小升初奥数培优讲义专题05 裂项相消法（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学 通用版

该小学数学小升初复习讲义聚焦裂项相消法专题，涵盖基本思想、常见公式、解题步骤及易错点等知识梳理，通过典型例题解析、跟踪训练巩固、提升练习拓展的教学流程，帮助学生掌握“拆分再抵消”的核心技巧，形成系统的解题思路。 亮点在于分层递进的例题设计与实战化练习体系，如从基础连续整数相乘裂项到扩展的三数相乘、平方差形式，结合“观察通项—确定形式—逐项裂项—抵消求和”的步骤训练，培养学生的运算能力和推理意识。通过针对性易错点解析（如裂项不彻底、抵消错误），助力学生突破难点，教师可依托资料精准把握考点，提升复习教学的实效性。

☑小升初奥数培优讲义 专题05裂项相消法 色知识梳理 1.裂项相消法的基本思想 裂项相消法是将数列中的每一项拆分成两项或多项的差，使得拆分后的项在求和过程中可以 相互抵消，从而简化计算的方法。其核心思想是"拆分再抵消"，通过”拆项一重组一抵消 的过程，将繁琐的累加运算转化为简洁的首尾项相减。 2.常见的裂项公式 (①)基本形式（分母为两个连续整数相乘） 中=合- (2)通用形式（分母两个因数相差k) =食×（合-床） (3)扩展形式（分母为三个连续整数相乘) nn+n+万=支×{n+i-a+a+万} (④平方差形式（分母为两个连续奇数相乘) a-成a+西=支×（点-本） (⑤整数裂项形式 n(n+1)= nn+1Xn+2)-n-1mn+1) 3 3.裂项相消法的解题步骤 (1)观察通项公式：分析数列通项的特点，判断是否适合用裂项相消法 (2)确定裂项形式：根据通项特征选择合适的裂项公式 (3)逐项裂项：将数列的每一项按照裂项公式展开 (4)观察抵消：找出展开后可以相互抵消的项 (⑤)求和简化：保留未被抵消的首尾项，计算最终结果 4.裂项相消法的常见类型 (山等差型：如、-西等 (2)整数裂项：如n(n+1)、n(n+1)(n+2) 1/6 口小升初奥数培优讲义 (3)分数裂项：如 antb nn+1) 5.裂项相消法的易错点 (1)裂项不彻底：如将n+ 直接裂为贵一2，忘记乘以 (2)抵消错误：首尾项保留不准确，误将中间项全部消去 (3)系数遗漏：在裂项过程中忘记调整系数，导致等式不成立 計例题讲解 【典型例题1】 计算：十十+…十g 【跟踪训练1】 计算：十十+…十1以如 【典型例题2】 计算：十十十…十179 2/6 M 小升初奥数培优讲义 优胜膏 【跟踪训练2】 计算：十7+0+…+g议94 【典型例题3】 计算：1×2+2×3+3×4+…+99×100 【跟踪训练3】 计算：1×2+2×3+3×4+·+199×200 少提升练习 1.计算：十4十十…十0 3/6 ☑小升初奥数培优讲义 优驻 2.计算：之2+十34十…+2023x2024 3.计算：1-是-言-立-品-…-动 4.计算：言+立+六+元+2 5.计算：吾-五+易-箭+ 6.计算：☆+女十十…+衣 4/6 ☑小升初奥数培优讲义 优驻 7.计算：女+十+…十472 8.计算：☆十动十+…十20120 9.计算：+动+6十…+gi 10.计算：1吃+3%+5立+7六+9 5/6 口小升初奥数培优讲义 优胜 11.计算：2×3+3×4+4×5+·+19×20 12.计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+8×9×10 13.计算：2+2x4+x+…+x0 2 6/6小升初奥数培优讲义 优胜教高 专题05裂项相消法 知识梳理 1.裂项相消法的基本思想 裂项相消法是将数列中的每一项拆分成两项或多项的差，使得拆分后的项在求和过程中可以 相互抵消，从而简化计算的方法。