小升初奥数培优讲义专题06 等差数列求和及应用（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学通用版

该小学数学讲义聚焦小升初等差数列求和及应用专题，涵盖基本概念、核心公式、重要性质及解题技巧，通过知识梳理构建体系，典型例题与跟踪训练结合，提升练习分层巩固，帮助学生系统掌握等差数列求和方法及实际应用。 亮点在于注重数学思维与模型意识培养，如通过“钢管堆放”“每日读书”等生活实例，引导学生用数学眼光发现数量关系，运用高斯算法、倒序相加法等技巧提升运算能力。设计从基础计算到综合应用的阶梯式练习，助力学生深化理解，教师可据此精准把握考点，提升复习效率。

专题06 等差数列求和及应用 知识梳理 1. 基本概念 (1) 等差数列：从第二项起，每一项与前一项的差都相等的数列 (2) 公差(d)：等差数列中相邻两项的差值 (3) 首项(a₁)：数列的第一项 (4) 末项(aₙ)：数列的第n项 (5) 项数(n)：数列中项的个数 2. 核心公式 (1) 求和公式：Sₙ = n(a₁ + aₙ)÷2 或 Sₙ = na₁ + n(n−1)d÷2 (2) 项数公式：n = (aₙ - a₁)÷d + 1 (3) 末项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d (4) 首项公式：a₁ = aₙ - (n-1)d 3. 重要性质 (1) 对称性：在等差数列中，首项+末项=第二项+倒数第二项=… (2) 奇数项和：当项数为奇数时，总和=中间项×项数 (3) 公差关系：若m+n=p+q，则aₘ+aₙ=aₚ+aₚ 4. 解题技巧 (1) 高斯算法：首尾配对求和，适用于已知首末项的情况 (2) 倒序相加法：将数列正序和倒序相加，利用对称性简化计算 (3) 生活应用：将实际问题（如堆放、报数等）转化为等差数列模型 例题讲解 【典型例题1】 计算：1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 【答案】 5050 【分析】 这是典型的等差数列求和问题，公差d=1，首项a₁=1，末项a₁₀₀=100，项数n=100。可直接使用求和公式Sₙ = n(a₁ + aₙ)÷2计算。 【详解】 该数列为等差数列，首项a₁=1，末项a₁₀₀=100，项数n=100 使用求和公式：S₁₀₀ = 100×(1+100)÷2 计算过程：100×101÷2 = 100×50.5 = 5050 或用高斯算法：(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050 【跟踪训练1】 计算：2 + 4 + 6 + 8 + … + 98 + 100 【答案】 2550 【分析】 这是公差为2的等差数列，首项a₁=2，末项a₅₀=100，项数n=50。使用求和公式Sₙ = n(a₁ + aₙ)÷2计算。 【详解】 该数列为等差数列，首项a₁=2，末项a₅₀=100，项数n=50 使用求和公式：S₅₀ = 50×(2+100)÷2 计算过程：50×102÷2 = 50×51 = 2550 【典型例题2】 小明读一本故事书，第一天读了10页，以后每天比前一天多读2页，读了7天正好读完，这本书共有多少页？ 【答案】 112页 【分析】 这是生活应用型等差数列问题。每天读书页数构成等差数列，首项a₁=10，公差d=2，项数n=7。使用求和公式Sₙ = na₁ + n(n−1)d÷2计算。 【详解】 该数列为等差数列，首项a₁=10，公差d=2，项数n=7 使用求和公式：S₇ = 7×10 + 7×(7-1)×2÷2 计算过程：70 + 7×6×2÷2 = 70 + 42 = 112 或用首末项公式：末项a₇=10+(7-1)×2=22，S₇=7×(10+22)÷2=7×16=112 【跟踪训练2】 一堆钢管堆成梯形，最上层有4根，最下层有12根，每相邻两层相差1根，这堆钢管共有多少根？ 【答案】 72根 【分析】 钢管层数构成等差数列，首项a₁=4，末项a₉=12，公差d=1。先求项数，再用求和公式计算。 【详解】 项数n = (12-4)÷1 + 1 = 9 使用求和公式：S₉ = 9×(4+12)÷2 计算过程：9×16÷2 = 9×8 = 72 【典型例题3】 30名同学按照身高由低到高排成一队，相邻两个同学的身高差都相同，前10名同学的身高和是1450厘米，前20名同学的身高和是3030厘米，那么这30名同学的身高和是多少厘米？ 【答案】 4740厘米 【分析】 这是等差数列的综合应用问题。设首项为a₁，公差为d，利用前10项和与前20项和建立方程组求解。 