第05讲 正方形（知识详解+11典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册同步讲义与测试

第05讲 正方形（知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】正方形的定义 定义 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形 【知识点02】正方形的判定 （1）定义判定： 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形。 （2）从边的角度判定： 有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）从角的角度判定： 有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）·从对角线的角度判定 ①对角线相等的菱形是正方形 ②对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 ③对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形 【知识点03】正方形的性质 正方形是一种特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形，因此它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.总结如下: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是它的中心 是轴对称图形，有四条对称轴 边 对边平行 四条边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 （1）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （2）若正方形的边长为 ，则对角线长为 ，面积为 ． 【知识点04】 平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系与区别 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 【题型一】正方形的判定定理理解 例1．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知四边形中，，下列条件能使四边形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 变式2．（2023八年级下·上海·专题练习）已知在四边形中，与相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．，， B． C． D． 【题型二】证明四边形是正方形 例2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知在四边形中，，对角线、交于点，且，则下列四个命题中真命题是（    ） A．若，则四边形一定是等腰梯形 B．若，则四边形一定是等腰梯形 C．若且，则四边形一定是正方形 D．若，则四边形一定是矩形 变式1．（22-23八年级下·上海黄浦·月考）如图，四边形是矩形，E是对角线上一点，且．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若F是对角线上一点，且，求证：． 【题型三】添一个条件使四边形是正方形 例3．（24-25八年级下·上海松江·期末）已知矩形的对角线、交于点，下列条件中能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 变式2．如图，在矩形中，添加一个条件： ，可使四边形是正方形． 【题型四】正方形性质理解 例4．在正方形中，，则正方形的周长为（   ） A．9 B．12 C． D．6 变式1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，是一个由8个单位正方形组成的图形，是其中一个小正方形的顶点． (1)过点画一条直线，将这个图形分割成面积为的两部分，画出这条直线，并求出该直线被这个图形所截得的线段长： (2)如果经过点的一条直线将这个图形分割成面积相等的两部分，画出这条直线． 【题型五】根据正方形的性质求角度 例5．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么 度． 变式1．正方形ABCD中，E为AB上一点，M，N分别在BC，AD上，CE＝MN，∠MCE＝35°，则∠ANM＝ ． 变式2．如图，在正方形中，连接，延长至点E，使，连接，求的度数． 【题型六】根据正方形的性质求线段长 例6． （24-25八年级下·上海·月考）正方形面积为16，正方形内一点P到的距离与到点A、B的距离都是d， 则 变式1．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形的边长为2，对角线、交于点，为边上一点，如果，那么的长为 ． 变式2．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点在边上，垂直平分线段，垂足为点，求的长． 【题型七】根据正方形的性质求面积 例7．四边形不具稳定性，四条边长都确定的四边形．当内角的大小发生变化时．其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（    ） A． B． C． D．1 变式1．（22-23八年级下·上海徐汇·月考）如图所示，在一个大正方形中有两个小正方形，它们的面积分别为、，则 ．    变式2．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，正方形边长为4，点E在边上一点（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．    (1)求证：； (2)连接、，如果的面积为，求的长． 【题型八】正方形折叠问题 例8．（22-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．    变式1．（22-23八年级下·上海浦东新·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为 ． 【题型九】根据正方形的性质证明 例9．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，已知正方形的边长为，、分别是、边上的点，且，如果时，则的长为 ． 变式1．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上 （如图）． (1)如果四边形是平行四边形，求证：； (2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系． 【题型十】根据正方形的性质与判定求线段长 例10．（24-25八年级下·上海金山·期中）如图，在中，，，．点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 变式1．（2023八年级下·上海杨浦·期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G． (1)求证：CG＝CE； (2)联结CF，求证：∠BFC＝45°； (3)如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长． 