： ∵ ∴当值为秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是． 22. 如图，点、、、都在上，，． （1）求的度数； （2）求的度数； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识； （1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出的度数: （2）连接，根据圆内接四边形的性质便可求得结果． 【小问1详解】 解：∵点、、、都在上，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 23. 抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P为坐标平面内一点，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 【答案】（1） （2）满足条件的点坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及二次函数与特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将，，代入即可求解； （2）分类讨论为对角线时：为对角线时：为对角线时：三种情况即可求解； 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得． ∴； 【小问2详解】 解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ 设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述：满足条件的点坐标为或或． 24. 如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：连接DE， ∴∠CAD=∠CED， ∵ 是的平分线， ∴∠CAD=∠EAD， ∴∠CED=∠EAD， ∵， ∴∠CED=∠FDE， ∴∠EAD=∠FDE， ∵AD为直径， ∴∠AED=∠ACD=90°， ∴∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠ADE+∠FDE=90°， 即AD⊥FD， 又∵为直径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明∠EAD=∠FDE，再根据AD为直径，得到∠ADE+∠DAE=90°，进而得到AD⊥FD，问题得证； （2）先求出DE=3，证明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，进而得到AE=6，求出,证明△ADE∽△AFD，得到，即可求出． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠AED=90°， ∴∠BED=90°， ∴, ∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD， ∴△AED≌△ACD， ∴DE=DC=3， ∴BC=BD+CD=8， 在Rt中，∵， ∴设AC=3x，AB=5x， ∴， ∵x＞0， ∴x=2， ∴AB=5x=10，AC=3x=6， ∵△AED≌△ACD， ∴AE=AC=6， ∴在Rt△ADE中，, ∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°， ∴△ADE∽△AFD， ∴， 即 , ∴． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定，圆的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意添加辅助线，熟知圆的性质，利用三角函数解直角三角形是解题关键． 25. 综合与实践 目标 篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度 工具 测角仪、卷尺 素材1 小敏借助测角仪测得：，，． 素材2 为计算篮球架的伸臂距离地面的高度，小明在点处测得：米，.在距离点左侧米的处测得：． （参考数据：，，） 任务一 利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂地面，支架地面）． 任务二 利用素材2，求篮球架的伸臂距离地面的高度．（结果保留一位小数） 【答案】 任务一：篮球架安装合格，理由如下， ∵， ∴，合格， 如图所示，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，合格， 综上所述，篮球架安装合格； 任务二：篮球架的伸臂距离地面的高度约为米 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是关键． 任务一：根据题意得到，合格，如图所示，过点作，根据平行线的判定可得，合格，由此即可求解； 任务二：如图所示，过点作于点，则，可得，设米，则，可得米，根据题意得到，是等腰直角三角形，则，即，由此即可求解． 【详解】解：任务一：略 任务二：如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， 设米，则， ∴米， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，， ∴米， ∴篮球架的伸臂距离地面的高度约为米． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】（1）；； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 【小问1详解】 解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； 【小问2详解】 解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $