小升初奥数培优讲义专题01 整数的速算巧算-（讲义）·2025-2026学年六年级下册数学 通用版

该小学数学讲义聚焦整数速算巧算专题，涵盖凑整法、基准数法、乘法速算等核心技巧，教学目标是提升学生运算效率与准确性。通过知识梳理构建方法体系，典型例题解析思路，跟踪训练巩固应用，形成“理解-应用-强化”的系统复习路径。 亮点在于将速算技巧与核心素养结合，如基准数法训练抽象能力，通过“选基准数-算偏差-求和”步骤培养有序思维，乘法速算（如25×24）结合拆分法强化运算能力。设计梯度练习，从基础例题到提升训练，帮助学生掌握技巧，教师可通过跟踪训练精准定位薄弱点，提升复习实效。

专题01 整数的速算巧算 知识梳理 1. 凑整法 原理：利用加法交换律、结合律或减法的性质，将数凑成整十、整百、整千的"整数块"，减少计算步骤。 (1) 加法凑整：将两个数相加能凑成整十、整百的数先相加，如28+72=100。 (2) 减法凑整：将两个减数合并成整十、整百的数，如100-23-37=100-(23+37)=40。 (3) 拆出补数：将接近整十、整百的数拆成整十、整百减去一个小数，如188+873=200+861=1061。 2. 基准数法 原理：当多个数接近同一个数（基准数）时，先以基准数×个数，再调整"偏差值"，简化连加运算。 步骤： (1) 选择基准数（通常为中间数） (2) 计算每个数与基准数的偏差 (3) 基准数×个数 + 偏差和 = 总和 3. 拆分法 原理：将数拆分为易计算的组合（如25和4、125和8、整十数+一位数等），利用乘法分配律简化运算。 (1) 乘法拆分：如25×12=25×4×3=100×3=300 (2) 除法拆分：如360÷15=360÷3÷5=120÷5=24 4. 乘法速算技巧 (1) 与11相乘：采用"两头一拉，中间相加"，如26×11=286 (2) 与25相乘：看这个数里有几个4，有几个4就有几个100，如25×24=600 (3) 与15相乘：用这个数加上它的一半再乘以10，如24×15=360 (4) 与9、99、999相乘：用这个数乘以10、100、1000，再减去这个数，如45×9=405 (5) 个位是5的相同两位数相乘：积的末尾两位都是25，25前面的数是这个两位数首位数与首位数加1的积，如35×35=1225 5. 等差数列求和 公式：和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2 (1) 应用：如1+2+3+...+10=(1+10)×10÷2=55 (2) 特殊数列：连续奇数和 = 项数²，如1+3+5+7+9=25 6. 提取公因数法 原理：当算式中各项存在相同的因数时，可将公因数提取出来，简化计算。 应用：如36×7+36×3=36×(7+3)=360 7. 借来借去法 原理：将接近整十、整百的数（如98、102）转化为"整十、整百±小数"的形式进行计算。 应用：如999+1999+2999=(1000-1)+(2000-1)+(3000-1)=6000-3=5997 例题讲解 【典型例题1】凑整法应用 计算：72+36+28+14 【答案】 150 【分析】 观察发现72与28相加得100，36与14相加得50，可以先分别凑整再相加。 【详解】 72+36+28+14 = (72+28) + (36+14) = 100 + 50 = 150 【跟踪训练1】 计算：85+27+15+73 【答案】 200 【分析】 85与15相加得100，27与73相加得100，可以先分别凑整再相加。 【详解】 85+27+15+73 = (85+15) + (27+73) = 100 + 100 = 200 【典型例题2】基准数法应用 计算：82+85+80+78+81 【答案】 406 【分析】 这组数都接近80，可选80为基准数，计算每个数与基准数的偏差，再调整。 【详解】 82+85+80+78+81 = 80×5 + (2+5+0-2+1) = 400 + 6 = 406 【跟踪训练2】 计算：19+20+21+18+22 【答案】 100 【分析】 这组数都接近20，可选20为基准数，计算每个数与基准数的偏差，再调整。 【详解】 19+20+21+18+22 = 20×5 + (-1+0+1-2+2) = 100 + 0 = 100 【典型例题3】乘法速算应用 计算：24×15 【答案】 360 【分析】 一个数与15相乘，可以用这个数加上它的一半再乘以10。 【详解】 24×15 = (24+12)×10 = 36×10 = 360 【跟踪训练3】 计算：32×15 【答案】 480 【分析】 一个数与15相乘，可以用这个数加上它的一半再乘以10。 【详解】 32×15 = (32+16)×10 = 48×10 = 480 【典型例题4】等差数列求和 计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 【答案】 100 【分析】 这是连续奇数的和，可以用等差数列求和公式：和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2。 【详解】 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = (1+19)×10÷2 = 20×5 = 100 【跟踪训练4】 计算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 【答案】 110 【分析】 这是连续偶数的和，可以用等差数列求和公式：和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2。 【详解】 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 = (2+20)×10÷2 = 22×5 = 110 【典型例题5】提取公因数法 计算：36×7+36×3 【答案】 360 【分析】 两项都有公因数36，可以提取公因数，先计算括号内7+3的和，再与36相乘。 【详解】 36×7+36×3 = 36×(7+3) = 36×10 = 360 【跟踪训练5】 计算：123×56-23×56 【答案】 5600 【分析】 两项都有公因数56，可以提取公因数，先计算123-23的差，再与56相乘。 【详解】 123×56-23×56 = (123-23)×56 = 100×56 = 5600 【典型例题6】借来借去法 计算：999+1999+2999 【答案】 5997 【分析】 将999看作1000-1，1999看作2000-1，2999看作3000-1，先相加整千数，再减去多算的部分。 【详解】 999+1999+2999 = (1000-1) + (2000-1) + (3000-1) = 1000+2000+3000-3 = 6000-3 = 5997 【跟踪训练6】 计算：983+984+985+986+987 【答案】 4925 【分析】 这组数都接近985，可以选985为基准数，计算每个数与基准数的偏差，再调整。 【详解】 983+984+985+986+987 = 985×5 + (-2-1+0+1+2) = 4925 + 0 = 4925 【典型例题7】乘法分配律应用 计算：75×102 【答案】 7650 【分析】 将102拆分成100+2，利用乘法分配律分别与75相乘，再将结果相加。 【详解】 75×102 = 75×(100+2) = 75×100 + 75×2 = 7500 + 150 = 7650 【跟踪训练7】 计算：42×101 【答案】 4242 【分析】 将101拆分成100+1，利用乘法分配律分别与42相乘，再将结果相加。 【详解】 42×101 = 42×(100+1) = 42×100 + 42×1 = 4200 + 42 = 4242 【典型例题8】特殊乘法速算 计算：35×35 【答案】 1225 【分析】 个位是5的相同两位数相乘，积的末尾两位都是25，25前面的数是这个两位数首位数与首位数加1的积。 【详解】 35×35 = 3×(3+1)×100 + 25 = 3×4×100 + 25 = 1200 + 25 = 1225 【跟踪训练8】 计算：45×45 【答案】 2025 【分析】 个位是5的相同两位数相乘，积的末尾两位都是25，25前面的数是这个两位数首位数与首位数加1的积。 【详解】 45×45 = 4×(4+1)×100 + 25 = 4×5×100 + 25 = 2000 + 25 = 2025 【典型例题9】连减巧算 计算：784-183-17 【答案】 584 【分析】 这是一道连减题，183与17的和正好是200，可以先计算183+17=200，再用784-200。 【详解】 784-183-17 = 784-(183+17) = 784-200 = 584 【跟踪训练9】 计算：135-49-51 【答案】 35 【分析】 这是一道连减题，49与51的和正好是100，可以先计算49+51=100，再用135-100。 【详解】 135-49-51 = 135-(49+51) = 135-100 = 35 【典型例题10】加减混合巧算 计算：1-2+3-4+5-6+...+17-18+19 【答案】 10 【分析】 这种有规律的加减题，可以用"带符号搬家"和"打包法"。把相邻的两个数打包，每组都是1，总共有19个数，18个数能分成9组，每组都是1，所以9×1+1=10。 【详解】 1-2+3-4+5-6+...+17-18+19 = (1-2)+(3-4)+(5-6)+...+(17-18)+19 = (-1)+(-1)+(-1)+...+(-1)+19 = -9+19 = 10 【跟踪训练10】 计算：2-3+4-5+6-7+...+20-21+22 【答案】 12 【分析】 这种有规律的加减题，可以用"带符号搬家"和"打包法"。把相邻的两个数打包，每组都是-1，总共有21个数，20个数能分成10组，每组都是-1，所以-10+22=12。 【详解】 2-3+4-5+6-7+...+20-21+22 = (2-3)+(4-5)+(6-7)+...+(20-21)+22 = (-1)+(-1)+(-1)+...+(-1)+22 = -10+22 = 12 提升练习 1. 计算： 【答案】 200 【分析】 观察发现，38与62相加得100，56与44相加得100。利用加法交换律和结合律，将能凑成整百的数分别结合。 【详解】 2. 计算： 【答案】 30 【分析】 连减运算中，如果后两个减数能凑成整十数，可以先把它们相加，再用被减数减去它们的和。 【详解】 3. 计算： 【答案】 350 【分析】 这5个数都接近70，选用70作为基准数。计算总和时，先算 ，再加上各个数与70的偏差之和。 【详解】 4. 计算： 【答案】 690 【分析】 一个数乘以15，等于这个数加上它的一半，再乘以10。 【详解】 5. 计算： 【答案】 210 【分析】 这是一个等差数列求和问题。利用公式：和 = (首项 + 末项) 项数 2。首项是1，末项是20，共有20项。 【详解】 6. 计算： 【答案】 800 【分析】 利用乘法拆分法，将32拆分为 。先算 得100，再算 。 【详解】 7. 计算： 【答案】 4800 【分析】 算式中有相同的因数48，利用乘法分配律的逆运算（提取公因数），先算 ，再乘以48。 【详解】 8. 计算： 【答案】 5544 【分析】 一个数乘以99，可以把99看作 ，利用乘法分配律进行简算。 【详解】 9. 计算： 【答案】 3025 【分析】 个位是5的相同两位数相乘，积的末尾两位都是25，25前面的数是这个两位数首位数与首位数加1的积（即 ）。 【详解】 10. 计算： 【答案】 403 【分析】 利用“借来借去法”，将99看作 ，199看作 ，299看作 。先减去整百数，因为多减了 ，所以最后要加回来。 【详解】 11. 计算： 【答案】 6300 【分析】 三项都有公因数21，先提取公因数21，再计算括号内 的值。 【详解】 12. 计算： 【答案】 11110 【分析】 观察发现，前面全是9、99、999、9999，如果加上1，就能分别凑成10、100、1000、10000。将最后的4拆成 ，分别与前面的数凑整。 【详解】 13. 计算： 【答案】 36 【分析】 这是一个对称数列。可以利用高斯求和公式分别计算上升和下降部分，或者利用“中间数平方”的规律（ ），但要注意中间数6只出现一次。 【详解】 利用平方规律： 14. 计算： 【答案】 1000000 【分析】 观察发现 接近 。将1999拆分为 ，然后利用乘法分配律的逆运算。 【详解】 15. 计算： 【答案】 10 【分析】 这是一个加减交替的数列。可以采用“打包法”，每两个数（如 ）分为一组，每组结果都是1。从1到20共有20个数，可以分为10组。 【详解】 （共10个1） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $☑小升初奥数培优讲义 专题01整数的速算巧算 色知识梳理 1.凑整法 原理：利用加法交换律、结合律或减法的性质，将数凑成整十、整百、整千的"整数块"，减少 计算步骤 (1)加法凑整：将两个数相加能凑成整十、整百的数先相加，如28+72=100。 (2)减法凑整：将两个减数合并成整十、整百的数，如100-23-37=100-(23+37)=40。 (3)拆出补数：将接近整十、整百的数拆成整十、整百减去一个小数，如188 +873=200+861=1061。 2.基准数法 原理：当多个数接近同一个数（基准数）时，先以基准数×个数，再调整"偏差值"，简化连加 运算。 步骤： (1)选择基准数（通常为中间数） (2)计算每个数与基准数的偏差 (3)基准数×个数+偏差和=总和 3.拆分法 原理：将数拆分为易计算的组合（如25和4、125和8、整十数+一位数等），利用乘法分配律 简化运算。 (1)乘法拆分：如25×12=25×4×3=100×3=300 (2)除法拆分：如360÷15=360：3÷5=120÷5=24 4.乘法速算技巧 (1)与11相乘：采用"两头一拉，中间相加"，如26×11=286 (2)与25相乘：看这个数里有几个4，有几个4就有几个100，如25×24=600 (3)与15相乘：用这个数加上它的一半再乘以10，如24×15=360 (4)与9、99、999相乘：用这个数乘以10、100、1000，再减去这个数，如45×9=405 (5)个位是5的相同两位数相乘：积的末尾两位都是25,25前面的数是这个两位数首位数与 首位数加1的积，如35×35=1225 1/8 小升初奥数培优讲义 5.等差数列求和 公式：和=（首项+末项）×项数÷2 (1)应用：如1+2+3+..+10=(1+10)×10÷2=55 (2)特殊数列：连续奇数和=项数2，如1+3+5+7+9=25 6.提取公因数法 原理：当算式中各项存在相同的因数时，可将公因数提取出来，简化计算。 应用：如36×7+36×3=36×(7+3)=360 7.借来借去法 原理：将接近整十、整百的数（如98、102）转化为整十、整百±小数"的形式进行计算。 应用：如999+1999+2999=(1000-1)十(2000-1)十(3000-1)6000-3=5997 引例题讲解 【典型例题1】凑整法应用 计算：72+36+28+14 【跟踪训练1】 计算：85+27+15+73 【典型例题2】基准数法应用 计算：82+85+80+78+81 2/8 ☑小升初奥数培优讲义 优驻 【跟踪训练2】 计算：19+20+21+18+22 【典型例题3】乘法速算应用 计算：24×15 【跟踪训练3】 计算：32×15 【典型例题4】等差数列求和 计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 【跟踪训练4】 计算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 3/8 ☑小升初奥数培优讲义 优胜 【典型例题5】提取公因数法 计算：36×7+36×3 【跟踪训练5】 计算：123×56-23×56 【典型例题6】借来借去法 计算：999+1999+2999 【跟踪训练6】 计算：983+984+985+986+987 【典型例题7】乘法分配律应用 计算：75×102 4/8 ☑小升初奥数培优讲义 优胜 【跟踪训练7】 计算：42×101 【典型例题8】特殊乘法速算 计算：35×35 【跟踪训练8】 计算：45×45 【典型例题9】连减巧算 计算：784-183-17 【跟踪训练9】 计算：135-49-51 5/8 口小升初奥数培优讲义 优驻致 【典型例题10】加减混合巧算 计算：1-2+3-4+5-6+.+17-18+19 【跟踪训练10】 计算：2-3+4-5+6-7+.+20-21+22 Y提升练习 1.计算：38+56+62+44 2.计算：100-47-23 3.计算：72+69+70+71+68 4.计算：46×15 6/8 ☑小升初奥数培优讲义 优驻 5.计算：1+2+3+…+19+20 6.计算：25×32 7.计算：48×73+48×27 8.计算：56×99 9.计算：55×55 10.计算：1000-99-199-299 11.计算：234×21+134×21-68×21 7/8 口小升初奥数培优讲义 优驻 12.计算：9+99+999+9999+4 13.计算：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 14.计算：1999+999×999 15.计算：20-19+18-17+…+4-3+2-1 8/8