【题型十一】根据正方形的性质与判定证明 例11．（22-23八年级下·上海·期中）在正方形中，边长为，点是对角线上一点，，是射线上一点，联结，射线交直线于，当时， ． 变式1．（24-25八年级下·全国·期中）如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 变式2．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且． （1）求证：； （2）在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： ①如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． ②如图3，在中，，，，，则的面积为____（直接写出结果，不需要写出计算过程） 一、单选题 1．如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．如图，在正方形外侧作等边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是正方形，直线l是正方形的一条对称轴，E是边的中点，F是边的中点，点G在边上，且，则点E关于直线l的对称点可能是（　　） A．点C B．点D C．点F D．点G 5．已知四边形中，，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（    ） A． B． C． D．与互相平分 6．如图，正方形的边长为，为边上一点与点、不重合，连接，交于点当是等腰三角形时，则的长为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，点、分别在，上，且，连接，，则下列结论中不一定正确的是（　　　） A． B． C． D． 8．如图正方形和正方形全等，把点A固定在正方形的中心，当正方形绕点A转动时，两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件 ，使矩形成为正方形（填一个即可）． 10．如果把正方形 绕点 旋转得到正方形，点落在对角线上，点落在 的延长线上，那么 度． 11．如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ． 12．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 ． 13．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是 ． 14．如图，已知正方形和正方形顶点重合，点、、分别在边、、上，，将正方形绕着点旋转，点、分别落到点、，如果点、、在同一直线上时，那么线段的长为 ． 15．如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 16．如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是 ． 17．如图，已知矩形，，，点是线段上一点，且不与、重合，沿折叠使点落在矩形某边所在直线上，则的长是 ． 18．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 °． 三、解答题 19．已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形； 20．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 21．如图，已知，对角线相交于点O，． (1)求证：是矩形； (2)请添加一个条件使矩形为正方形． 22．阅读理解题． 定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”． 如图，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫做“美妙线”，四边形就称为“美妙四边形”． 问题： (1)下列四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中是“美妙四边形”的有 个； (2)四边形是“美妙四边形”，，，，，当 是“美妙线”时，求四边形的面积（画出图形并写出解答过程）． 23．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)若点为中点，当______时，四边形是正方形． 24．如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长． 25．已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 26．如图1，点E、F分别在正方形边、上，沿直线将正方形折叠．使点B的对应点G落在边上（点G不与点A、D重合），点C落在点H处，与交于点M，分别连接， (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若，点M为的中点，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 正方形（知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】正方形的定义 定义 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形 【知识点02】正方形的判定 （1）定义判定： 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形。 （2）从边的角度判定： 有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）从角的角度判定： 有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）·从对角线的角度判定 ①对角线相等的菱形是正方形 ②对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 ③对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形 【知识点03】正方形的性质 正方形是一种特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形，因此它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.总结如下: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是它的中心 是轴对称图形，有四条对称轴 边 对边平行 四条边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 （1）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （2）若正方形的边长为 ，则对角线长为 ，面积为 ． 【知识点04】 平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系与区别 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 【题型一】正方形的判定定理理解 例1．