其核心思想是"拆分再抵消"，通过"拆项一重组一抵 消"的过程，将繁琐的累加运算转化为简洁的首尾项相减。 2.常见的裂项公式 (1)基本形式（分母为两个连续整数相乘) 1=1-1 n(n+1 nn+1 (2)通用形式（分母两个因数相差k) 1 =×11 nn+kk×nn+k (3)扩展形式（分母为三个连续整数相乘） 1 1 n(n+1(n+2)2n(n+1 n+1n+2 (④)平方差形式（分母为两个连续奇数相乘) 1 1 2n-12n+12 2n-12n+1 (⑤)整数裂项形式 n(n+1)=nn+1)n+2-(n-1n(n+1) 3 3.裂项相消法的解题步骤 (1)观察通项公式：分析数列通项的特点，判断是否适合用裂项相消法 (2)确定裂项形式：根据通项特征选择合适的裂项公式 (3)逐项裂项：将数列的每一项按照裂项公式展开 (4)观察抵消：找出展开后可以相互抵消的项 (⑤)求和简化：保留未被抵消的首尾项，计算最终结果 1/14 小升初奥数培优讲义 优胜教高 4.裂项相消法的常见类型 1 1 (1)等差型：如 nn+k 2n-12n+1 等 (2)整数裂项：如nn+1、nn+1n+2 (3)分数裂项：如 an+b n(n+1) 5.裂项相消法的易错点 1 (1)裂项不彻底：如将 nn+2 直接裂为 11 nn+2, 忘记乘以 1-2 (2)抵消错误：首尾项保留不准确，误将中间项全部消去 (3)系数遗漏：在裂项过程中忘记调整系数，导致等式不成立 亦例题讲解 【典型例题1】 1 1 +1 1 计算：1x2+2×33×4 99×100 99 【答案】 100 【分析】这是裂项相消法最基本的形式，每一项的分母都是两个连续整数的乘积，符合 1 11 的裂项公式。通过将每一项拆分成两个分数的差，中间项会相互抵消，最 n(n+1)nn+1 终只保留首项和末项。 【详解】 将各项拆分： 21 1×2 111 2×323 1-1_1 3×434 2/14 小升初奥数培优讲义 优胜高 1 11 99×10099100 相加后中间项相互抵消： 1-2+号+写*+900 1-0 得出结果： 100 【跟踪训练1】 19×20 【答案】 19 20 分析】与典型创题1相园，使用基本裂项公式十子中阿项相互抵消，最终 只保留首项和末项。 【详解】 将各项拆分： 21- 1× 1=1-1 2×323 1 11 19×20-1920 相加后中间项相互抵消： 1+0-1 得出结果： 3/14 小升初奥数培优讲义 优胜教高 1-1-19 2020 【典型例题2】 1 1 +1 1 计算：1×3+3x55×7 17×19 【答案】19 1=1x-1) 【分析】这是分母差为2的分数裂项，符合nn+2一立×nn+2 的裂项公式。通过将每 项拆分成两个分数的差，中间项会相互抵消，最终只保留首项和末项。 【详解】 将各项拆分： 1 573*哈身 7* 提取公因数} 后中间项抵消： ×1-3++身++号 *1西 计算结果： *8品 【跟踪训练2】 4/14 小升初奥数培优讲义 优胜教高 计算：，+1 +1 1×44×77×10 91×94 【答案】 31 94 【分行】这是分每差为3的分数裂项，符合-号×日中内的夜项公式。道过将每 一项拆分成两个分数的差，中间项会相互抵消，最终只保留首项和末项。 【详解】 将各项拆分： 4=3×1- 1×43 0分×兮0 7×103 1=1×1-1) 91×9439194 提取公因数3后中间项抵消： 号1-+好号*号0++g1g4】 ×14 计算结果： 193_31 3×94=94 【典型例题3】 计算：1×2+2×3+3×4+…+99×100 【答案】333300 【分析】这是整数裂项的典型例子，使用公式n(n+1)=nn+1n+2）-n-1nn+1 。通过 3 5/14 小升初奥数培优讲义 优胜高 将每一项拆分成两个整数的差，中间项会相互抵消，最终只保留首项和末项。 