小升初奥数培优讲义专题04 定义新运算（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学通用版

该小学数学讲义聚焦小升初定义新运算专题，目标是帮助学生掌握新运算规则的理解与应用。通过知识梳理明确概念、特点及解题步骤，结合典型例题分类讲解直接计算、复合运算等题型，配套跟踪训练与提升练习，形成系统复习链条。 亮点在于分层突破与规则转化训练，如规律探索型例题引导学生通过实例抽象运算规则，培养符号意识与推理能力。设计从直接计算到含未知数的递进练习，帮助学生用数学语言表达新运算关系，提升运算能力。教师可通过错题提醒把握学生易错点，精准指导，有效提升学生解决新运算问题的实战能力。

专题04 定义新运算 知识梳理 1. 基本概念 定义新运算是指用一个特殊符号（如△、☆、※、◎等）表示一种人为规定的运算规则，这种规则与常规的加减乘除运算不同，需要根据题目中给出的定义进行计算。新定义的运算符号只在本题中有效，不能与常规运算符号混淆。 2. 核心特点 (1) 人为规定性：新运算规则是人为设定的，只在特定题目中有效 (2) 符号特殊性：使用*、▲、★、◎、△、◆、■等特殊符号表示 (3) 顺序敏感性：运算中字母的顺序通常很重要，不能随意交换 (4) 括号优先性：有括号的运算，必须先算括号里面的 3. 解题关键步骤 (1) 理解规则：仔细阅读题目，明确新运算符号的含义和运算步骤 (2) 代入数值：将具体数字替换规则中的字母，注意字母顺序 (3) 按序计算：严格按照规则的运算顺序进行计算，先乘除后加减，有括号先算括号内 (4) 转化验证：将新运算转化为常规四则运算后，可进行结果验证 4. 常见题型分类 (1) 直接计算型：已知规则和数值，直接代入计算 (2) 含未知数型：已知运算结果，反求其中一个字母的值 (3) 复合运算型：新运算与常规运算结合，或多个新运算嵌套 (4) 规律探索型：通过多个例子总结新运算规则 (5) 方程求解型：将新运算问题转化为方程求解 5. 常见错误提醒 (1) 混淆运算规则：误将新运算符号当作常规运算符号 (2) 运算顺序错误：未按规则中的顺序计算 (3) 字母顺序颠倒：代入时字母位置错误 (4) 忽略括号优先：未先计算括号内的内容 例题讲解 【典型例题1】直接计算型 题目：把"◎"定义为一种运算符号，其意义是：a◎b=ab-a-b，那么3◎4=？ 【答案】 5 【分析】 这是一道典型的直接计算型题目。根据定义，a◎b表示第一个数与第二个数的积再分别减去第一个数和第二个数。解题关键是正确理解新运算符号"◎"的含义，并严格按照定义进行计算。 【详解】 根据定义：a◎b = ab - a - b 代入a=3，b=4： 3◎4 = 3×4 - 3 - 4 = 12 - 3 - 4 = 5 因此，3◎4的值为5。 【跟踪训练1】 题目：定义一种新运算a☆b满足：a☆b=b×10+a×2，那么2011☆130=？ 【答案】 5322 【分析】 本题考察直接计算能力。根据规则a☆b=b×10+a×2，需要将2011和130分别代入a和b的位置进行计算。注意字母顺序，a是第一个数，b是第二个数。 【详解】 a☆b = b×10 + a×2 2011☆130 = 130×10 + 2011×2 = 1300 + 4022 = 5322 因此，2011☆130的值为5322。 【典型例题2】复合运算型 题目：若A△B=A×B-3A+4B，则4△(2△7)=？ 【答案】 276 【分析】 本题是复合运算型题目，需要先计算括号内的内容，再计算外层运算。解题关键是按照运算顺序，分步计算。 【详解】 先计算小括号中的：2△7 2△7 = 2×7 - 3×2 + 4×7 = 14 - 6 + 28 = 36 然后计算：4△36 4△36 = 4×36 - 3×4 + 4×36 = 144 - 12 + 144 = 276 因此，4△(2△7)的值为276。 【跟踪训练2】 题目：规定一种运算"～"，a～b表示a,b中较大的数减较小的数的差，例如6～3=6-3=3，2～5=5-2=3。试求：(9～4)+(1～8)×(2～6)=？ 【答案】 33 【分析】 本题考察复合运算能力。首先需要理解"～"的定义，然后按照运算顺序（先乘除后加减）进行计算。 【详解】 先计算各个"～"运算： 9～4 = 9 - 4 = 5（因为9>4） 1～8 = 8 - 1 = 7（因为8>1） 2～6 = 6 - 2 = 4（因为6>2） 然后代入原式： (9～4) + (1～8) × (2～6) = 5 + 7 × 4 = 5 + 28 = 33 因此，(9～4)+(1～8)×(2～6)的值为33。 【典型例题3】规律探索型 题目：规定：5◎2=5+55=60，2◎5=2+22+222+2222+22222=24690，1◎4=1+11+111+1111=1234，那么，4◎3=？ 【答案】 492 【分析】 本题是规律探索型题目，需要通过观察已知例子找出规律，再应用规律进行计算。观察发现，a◎b表示b个由a组成的数相加。 【详解】 通过观察： 5◎2 = 5 + 55 = 60（2个5组成的数相加） 2◎5 = 2 + 22 + 222 + 2222 + 22222 = 24690（5个2组成的数相加） 1◎4 = 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234（4个1组成的数相加） 可以发现规律：a◎b表示b个由a组成的数相加 因此，4◎3 = 4 + 44 + 444 = 492 所以，4◎3的值为492。 【跟踪训练3】 题目：如果4※2=4+44=48，2※3=2+22+222=246，1※4=1+11+111+1111=1234，那么1※9=？ 【答案】 123456789 【分析】 本题考察规律探索能力。通过观察已知例子，可以发现a※b表示b个由a组成的数相加的规律。 【详解】 观察已知例子： 4※2 = 4 + 44 = 48（2个4组成的数相加） 2※3 = 2 + 22 + 222 = 246（3个2组成的数相加） 1※4 = 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234（4个1组成的数相加） 可以发现规律：a※b表示b个由a组成的数相加 因此，1※9 = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111 + 11111111 + 111111111 = 123456789 所以，1※9的值为123456789。 【典型例题4】方程求解型 题目：现规定一种运算：x△y=3x-y，如果x△(4△2)=13，那么x=？ 【答案】 【分析】 本题是方程求解型题目，需要先计算括号内的内容，再将问题转化为方程求解。解题关键是分步计算和建立方程。 【详解】 先计算4△2： 4△2 = 3×4 - 2 = 12 - 2 = 10 然后计算x△10： x△10 = 3x - 10 根据题意，x△(4△2)=13，即： 3x - 10 = 13 3x = 23 x = 因此，x的值为。 【跟踪训练4】 题目：设a、b分别表示两个数，如果规定：a※b=(a+b)×(a-b)，则4※3=？ 【答案】 7 【分析】 本题考察直接计算能力。根据规则a※b=(a+b)×(a-b)，需要将4和3分别代入a和b的位置进行计算。 【详解】 a※b = (a+b)×(a-b) 4※3 = (4+3)×(4-3) = 7×1 = 7 因此，4※3的值为7。 【典型例题5】含未知数型 题目：定义新运算a⊙b=3a-b，例如2⊙3=3×2-3=3，那么2018⊙(5⊙4)=？ 【答案】 6043 【分析】 本题是含未知数型题目，需要先计算括号内的内容，再计算外层运算。解题关键是分步计算。 【详解】 先计算5⊙4： 5⊙4 = 3×5 - 4 = 15 - 4 = 11 然后计算2018⊙11： 2018⊙11 = 3×2018 - 11 = 6054 - 11 = 6043 因此，2018⊙(5⊙4)的值为6043。 【跟踪训练5】 题目：规定m※n=2m-3n，已知A※3=21，那么A=？ 