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知四边形中，，下列条件能使四边形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了正方形的判定， 根据已知条件可以判断四边形是矩形，则邻边相等的矩形是正方形或者对角线互相垂直的矩形是正方形；解答本题的关键是需要掌握矩形与正方形间的区别与联系． 【详解】解：已知四边形中， ， 四边形是矩形． A、当时，只能判定四边形是矩形，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误，不符合题意； B、矩形的四个角都是直角，则，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误，不符合题意； C、矩形的对边，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误，不符合题意； D、当矩形的对角线相互垂直，即时，该矩形是正方形，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 变式1．如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 【答案】正方形 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】本题考查四边形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 根据题意可知，阴影部分既要满足矩形的性质，又满足菱形的性质，从而得解； 【详解】解：当矩形的邻边相等时，矩形可称为是正方形；当菱形的邻边互相垂直时，所给菱形可称为正方形； 故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形， 所以阴影部分表示的四边形是正方形； 故答案为：正方形 变式2．（2023八年级下·上海·专题练习）已知在四边形中，与相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．，， B． C． D． 【答案】B 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】本题主要考查正方形的判定，根据判别一个四边形为正方形的方法逐一进行判定即可． 【详解】解：A、不能，对角线互相平分且一组邻边相等的四边形可判定为菱形，故本选项不符合题意． B、能，对角线互相平分且相等且一组邻边相等的四边形是正方形，可判定该四边形是正方形．故本选项符合题意． C、不能，根据平行线的性质和一组对角相等的四边形是平行四边形，可判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． D、不能，一组对边平行且相等，对角线相等可判定为矩形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【题型二】证明四边形是正方形 例2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知在四边形中，，对角线、交于点，且，则下列四个命题中真命题是（    ） A．若，则四边形一定是等腰梯形 B．若，则四边形一定是等腰梯形 C．若且，则四边形一定是正方形 D．若，则四边形一定是矩形 【答案】D 【知识点】判断命题真假、证明四边形是矩形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了命题和定理，等腰梯形，矩形，正方形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据四边形且对角线的条件，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：A：若，四边形可能是矩形（平行四边形对角线相等），不一定是等腰梯形，故A错误； B：若，可能通过全等三角形证明边相等，但若四边形为矩形时也满足条件，故B错误； C：若且，可构造等腰梯形满足条件（如对角线垂直且，但非正方形），故C错误； D：若，说明对角线被平分，结合，证明全等，并得到，四边形为平行四边形（对角线互相平分），结合，平行四边形对角线相等则为矩形，故D正确； 故选：D． 变式1．（22-23八年级下·上海黄浦·月考）如图，四边形是矩形，E是对角线上一点，且．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若F是对角线上一点，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、证明四边形是正方形、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）连接，由，则，然后证明，即可得到结论成立； （2）先证明，然后证明，即可得到结论成立． 【详解】（1）证明：连接，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵四边形是正方形 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行证明． 【题型三】添一个条件使四边形是正方形 例3．（24-25八年级下·上海松江·期末）已知矩形的对角线、交于点，下列条件中能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查正方形的判定定理，根据正方形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握正方形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、，矩形对角线互相平分，必然成立，无法判定正方形，故不符合题意； B、，矩形对角线相等且平分，故，此条件恒成立，无法判定正方形，故不符合题意； C、，说明对角线与垂直，矩形对角线若垂直则为正方形，符合判定条件，故符合题意； D、，矩形对角线本相等，此条件恒成立，无法判定正方形，故不符合题意； 故选：C． 变式1．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴和互相平分， ∵， ∴四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键． 变式2．如图，在矩形中，添加一个条件： ，可使四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，由正方形的判定方法直接求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， 四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型四】正方形性质理解 例4．在正方形中，，则正方形的周长为（   ） A．9 B．12 C． D．6 【答案】B 【知识点】正方形性质理解 【分析】本题考查正方形的周长计算．根据正方形的四条边长度相等，周长等于边长的4倍求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴正方形的每条边均为3， 所以，周长为， 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，是一个由8个单位正方形组成的图形，是其中一个小正方形的顶点． (1)过点画一条直线，将这个图形分割成面积为的两部分，画出这条直线，并求出该直线被这个图形所截得的线段长： (2)如果经过点的一条直线将这个图形分割成面积相等的两部分，画出这条直线． 【答案】(1)见解析，所截得的线段长为3 (2)见解析 【知识点】正方形性质理解、矩形性质理解 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． （1）过点A画一条竖直的直线即可，此时左边的正方形面积为3，右边的正方形面积为5，那么截得的线段长为3； （2）点A为上方正方形的对称中心，取出下方矩形的对称中心，根据正方形和矩形均是中心对称图形的性质，可得经过正方形和矩形对称中心的直线即可将该图形面积等分． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： 线段 （2）解：如图，直线即为所求： 【题型五】根据正方形的性质求角度 例5．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么 度． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题考查利用正方形的性质求角度，涉及对角线平分对角、等腰三角形的性质，熟记这些基本的几何图形判定及性质是解决问题的关键． 根据正方形的性质得，由，得，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 故答案为：． 变式1．正方形ABCD中，E为AB上一点，M，N分别在BC，AD上，CE＝MN，∠MCE＝35°，则∠ANM＝ ． 【答案】55°或125° 【知识点】根据正方形的性质求角度 【分析】分两种情况：∠ANM是锐角时，如图，过M作MG∥AB交AD于G，由题意易得∠NGM＝∠A＝∠B＝90°，且AB＝MG＝CD，然后可得，进而根据全等三角形的性质可求解；∠ANM是钝角时，如图，同理可求出∠MNG=55°，进而可得答案． 【详解】解：如图，当∠ANM是锐角时，过M作MG∥AB交AD于G， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠NGM＝∠A＝∠B＝90°，且AB＝MG＝CD， 在Rt△GMN和Rt△BCE中，， ∴， ∴∠ANM＝∠CEB， 又∵∠MCE＝35°， ∴∠CEB＝90°－35°＝55°， ∴∠ANM＝55°． 当∠ANM是钝角时，如图， 同理可求得∠MNG=55°， ∴∠ANM=125°； 故答案为55°或125°． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及正方形的性质是解题的关键． 变式2．如图，在正方形中，连接，延长至点E，使，连接，求的度数． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题考查利用正方形的性质求角度，涉及对角线平分对角、等腰三角形的性质，熟记这些基本的几何图形判定及性质是解决问题的关键．根据正方形的性质得，由，得，即可求解． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ， ∴． 【题型六】根据正方形的性质求线段长 例6．（24-25八年级下·上海·月考）正方形面积为16，正方形内一点P到的距离与到点A、B的距离都是d，则 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、点到直线的距离 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理、正方形的性质等知识，根据正方形的性质求出正方形的边长，在中，根据勾股定理构建关于d的方程求解即可． 【详解】解∶如图所示， ∵正方形面积为16， ∴正方形的边长为4，， ∵点P到的距离与到点A、B的距离都是d， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴，即， 解得． 故答案为∶． 变式1．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形的边长为2，对角线、交于点，为边上一点，如果，那么的长为 ． 【答案】/ 【知识点】根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，求出长是解题的关键． 由正方形的性质可求的长，可得，由线段关系可求解． 【详解】解：正方形的边长为， ， ， ， ， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点在边上，垂直平分线段，垂足为点，求的长． 【答案】的长为． 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 由正方形的性质，得出线段的长度，根据勾股定理可得线段之间的数量关系，再由线段垂直平分线的性质建立等量关系，即可求得的长． 【详解】解：∵在边长为的正方形中，点为边的中点， ∴，，， 如图，连接，，设，则， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ 答：的长为． 【题型七】根据正方形的性质求面积 例7．四边形不具稳定性，四条边长都确定的四边形．当内角的大小发生变化时．其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求面积、利用菱形的性质求面积 【分析】过D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积=AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AM=AD'，D'M=AM=AD'，然后求出菱形ABCD的面积=AB×D'M=AB2，即可求解． 【详解】解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示： 则∠D'MA=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积=AB2，AB=AD，∠BAD=90°， ∵∠DAD′=30°， ∴∠D'AM=90°-30°=60°， ∴∠AD'M=30°， ∴AM=AD'，D'M=AM=AD'， ∵四边形ABC′D′是菱形， ∴AB=AD'=AD，菱形ABCD的面积=AB×D'M=AB2， ∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比=， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和正方形的性质，证出D'M=AD'是解题的关键． 变式1．（22-23八年级下·上海徐汇·月考）如图所示，在一个大正方形中有两个小正方形，它们的面积分别为、，则 ．    【答案】 【知识点】根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】如图：设，由正方形的性质和勾股定理可得、，，则、可得；然后再说明，进而求得，最后代入计算即可． 【详解】解：如图：设， ∵正方形， ∴，, ∴，，， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，确定两小正方形的边长是解答本题的关键． 变式2．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，正方形边长为4，点E在边上一点（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．    (1)求证：； (2)连接、，如果的面积为，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)或，详见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积 【分析】（1）先证得，很容易证明全等，由此得出，进而可得结论； （2）根据三角形的面积求得，再根据勾股定理求得，根据（1）中即可得出结论； 【详解】（1）∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， （2）∵， ∴设， ∴， ∴的面积 ， ∴， 解得，，， ∴或，      【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系． 【题型八】正方形折叠问题 例8．（22-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．    【答案】/ 【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可证明，可得，，利用等积法求出，然后计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：．    【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 变式1．（22-23八年级下·上海浦东新·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】 【知识点】正方形折叠问题 【分析】利用轴对称的性质将边进行转化，再利用正方形的边长求解即可． 【详解】解：由轴对称可知： ∴阴影部分的周长为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了阴影部分的周长问题，解题关键是利用轴对称的性质进行边的转化． 【题型九】根据正方形的性质证明 例9．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，已知正方形的边长为，、分别是、边上的点，且，如果时，则的长为 ． 【答案】20 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】如图，延长到，使，连接，先证得，，再证≌得，从而得，，，在中，由勾股定理即可得解． 【详解】如图，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ≌， ， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 变式1．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上（如图）． (1)如果四边形是平行四边形，求证：； (2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定， 对于（1），连接，根据正方形的性质和平行四边形的性质得，，进而得，再根据“角角边”证明，可得答案； 对于（2），先根据正方形的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案. 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【题型十】根据正方形的性质与判定求线段长 例10．（24-25八年级下·上海金山·期中）如图，在中，，，．点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】5或2 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、折叠问题 【分析】本题考查勾股定理，折叠问题，正方形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】①当时，则在上，如图， ∵，，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴，即：； ②当，如图，则：， ∵翻折， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴； 故答案为：5或2． 变式1．（2023八年级下·上海杨浦·期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G． (1)求证：CG＝CE； (2)联结CF，求证：∠BFC＝45°； (3)如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）把CG和CE分别放在Rt△BCG和Rt△DCE中，说明它们全等即可得证； （2）联结CF，过点C作MC⊥CF交BG于M，说明△MCF为等腰三角形即可得证； （3）过点C作CN⊥BF于N，构造△CNG≌△DFG，即可求出DF＝NC，再利用线段和差即可求出EF的长． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE， ∵BF⊥DE， ∴∠E+∠CBG＝∠E+∠EDC， ∴∠CBG＝∠EDC， 在Rt△BCG与Rt△DCE中， ∴Rt△BCG≌Rt△DCE（ASA）， ∴CG＝CE． （2）作CM⊥CF交BF于点M， ∵△BCG≌△DCE， ∴∠E＝∠BGC， ∵∠MCG+∠FCG＝∠ECF+∠FCG＝90°， ∴∠MCG＝∠FCE， 在△MCG和△FCE中， ∴△MCG≌△FCE（ASA）， ∴MG＝FE，MC＝FC， ∴△MCF为等腰直角三角形， ∴∠BFC＝45°． （3）作CN⊥BF于点N， ∴△CNF为等腰直角三角形，CN＝NF， ∵G为CD中点，正方形ABCD的边长为2， ∴CG＝DG＝CE＝1， ∴BG＝DE＝＝， ∴BC•CG＝BG•CN， ∴CN＝＝＝， 在△CNG和△DFG中， ∴△CNG≌△DFG（AAS）， ∴DF＝CN＝， ∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，构造特殊三角形和三角形全等是解题的关键． 【题型十一】根据正方形的性质与判定证明 例11．（22-23八年级下·上海·期中）在正方形中，边长为，点是对角线上一点，，是射线上一点，联结，射线交直线于，当时， ． 【答案】4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质与判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】过点作于，过点作于，设交于，证明四边形是正方形，由，可得，即得，又，可得（ASA），得，，再由可得． 【详解】解：过点作于，交于点，过点作于，设交于，如图： 四边形是正方形，边长为， ，，，， ， ， 四边形是正方形， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 在与中 ∴（ASA） ∴ ∵ ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质及判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 变式1．（24-25八年级下·全国·期中）如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【知识点】根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，由正方形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形是正方形． 