【详解】 将各项拆分： 1×2=1×2×3-0×1×2 3 2×3=2×3×4-1×2×3 3 3×4=3×4×5-2×3×4 3 99×100=99×100×101-98×99×100 3 相加后中间项相互抵消： ×(1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+-+99×100×101-98×99×10) 3 i1×99×100×101) 计算结果： 1 ×99×100×101=33×100×101=333300 3 【跟踪训练3】 计算：1×2+2×3+3×4+…+199×200 【答案】2666600 【分析】与典型例题3相同，使用整数裂项公式n(n+1)=nn+1n+2),n-1nm+1,中 间项相互抵消，最终只保留首项和末项。 【详解】 将各项拆分： 1×2=1×2×3-0×1×2 6/14 小升初奥数培优讲义 优胜教高 2×3=2×3×4-1×2×3 199×200=199×200×201-198×199×200 3 相加后中间项相互抵消： 号×(1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+-+199×200×201-198×199x20 6号*189×20×20) 计算结果： 1×199×200×201=199×200×201=199×200×67=2666600 3 提升练习 1.计算： 1 1 1 1 2×33×44×549×50 【答案】 12 25 【分析】本题考察基本裂项公式的应用。每一项都可以裂项为 1-1 nn+1。 注意观察首项是从 n=2开始，而不是n=1,计算时要注意保留正确的首尾项。 【详解】 中间项抵消后，剩下：250 11 通分训：瓷动动岩 7/14 小升初奥数培优讲义 优胜教高 2.计算： 1一+ +1 1 1 十…十 1×22×3"3×4 2023×2024 2023 【答案】 2024 这是最标准的裂项相消模型。根据公式，原式将转化为1-2024· 1 【分析】 【详解】 原武1+4+0304 1- 2024 G2023 2024 3计算：1日。立为动 90 1 【答案】 10 111 11 【分析】 观察减数部分2石立…即1x22x3…。可以将减数裂项，或者将1看作 1 1×1 的特殊情况，利用裂项法处理。 【详解】 原式1-（，t++。 1×2'2×39×10 1-1-+号3*+兮0】 1-1-0 8/14 小升初奥数培优讲义 优胜高 61-9 10 治 4.计算： 11111 612'20'3042 【答案】 5 14 1 【分析】观察分母6=2×3,12=3×4，实际上是nn+1从n=2到n=6的求和。 【详解】 111 1 原式2×33x44x55x66x2 a23+兮+日君店君+哈》 725 141414 5.计算：后2+20 57.911,13 3042 【答案】 14 【分析】 观察分子是奇数列，分母是连续自然数乘积。可以尝试将每一项拆分为两个分数之 和或差。例如 5 2+311 62×32+3。发现规律： 2n+11,1 n(n+1)nn+1 【详解】 455667 去括号（注意符号变化）： 9/14 小升初奥数培优讲义 优胜高 2+-1-1++是-1-1++1 2334455667 中间项抵消，剩下： 27 6品+品品 1+1+1。++1 6.计算：1x4+4×77×10 22×25 【答案】 9 25 【分析】分母差为3，根据公式需提取公因数子裂项为片+3 11-1)。 【详解】 原式兮子片0*+分宏 :1×24 t325 25 1 1 7.计算： 1 1 2x7+7×12+12×17++47×52 【答案】 52 【分析】分母差为5，需提取公因数 裂项为 11--1) 55n-35n+2 或直接观察为 10/14