【答案】 15 【分析】 本题考察含未知数的计算能力。根据规则m※n=2m-3n，将A和3代入，建立方程求解。 【详解】 m※n = 2m - 3n A※3 = 2A - 3×3 = 2A - 9 根据题意，A※3=21，即： 2A - 9 = 21 2A = 30 A = 15 因此，A的值为15。 提升练习 1. 设 ，求 的值。 【答案】 14 【分析】 本题属于直接计算型。根据定义， 表示 的 3 倍减去 的 2 倍。直接将 、 代入公式计算即可。 【详解】 根据定义： 代入数值： 所以， 的值为 14。 2. 规定 ，求 的值。 【答案】 38 【分析】 本题考察对新运算规则的直接代入能力。规则规定 等于 的 4 倍加上 的 3 倍。 【详解】 根据定义： 代入数值： 所以， 的值为 38。 3. 定义运算 ，求 的值。 【答案】 17 【分析】 严格按照定义的算式进行计算，注意运算顺序（先乘除后加减）。 【详解】 根据定义： 代入数值： 所以， 的值为 17。 4. 若 ，求 的值。 【答案】 26 【分析】 该规则表示两个数的和的 2 倍。先算括号内的加法，再进行乘法运算。 【详解】 根据定义： 代入数值： 所以， 的值为 26。 5. 规定 （ 表示 的平方），求 的值。 【答案】 26 【分析】 规则表示 的平方加上 的 2 倍。 【详解】 根据定义： 代入数值： 所以， 的值为 26。 6. 若 ，求 的值。 【答案】 90 【分析】 本题属于复合运算，必须遵循“先算括号内，再算括号外”的原则。先计算 的结果，将其作为外层运算的 值。 【详解】 先算括号内 ： 再算外层 ： 所以， 的值为 90。 7. 规定 ，求 的值。 【答案】 15 【分析】 本题考察嵌套运算。先计算小括号内的 得到一个结果 ，然后计算 。 【详解】 计算 ： 计算 ： 所以， 的值为 15。 8. 定义 ，求 的值。 【答案】 41 【分析】 严格按照运算顺序，先求出内层括号 的值。 【详解】 计算 ： 计算 ： 所以， 的值为 41。 9. 规定 表示 与 中较大的数加上较小的数。例如： 。求 的值。 【答案】 24 【分析】 本题定义了一种基于比较的运算。先分别算出两个括号内的值，再相加。 【详解】 计算 ： 和 中较大的是 ，较小的是 ，所以 计算 ： 和 中较大的是 ，较小的是 ，所以 相加： 所以， 的值为 24。 10. 若 ，求 的值。 【答案】 50 【分析】 先计算括号内的平方差，再计算外层的平方差。 【详解】 计算 ： 计算 ： 所以， 的值为 50。 11. 观察规律： ； ； 。求 的值。 【答案】 26 【分析】 本题考察规律探索。观察发现， 表示从 开始，连续加 个自然数。 【详解】 根据规律： 表示从 5 开始，连续加 4 个数。 所以， 的值为 26。 12. 规定 ，如果 ，求 的值。 【答案】 7 【分析】 本题属于方程求解型。先根据定义将新运算转化为方程，再解方程求出 。 【详解】 根据定义将运算转化为方程： 解方程： 所以， 的值为 7。 13. 定义 ，如果 ，求 的值。 【答案】 5 【分析】 将新运算代入后形成一个简单的乘除法方程。 【详解】 根据定义列方程： 解方程： 所以， 的值为 5。 14. 规定 ，如果 ，求 的值。 【答案】 5 【分析】 这是一个含括号的方程求解问题。先将括号内的部分看作整体进行求解。 【详解】 根据定义列方程： 解方程： 所以， 的值为 5。 15. 观察规律： ； ； 。求 的值。 【答案】 22 【分析】 规律探索题。观察发现，当 时， 表示从 开始，连续加 个自然数。 【详解】 根据规律： 表示从 4 开始，连续加 4 个数。 所以， 的值为 22。 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $☑小升初奥数培优讲义 专题04定义新运算 色知识梳理 1.基本概念 定义新运算是指用一个特殊符号（如△、口、必、©等）表示一种人为规定的运算规则，这 种规则与常规的加减乘除运算不同，需要根据题目中给出的定义进行计算。新定义的运算符 号只在本题中有效，不能与常规运算符号混淆。 2.核心特点 (1)人为规定性：新运算规则是人为设定的，只在特定题目中有效 (2)符号特殊性：使用*、▲、★、回、△、◆、■等特殊符号表示 (3)顺序敏感性：运算中字母的顺序通常很重要，不能随意交换 (4)括号优先性：有括号的运算，必须先算括号里面的 3.解题关键步骤 (1)理解规则：仔细阅读题目，明确新运算符号的含义和运算步骤 (2)代入数值：将具体数字替换规则中的字母，注意字母顺序 (3)按序计算：严格按照规则的运算顺序进行计算，先乘除后加减，有括号先算括号内 (4)转化验证：将新运算转化为常规四则运算后，可进行结果验证 4.常见题型分类 (1)直接计算型：已知规则和数值，直接代入计算 (2)含未知数型：已知运算结果，反求其中一个字母的值 (3)复合运算型：新运算与常规运算结合，或多个新运算嵌套 (4)规律探索型：通过多个例子总结新运算规则 (⑤)方程求解型：将新运算问题转化为方程求解 5.常见错误提醒 (1)混淆运算规则：误将新运算符号当作常规运算符号 (2)运算顺序错误：未按规则中的顺序计算 (3)字母顺序颠倒：代入时字母位置错误 (4)忽略括号优先：未先计算括号内的内容 例题讲解 1/7 ☑小升初奥数培优讲义 【典型例题1】直接计算型 题目：把"©"定义为一种运算符号，其意义是：a©b=ab-a-b,那么3O4=? 【跟踪训练1】 题日：定义一种新运算a口b满足：a☐b=b×10+a×2,那么2011口130=？ 【典型例题2】复合运算型 题目：若A△B=A×B-3A+4B,则4△(2△7)=？ 【跟踪训练2】 题目：规定一种运算""，a~b表示a,b中较大的数减较小的数的差，例如6~3=6-3=3,2~ 5=5-2=3。试求：(9~4)+(1~8)×(26)=？ 2/7 ☑小升初奥数培优讲义 【典型例题3】规律探索型 题目：规定：5©2=5+55=60,2©5=2+22+222+2222+22222=24690,1© 4=1+11+111+1111=1234,那么，4©3=？ 【跟踪训练3】 题目：如果4×2=4+44=48,2×3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234，那么1※9=？ 【典型例题4】方程求解型 题目：现规定一种运算：x△y=3x-y,如果x△(4△2)13，那么x=? 【跟踪训练4】 题日：设a、b分别表示两个数，如果规定：a※b=(a+b)×(a-b),则4※3=？ 3/7 口小升初奥数培优讲义 【典型例题5】含未知数型 题目：定义新运算a⊙b=3a-b,例如2⊙3=3×2-3=3，那么2018⊙(5⊙4)=？ 【跟踪训练5】 题目：规定m※n=2m-3n,已知A※3=21，那么A=？ 心提升练习 1.设a⊙b=3a-2b,求8⊙5的值。 2.规定P*Q=4P+3Q,求5*6的值。 4/7 口小升初奥数培优讲义 优驻 3.定义运算A△B=AXB-A+B,求7△3的值。 4.若x⊕y=(x+y)×2,求9⊕4的值。 5.规定m7n=m2+2m(m2表示m的平方)，求475的值。 6.若A△B=A×B-2A+3B,求3△(2△4)的值. 7.规定a*b=a+2b,求(5*3)*2的值。 5/7 小升初奥数培优讲义 8.定义x⊙y=x×y+x-y,求6⊙(3⊙2)的值。 9.规定ab表示a与b中较大的数加上较小的数。例如：53=5+3=8。求 (85)+(29)的值。 10.若A*B=A2-B2,求7*(2*1)的值。 11.观察规律：1△3=1+2+3=6；2△4=2+3+4+5=14；3△2=3+4=7。 求5△4的值。 6/7 口小升初奥数培优讲义 12.规定ab=2a+3b,如果x4=26,求x的值。 13.定义PQ=P×Q÷2,如果8y=20,求y的值。 14.规定a*b=(a+b)×b,如果x★3=24，求x的值。 15.观察规律：1*1=1：2*2=2+3=5：3*3=3+4+5=12。求4*4的值。 7/7