【详解】证明：∵正方形的对角线相交于点O， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， 四边形是正方形． 变式2．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且． （1）求证：； （2）在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： ①如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． ②如图3，在中，，，，，则的面积为____（直接写出结果，不需要写出计算过程） 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）①10；②15 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）因为ABCD为正方形，所以CB=CD，∠B=∠CDA=90°，又因为DF=BE，则△BCE≌△DCF，即可求证CE=CF； （2）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE≌△DCF，所以∠ECG=∠FCG，CE=CF，CG=CG，则△ECG≌△FCG，故GE=BE+GD成立； （3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长；②由题中条件，建立图形，根据已知条件，运用勾股定理，求出AD的长，再求得△ABC的面积． 【详解】解：（1）证明：在正方形ABCD中 CB=CD，∠B=∠CDA=90°， ∴∠CDF=∠B=90°． 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）． ∴CE=CF． （2）解：GE=BE+GD成立．理由如下： ∵∠BCD=90°，∠GCE=45°， ∴∠BCE+∠GCD=45°． ∵△BCE≌△DCF（已证）， ∴∠BCE=∠DCF． ∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°． ∴∠ECG=∠FCG=45°． 在△ECG和△FCG中， ， ∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE=FG． ∵FG=GD+DF， ∴GE=BE+GD． （3）①如图2，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G， 由（2）和题设知：DE=DG+BE， 设DG=x，则AD=12-x，DE=x+4， 在Rt△ADE中，由勾股定理，得： AD2+AE2=DE2 ∴（12-4）2+（12-x）2=（x+4）2 解得x=6． ∴DE=6+4=10； ②将△ABD沿着AB边折叠，使D与E重合，△ACD沿着AC边折叠，使D与G重合， 可得∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠GAC， ∴∠EAG=∠E=∠G=90°， AE=AG=AD， BD=EB=2， DC=CG=3， ∴四边形AEFG为正方形， 设正方形的边长为x， 可得BF=x-2，CF=x-3， 在Rt△BCF中， 根据勾股定理得： BF2+CF2=BC2， 即（x-2）2+（x-3）2=（2+3）2， 解得：x=6或x=-1（舍去）， ∴AD=6， 则S△ABC=BC•AD=15． 一、单选题 1．如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出，根据菱形的对角线平分一组对角可得，计算即可得解． 本题主要考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 正方形 的对角线. ， ∵四边形是菱形， ， 故选：D ． 2．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 3．如图，在正方形外侧作等边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由四边形是正方形，是正三角形，得到，，得是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 又是正三角形， ，， 是等腰三角形，， ． 故选：C． 4．如图，四边形是正方形，直线l是正方形的一条对称轴，E是边的中点，F是边的中点，点G在边上，且，则点E关于直线l的对称点可能是（　　） A．点C B．点D C．点F D．点G 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的对称性，利用数形结合思想解答是解题的关键．画出正方形的对称轴，根据图象即可判断求解． 【详解】如图，正方形有4条对称轴， 由图可知，E关于直线l的对称点可能是点， 故选：C． 5．已知四边形中，，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（    ） A． B． C． D．与互相平分 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定．正方形的判定方法有：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形． 【详解】解：∵， ∴四边形为矩形， 因此再添加条件：一组邻边相等或对角线互相垂直，即可判定四边形为正方形， ∴当或时，四边形为正方形， ∴四个选项中只有C选项符合题意． 故选：C． 6．如图，正方形的边长为，为边上一点与点、不重合，连接，交于点当是等腰三角形时，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当是等腰三角形时，存在两种情况：如图，当时，先计算的长，证明，可利的长，由线段的差可得的长；当时，与重合，此种情况不符合题意． 【详解】解：如图，当时， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ； 当时，与重合，此种情况不符合题意． 综上，的长是． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 7．如图，在正方形中，点、分别在，上，且，连接，，则下列结论中不一定正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方形的四边相等，四个角都是直角，且BF=CE，很容易证明△ABF≌△BCE，从而判断结论的正误． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∵， ∴△ABF≌△BCE， ∴， 故D正确； ∵△ABF≌△BCE， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴， 故C正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故B正确； 综上，B，C，D一定正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 8．