【详解】 设首项为a₁，公差为d 前10项和：S₁₀ = 10a₁ + 10×9×d÷2 = 10a₁ + 45d = 1450 前20项和：S₂₀ = 20a₁ + 20×19×d÷2 = 20a₁ + 190d = 3030 解方程组： 由第一式得：2a₁ + 9d = 290 由第二式得：2a₁ + 19d = 303 相减得：10d = 13，d = 1.3 代入得：2a₁ + 9×1.3 = 290，2a₁ = 278.3，a₁ = 139.15 前30项和：S₃₀ = 30a₁ + 30×29×d÷2 = 30×139.15 + 435×1.3 = 4174.5 + 565.5 = 4740 【跟踪训练3】 已知一个等差数列的前15项之和为450，前21项之和为819，求这个数列的公差和首项。 【答案】 公差为3，首项为9 【分析】 利用等差数列前n项和公式建立方程组求解。 【详解】 设首项为a₁，公差为d 前15项和：S₁₅ = 15a₁ + 15×14×d÷2 = 15a₁ + 105d = 450 前21项和：S₂₁ = 21a₁ + 21×20×d÷2 = 21a₁ + 210d = 819 简化方程： 3a₁ + 21d = 90，即a₁ + 7d = 30 3a₁ + 30d = 117，即a₁ + 10d = 39 相减得：3d = 9，d = 3 代入得：a₁ + 7×3 = 30，a₁ = 9 提升练习 1. 计算：3 + 6 + 9 + 12 + … + 99 【答案】 1683 【分析】 这是一个公差为3的等差数列。需要先利用项数公式求出一共有多少项，再代入求和公式计算。 【详解】 项数计算： （项） 求和计算： 结果： 2. 计算：101 + 103 + 105 + … + 199 【答案】 7500 【分析】 这是一个公差为2的等差数列（连续奇数）。首项101，末项199。先求项数，再求和。 【详解】 项数计算： （项） 求和计算： 结果： 3. 已知一个等差数列的首项是5，公差是4，第10项是多少？ 【答案】 41 【分析】 直接使用末项公式 进行计算。 【详解】 代入公式： 计算过程： 结果： 4. 一个等差数列的首项是2，末项是50，公差是3，这个数列共有多少项？ 【答案】 17项 【分析】 逆用项数公式 。 【详解】 代入公式： 计算过程： 结果： 5. 求所有两位数的和。 【答案】 4905 【分析】 所有的两位数是从10到99的连续自然数，这是一个公差为1的等差数列。先求项数（90项），再求和。 【详解】 项数： 求和： 结果： 6. 丽丽学英语单词，第一天背了4个，以后每天都比前一天多背3个，10天后丽丽一共背了多少个单词？ 【答案】 175个 【分析】 每天背诵的数量构成等差数列。首项 ，公差 ，项数 。先求出第10天背的数量（末项），再求总和。 【详解】 第10天数量（末项）： 总和： 结果： （个） 7. 一个剧院的座位排列成梯形，第一排有20个座位，往后每排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位。这个剧院共有多少个座位？ 【答案】 840个 【分析】 座位数构成等差数列。首项20，末项60，公差2。先求出有多少排（项数），再求总座位数。 【详解】 排数（项数）： 总座位数： 结果： （个） 8. 时钟在一点时敲1下，两点时敲2下，……，十二点时敲12下。每到半点时又敲1下。这个时钟一昼夜（24小时）共敲了多少下？ 【答案】 180下 【分析】 分两部分计算。第一部分是整点敲击（1+2+…+12）重复两次（24小时）；第二部分是半点敲击，一昼夜有24个半点，敲24下。 【详解】 整点敲击： （下） 半点敲击： （下） 总和： （下） 9. 小明在练习毛笔字，第一天写了20个字，以后每天比前一天多写2个字，第15天写了多少个字？ 【答案】 48个 【分析】 这是一个等差数列，求第15项的值。首项20，公差2，项数15。 【详解】 代入公式： 计算过程： 结果： 10. 一个堆放钢管的V形架，最下面一层放了15根，往上每层少放1根，最上面一层放了5根。这个V形架上一共有多少根钢管？ 【答案】 110根 【分析】 钢管层数构成等差数列。首项（最上面）是5，末项（最下面）是15，公差是1。先求项数，再求和。 【详解】 层数（项数）： 总根数： 结果： （根） 11. 一个等差数列的首项是3，末项是43，共有11项，这个数列的公差是多少？ 【答案】 4 【分析】 根据末项公式 变形得 。 【详解】 代入公式： 计算过程： 结果： 12. 已知某数列的首项是5，公差是5，前10项的和是多少？ 【答案】 275 【分析】 先求出第10项是多少，再利用求和公式计算。 【详解】 第10项： 前10项和： 结果： 13. 有10个数排成一列，它们的平均数是55，前6个数的平均数是48，后6个数的平均数是62。第5个数和第6个数的和是多少？ 【答案】 110 【分析】 这是一个较复杂的平均数与数列结合的问题。总和为550，前6个和为288，后6个和为372。前6个与后6个有重叠（第5、6个），重叠部分的和等于（前6和 + 后6和 - 总和）。 【详解】 总和： 前6个和： 后6个和： 重叠部分（第5、6个）： 结果： 14. 一个等差数列的第3项是10，第7项是22，这个数列的首项是多少？ 【答案】 4 【分析】 第3项到第7项之间有4个间隔（7-3=4），数值增加了12（22-10）。可以先求出公差，再倒推首项。 【详解】 公差： 首项： 第3项比首项多2个公差，所以 结果： 1 ÷ 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 等差数列求和及应用 知识梳理 1. 基本概念 (1) 等差数列：从第二项起，每一项与前一项的差都相等的数列 (2) 公差(d)：等差数列中相邻两项的差值 (3) 首项(a₁)：数列的第一项 (4) 末项(aₙ)：数列的第n项 (5) 项数(n)：数列中项的个数 2. 核心公式 (1) 求和公式：Sₙ = n(a₁ + aₙ)÷2 或 Sₙ = na₁ + n(n−1)d÷2 (2) 项数公式：n = (aₙ - a₁)÷d + 1 (3) 末项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d (4) 首项公式：a₁ = aₙ - (n-1)d 3. 重要性质 (1) 对称性：在等差数列中，首项+末项=第二项+倒数第二项=… (2) 奇数项和：当项数为奇数时，总和=中间项×项数 (3) 公差关系：若m+n=p+q，则aₘ+aₙ=aₚ+aₚ 4. 解题技巧 (1) 高斯算法：首尾配对求和，适用于已知首末项的情况 (2) 倒序相加法：将数列正序和倒序相加，利用对称性简化计算 (3) 生活应用：将实际问题（如堆放、报数等）转化为等差数列模型 例题讲解 【典型例题1】 计算：1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 【跟踪训练1】 计算：2 + 4 + 6 + 8 + … + 98 + 100 【典型例题2】 小明读一本故事书，第一天读了10页，以后每天比前一天多读2页，读了7天正好读完，这本书共有多少页？ 【跟踪训练2】 一堆钢管堆成梯形，最上层有4根，最下层有12根，每相邻两层相差1根，这堆钢管共有多少根？ 【典型例题3】 30名同学按照身高由低到高排成一队，相邻两个同学的身高差都相同，前10名同学的身高和是1450厘米，前20名同学的身高和是3030厘米，那么这30名同学的身高和是多少厘米？ 【跟踪训练3】 已知一个等差数列的前15项之和为450，前21项之和为819，求这个数列的公差和首项。 提升练习 1. 计算：3 + 6 + 9 + 12 + … + 99 2. 计算：101 + 103 + 105 + … + 199 3. 已知一个等差数列的首项是5，公差是4，第10项是多少？ 4. 一个等差数列的首项是2，末项是50，公差是3，这个数列共有多少项？ 5. 求所有两位数的和。 6. 丽丽学英语单词，第一天背了4个，以后每天都比前一天多背3个，10天后丽丽一共背了多少个单词？ 7. 一个剧院的座位排列成梯形，第一排有20个座位，往后每排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位。这个剧院共有多少个座位？ 8. 时钟在一点时敲1下，两点时敲2下，……，十二点时敲12下。每到半点时又敲1下。这个时钟一昼夜（24小时）共敲了多少下？ 9. 小明在练习毛笔字，第一天写了20个字，以后每天比前一天多写2个字，第15天写了多少个字？ 10. 一个堆放钢管的V形架，最下面一层放了15根，往上每层少放1根，最上面一层放了5根。这个V形架上一共有多少根钢管？ 11. 一个等差数列的首项是3，末项是43，共有11项，这个数列的公差是多少？ 12. 已知某数列的首项是5，公差是5，前10项的和是多少？ 13. 有10个数排成一列，它们的平均数是55，前6个数的平均数是48，后6个数的平均数是62。第5个数和第6个数的和是多少？ 14. 一个等差数列的第3项是10，第7项是22，这个数列的首项是多少？ 1 ÷ 4 学科网（北京）股份有限公司 $