如图正方形和正方形全等，把点A固定在正方形的中心，当正方形绕点A转动时，两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，AD与EH交于M，AB与GH交于N，连接AH，AG，根据正方形的性质得AG=AH，∠HAG=90°，∠AHM=∠AGN=45°，再利用等角的余角相等得到∠HAM=∠GAN，则可根据“ASA”判断△HAM≌△GAN，即S△HAM=S△ANG，原式得到S四边形AMHN=S正方形EFGH，然后根据正方形的面积公式求解． 【详解】解：如图，AD与EH交于M，AB与GH交于N，连接AH，AG， ∵点A为正方形EFGH的中心， ∴AG=AH，∠HAG=90°，∠AHM=∠AGN=45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAB=90°， ∴∠HAM=∠GAN， 在△HAM和△GAN中， ， ∴△HAM≌△GAN（ASA）， ∴S△HAM=S△GAN， ∴S四边形AMHN=S△HAM+S△AHN=S△AHN+S△ANG=S△AGH=S正方形EFGH=． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 二、填空题 9．如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件 ，使矩形成为正方形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是正方形的判定．有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，再根据正方形的判定方法分析即可． 【详解】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”， 可添加：； 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”， 可添加：； 故答案为：（答案不唯一） 10．如果把正方形 绕点 旋转得到正方形，点落在对角线上，点落在 的延长线上，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；根据旋转的性质以及正方形的性质可得，进而得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 11．如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查平行线的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理．过点C作，交于点E，交于点F，则有，结合正方形的性质得和，进一步可得，即可证，有，利用勾股定理求得，即可求得正方形的面积． 【详解】解：过点C作，交于点E，交于点F，如图， ∵直线，， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为5． 故答案为：5． 12．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：25． 13．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是 ． 【答案】25 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 14．如图，已知正方形和正方形顶点重合，点、、分别在边、、上，，将正方形绕着点旋转，点、分别落到点、，如果点、、在同一直线上时，那么线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识．分点在D、之间和点在D、之间两种情况，画出图形求解即可． 【详解】∵正方形和正方形顶点重合，， ∴，， ∴，． 如图，当点在D、之间时，连接，则， 由旋转的性质得四边形是正方形，， ∴ ∴ ∴． 如图，当点在D、之间时，连接，则， 同理可求，． 综上可知，线段的长为或． 故答案为：或． 15．如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握正方形与折叠的性质是解题的关键． 连接，先由勾股定理求出，再由折叠的性质可知：，，则，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∴正方形中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 16．如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质、正方形的性质是解题的关键． 延长、相交于M，先证明四边形是矩形，得到，，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长、相交于M， ∵正方形和正方形中，，， ∴，，，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，已知矩形，，，点是线段上一点，且不与、重合，沿折叠使点落在矩形某边所在直线上，则的长是 ． 【答案】或 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、正方形的判定、勾股定理等知识，应注意分类讨论，以免丢解．设点、点的对应点分别为点、点，由矩形的性质得，，，由折叠得，，，，再分两种情况讨论，一是点在的延长线上，可证明四边形是正方形，则；二是点在的延长线上，可证明，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设点、点的对应点分别为点、点， 四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得，，，， 当点在的延长线上，如图，则， 四边形是矩形， ， ， 四边形是正方形， ， ； 当点在的延长线上，如图， ， ， 由折叠得， ， ， ， ， 故答案为：或． 18．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 °． 【答案】或 【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图，图，两种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数． 【详解】解：是四边形的美丽线， 是等腰三角形． ， 如图，当时， ，， 是正三角形， ． ， ， ， ． 如图，当时， ． ， 四边形是正方形， ， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了四边形的“美丽线”的定义和性质的运用，“美丽线”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，矩形的性质与判定，正方形的性质和判定的运用，角的直角三角形的性质的运用． 三、解答题 19．已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形； 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，菱形的判定是解决问题的关键．连接交于点，先依据“”判定和全等得，进而依据“”判定和全等得，由此得，然后再根据，即可判定四边形是菱形． 【详解】证明：连接交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，，，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又，， 四边形是菱形． 20．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 【答案】(1) (2)面积不发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质； （1）先根据正方形的性质得到，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积； （2）先根据正方形的性质得到，，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积，于是判断四边形的面积不发生变化． 【详解】（1）解：如图1，四边形和四边形都为正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 故答案为：； （2）解：四边形的面积不发生变化． 理由如下： 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 即四边形的面积不发生变化． 21．如图，已知，对角线相交于点O，． (1)求证：是矩形； (2)请添加一个条件使矩形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的性质，等角对等边，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对角线互相平分可得，再证明，得到，则由对角线相等的平行四边形是矩形可证明结论； （2）根据有一组邻边相等的矩形是正方形求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为矩形； （2）解：添加条件，理由如下： ∵四边形是矩形，且， ∴矩形是正方形． 22．阅读理解题． 定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”． 如图，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫做“美妙线”，四边形就称为“美妙四边形”． 问题： (1)下列四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中是“美妙四边形”的有 个； (2)四边形是“美妙四边形”，，，，，当 是“美妙线”时，求四边形的面积（画出图形并写出解答过程）． 【答案】(1)2 (2)，见解析 【分析】本题考查新定义，菱形、正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，理解“美妙四边形”，“美妙线”的定义是解题的关键． （1）由四边形的性质可知：菱形和正方形的每条对角线平分一组对角，再结合“美妙四边形”的定义即可确定； （2）依题意作图，根据勾股定理在中求出，得到，证明，得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵菱形和正方形的每一条对角线平分一组对角， ∴菱形和正方形是“美妙四边形”． 故答案为：2； （2）解：如图， ∵，，， ∴在中，， ∴， ∵ 是“美妙线”， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)若点为中点，当______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定； （1）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）先证明四边形是菱形，进而可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，为中点， ， 四边形是菱形； 若四边形是正方形，则， 又四边形是菱形， ， ， ∴ 故答案为：． 24．如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)的长为或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，作于，于，则，四边形为矩形，证明，即可得解； （2）由正方形的性质可得，，，由点在边的延长线上可得为钝角，证明，得出，即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于，于；当点在的延长线上时，作于，延长交于；分别求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， ， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴如图所示，为钝角， ， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时，作于，于， ， 由（1）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴， 由（2）可得：， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 25．已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得当时，四边形为平行四边形，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得方程，进而求解即可； （3）由题意可分：当点P在边上，当点P在边上，即，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：当点P在边上，则有，所以， 在正方形中，， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在边上， ∴， ∴， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 由题意可分：当点P在边上，则有，所以，此时四边形是梯形， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在边上，即，则有，如图， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴与的面积之和也为正方形的面积的一半， ∴， 解得：； 综上所述：当时，四边形的面积等于正方形的面积的一半． 26．如图1，点E、F分别在正方形边、上，沿直线将正方形折叠．使点B的对应点G落在边上（点G不与点A、D重合），点C落在点H处，与交于点M，分别连接， (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若，点M为的中点，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质及角的等量代换，得到，根据正方形的性质即可得证； （2）过点B作于K，根据题意及正方形的性质，证明，，求出，即可解答； （3）根据题意及正方形的性质，求得，过点B作于K，设，则，根据勾股定理，列方程求出x，进而求出HF，设，，列方程求出y，即可解答． 【详解】（1）证明：沿直线将正方形折叠， ，， ， ， 即， 正方形， ， ， ． （2）解：如图，过点B作于K， 则， 正方形ABCD， ，， ，， 由（1）得， 又， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， ； （3）解：正方形， ， 点M为的中点， ， 如图，过点B作于K， 由(2)可知， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 设，， 在中，， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $