第12讲 反比例函数的概念（知识详解+5典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册同步讲义与测试

第12讲 反比例函数的概念（知识详解+5典例分析+习题巩固） 【知识点01】 反比例函数的概念 1. 定义 一般地，形如 的函数，叫做反比例函数。其中： x 是自变量，y 是 x 的函数； k 叫做比例系数，k≠0 是前提条件。 2. 三种等价形式（必考） 1.分式形式： 2.负指数形式： 3.乘积形式： 3. 自变量与函数值的取值范围 自变量 x：x≠0（分母不能为0，这是反比例函数的隐含条件）； 函数值 y：y≠0（由 k≠0、x≠0 可推导得出）。 4. 反比例关系与反比例函数的区别 反比例关系：两个变量的乘积为非零常数，即 ，仅强调两个变量的数量关系，不要求是函数关系； 反比例函数：是函数，必须满足“一个自变量 x 对应唯一的函数值 y”，解析式严格符合 的形式。 【题型一】用反比例函数描述数量关系 例1．（24-25八年级·上海·期中）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【答案】C 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系． 【详解】解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系,故A错误； B、等边三角形的面积与它的边长不成反比例关系；故B错误； C、货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x成反比例关系；故C正确； D、长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b不成反比例关系；故D错误. 故选：C 变式1．（22-23八年级下·上海浦东新·月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为____________． 【答案】 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】根据一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”，即可得到答案． 【详解】解：一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”， 函数图像的“雁点”坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标系的新定义问题，理解“雁点”的定义，是解题的关键． 变式2．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【答案】(1)15000（米） (2)挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小 (3)，与成反比例关系 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，反比例函数，利用表格中的数量关系得到函数关系式是解题的关键； （1）利用表格中的数据解答即可； （2）观察表格中的数解答即可； （3）利用（1）和（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：该隧道全长（米）； （2）解：挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小； （3）解：，则，与成反比例关系． 【题型二】根据定义判断是否是反比例函数 例2．（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 反比例函数的定义是（k为常数），判断各选项是否符合此形式． 【详解】解：∵ 反比例函数的标准形式为， 选项A：，为一次函数，不符合； 选项B：，为正比例函数，不符合； 选项C：，为y与成反比，不符合； 选项D：，符合形式，其中； 故选：D． 例3．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 例4．（25-26八年级下·上海·课后作业）列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． (1)某农场的粮食总产量为，则该农场人数x（人）与平均每人占有粮食产量的函数关系式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量的函数关系式． 【答案】(1)，是 (2)，不是 【知识点】函数解析式、根据定义判断是否是反比例函数 【详解】（1）解：由题意得，，是反比例函数； （2）由题意得，，不是反比例函数． 变式1．（22-23八年级上·上海·期中）下列关系式中的两个量成反比例的是（   ） A．路程一定时，速度与时间 B．正方形的周长与它的边长 C．圆的面积与它的半径 D．长方形一条边确定时，周长与另一边 【答案】A 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数，根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：A、路程s一定时，速度v和时间t的关系，是反比例函数，故本选项符合题意； B、正方形的周长=边长，不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、圆的面积半径2，不是反比例函数，故本选项不符合题意； D、长方形一条a边确定时，周长s与另一边b的关系，不是反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：A． 变式2．在函数中，y是x的________函数，其中比例系数为________． 【答案】 反比例 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：在函数中，y是x的反比例函数，其中比例系数为． 故答案为：反比例；． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 变式3．（24-25八年级下·上海·课后作业）下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)是， (3)不是 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键： （1）易得，不是反比例函数； （2）易得，是反比例函数，， （3）易得，不是反比例函数． 【详解】（1）解：不是； ∵， ∴，不是反比例函数； （2）是； ∵， ∴ ∴； （3）不是； ∵， ∴，不是反比例函数； 【题型三】根据反比例函数的定义求参数 例5．如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式中得到一元一次方程并求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是解题关键． 例6．（24-25八年级上·上海·期中）若是反比例函数，则的值为________． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了反比例函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握反比例函数的解析式是解题的关键．根据反比例函数的定义可得且，求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， 且， 解得， 故答案为：． 例7．若函数是反比例函数，试求的值． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数的两种形式：和，由此需同时满足两个条件：自变量的指数为，且系数不为，据此列式求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解，得； 当时，，满足系数不为的条件； 当时，； 故答案为：． 变式1．反比例函数中的常数k为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握“形如的函数是反比例函数”是解题的关键． 根据定义直接求解即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 变式2．在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为________． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的定义，找出经过反比例函数图像的点是解题的关键．因为三点在三个不同象限，所以反比例函数经过两点，，待定系数法求反比例函数解析式即可． 【详解】解：点， ，，分别在三个不同的象限，点在第一象限，点在第二象限， ∴点一定在第四象限， ∵反比例函数的图像经过其中两点， ∴反比例函数的图像经过，， ， ． 故答案为：． 变式3．已知： (1)化简P； (2)若函数为反比例函数，求P的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、分式化简求值 【分析】（1）根据分式的四则运算法则化简即可； （2）由反比例函数的定义得出，将其代入（1）中结果即可． 【详解】（1）解： （2）∵为反比例函数， ∴，将其代入（1）得： ． 【点睛】题目主要考查分式的化简求值，反比例函数的定义，熟练掌握相关的运算法则是解题关键． 【题型四】求反比例函数值 例8．（24-25八年级上·上海·单元测试）下列点不在y= 的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数值 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征分别对各个选项进行判断即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 【详解】解：A、当时，， 点，在的图象上； B、当时，， 点，在的图象上； C、当时，，无意义， 点不在的图象上； D、当时，， 点在的图象上； 故选：C． 例9．（2024八年级·上海青浦·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）呈反比例，其函数关系式为．如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数为______． 【答案】300 【知识点】求反比例函数值 【分析】将焦距代入函数关系式求解即可． 【详解】解：将焦距代入中，得， 故答案为：300． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单． 例10．（22-23八年级·上海闵行·期中）已知反比例函数的图像经过点． (1)求的值； (2)当且时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当且时，或 【知识点】求反比例函数值 【分析】（1）将点代入反比例函数即可求解； （2）根据反比例函数的图像可知，反比函数图像在第二象限和第四象限，由且即可求出图像位置，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴． （2）解：反比例函数的图像如图所示， 当且时，在第二象限：或在第四象限：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的特点是解题的关键． 变式1．下列选项中的四个点，在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据“反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的积等于比例系数k，”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，故符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 变式2．已知点，在反比例函数y＝的图象上，则________． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入函数解析式求出常数，再代入点求解． 【详解】解：点在反比例函数y＝的图象上， ， 解得：， 反比例函数的解析式是， 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 变式3．若分式方程的解为，试判断点和点是否在反比例函数的图像上． 【答案】点不在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上 【知识点】求反比例函数值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】解分式方程得出的值，将其带入点和点，得出两点的坐标，再验证两点坐标是否在反比例函数上即可得出答案． 【详解】解：由题，解方程 去分母，得，即，解得， 经检验是原分式方程的解， ∴ ∵反比例函数， ∴ ∵， ∴， ∴点不在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上． 【点睛】本题考查解分式方程，以及判断坐标系中点是否在反比例函数上，熟练掌握解分式方程的步骤，尤其注意检验是本题解题关键． 【题型五】由反比例函数值求自变量 例11．（22-23八年级下·上海嘉定）以下选项中的各点，不在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】分别计算出四点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：由题意得：， A.，不符合条件； B.，不符合条件； C.，符合条件； D. ，不符合条件； 故选C． 【点睛】本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断是解此题的关键． 例12．（24-25八年级上·上海杨浦·月考）在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为，且以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点、、、、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则_______，_____________________． 【答案】 5 【知识点】由反比例函数值求自变量、点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，即可求出，，，进而求出． 【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、， ∴， ， ， ∴ ． 故答案为：；． 例13．（23-24八年级下·上海·课后作业）已知反比例函数． (1)说出比例系数． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 【答案】(1)比例系数是 (2) (3) 【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数值、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】（1）根据反比例函数的定义可进行求解； （2）把代入函数解析式进行求解即可； （3）把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由反比例函数可知比例系数为； （2）解：把代入得：； （3）解：把代入得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 变式1．若反比例函数的图象经过点，则a的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】把点的坐标代入函数解析式，解方程即可． 【详解】解：把代入，得， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，解题关键是明确反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式． 变式2．（22-23八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，若将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，已知点，连接、，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】3 【知识点】利用平移的性质求解、由反比例函数值求自变量 【分析】如图，过作于，由将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，可得，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平移的性质，反比例函数图象的性质，理解题意确定是解本题的关键． 变式3．平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点 根据定义，解答下列问题： (1)点的“可控变点”为点________． (2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________． (3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或． 【知识点】由反比例函数值求自变量、点坐标规律探索 【分析】（1）依据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点； （2）依据变化规律可得每四次变化出现一次循环，即可得到当点的坐标为，则点的坐标为； （3）由题意知，点M在上，设，当时，的“可控变点”坐标为：，当时，的“可控变点”坐标为：，再结合反比例函数的特点解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴根据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点， （2）当时，点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点，…， 故每四次变化出现一次循环； 当时， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点，…， 故每四次变化出现一次循环； ∵， ∴当点的坐标为，则点的坐标为． （3）由题意知，点M在上，设， 当时，的“可控变点”坐标为：， ∵点是函数图象上点的“可控变点”， ∴，则， ∴， 当时，的“可控变点”坐标为：， ∵点是函数图象上点的“可控变点”， ∴，则， 此时， ∴ 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的理解，坐标变换，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要根据点的坐标变化规律进行判断． 一、单选题 1．下面几组量不成反比例的是（　　） A．路程一定，时间和速度 B．长方形面积一定，长和宽 C．圆周长一定，圆的直径和圆周率 D．比的前项一定，比的后项和比值 【答案】C 【分析】根据两个变量之积为定值时，两个变量成反比例，进行判断即可． 【详解】A、路程等于速度乘以时间，路程一定，时间和速度成反比例关系，故此选项不符合题意； B、长方形面积一定，长和宽成反比例关系，故此选项不符合题意； C、圆的周长，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项符合题意； D、比的前项一定，比的后项和比值成反比例关系，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查判断两个变量是否成反比例．熟练掌握两个变量之积为定值时，两个变量成反比例，是解题的关键． 2．下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：（1）不符合反比例函数的形式，是正比例函数； （2）可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数； （3）因为，所以，，可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数； （4）可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数； （5）不符合反比例函数的形式，不是反比例函数； （6）不符合反比例函数的形式，不是反比例函数． 综上所述，是反比例函数的为（2）（3）（4）共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义（形如的函数叫做反比例函数），牢记反比例函数的定义是解题的关键． 3．下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（    ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了． 【详解】解：A、， B、， C、， D、， ∴不在这个函数图像上的点是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 4．已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．将根据题意可得：，求出，即可求． 【详解】解：，是反比例函数的图象上两点， 或 解得：或或， ， ， ， 故选：C． 5．如图，已知点在双曲线上，动点P在y轴正半轴上，将点A绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为B，若点B恰好落在双曲线上，则点P的坐标为(    ) A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】先把代入反比例函数求出的值，分别过、两点作轴的垂线，，由旋转的性质证明，再设，即可得出的坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的积即相等，列方程求的值，确定点坐标． 【详解】解：分别过、两点作轴，轴，垂足为、， 是双曲线上一点， ， 反比例函数的解析式为， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， 设， , , ， 点在双曲线上， ，解得或， 或． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数图象的性质是解答此题的关键． 二、填空题 6．反比例函数 的图象经过点 ，则a＝____． 【答案】3 【分析】将点 代入反比例函数，然后解关于 的方程即可． 【详解】解： 反比例函数 的图象经过点 点 满足反比例函数 解得， 故答案是：3． 【点睛】本题考查反比例函数上点的坐标，熟练掌握根据函数解析式求点的坐标是解题的关键． 7．已知点在反比例函数的图像上，则k的值是____________． 【答案】15 【分析】将点的坐标直接代入反比例函数计算即可． 【详解】解：点在反比例函数图像上， ； 故答案为：15． 【点睛】此题考查了反比例函数图像上点的特点，熟练掌握函数图像上各点的坐标一定满足该函数的解析式是解答此题的关键． 8．若函数是反比例函数，则m的值为________． 【答案】1 【分析】根据反比例函数的定义可得关于m的方程，解方程结合解答即可． 【详解】解：由题意，可得：，则或， ∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义和一元二次方程的求解，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键． 9．若y＝是反比例函数，则m=________． 【答案】-3 【分析】根据反比例函数的定义，由 且 ，即可求出 m的值． 【详解】由题意得 ： 且 ， 解之得 ：． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正确的列出方程是解题的关键．特别要注意不要忽略k≠0这个条件． 10．若点和点都在同一个反比例函数的图像上，则n的值为______． 【答案】 【分析】利用反比例函数可将点代入特性得到方程计算即可． 【详解】设点和点都在同一个反比例函数的图像上， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的性质，可将点横纵坐标代入解析式．正确的计算是解题的关键． 11．已知y与成反比例，并且当x＝3时，y＝4．则y与x之间的函数解析式为______． 【答案】 【分析】设，把，代入，求出k的值即可得y与x之间的函数解析式. 【详解】设，把，代入得 得 ∴y与x之间的函数解析式为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求函数的表达式，解题的关键是把看成自变量，关系式要设正确. 12．已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，图像为双曲线，图像上点的横、纵坐标的积是定值．根据题意可得，，，，由可得，再将所求的式子展开即可求解． 【详解】解：，两点都在反比例函数的图象上， ，，，， ， ， ， 故答案为：． 13．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是__________ ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则或； ③若点在双曲线的图像上，则关于x的方程是倍根方程 【答案】①②③ 【分析】①根据倍根方程定义即可得到方程x2+3x+2=0是倍根方程；②根据倍根方程的定义得到x1，x2，化简可得结论；③根据已知条件得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得到方程的根； 【详解】解：①x2-3x+2=0， （x-1）（x-2）=0， x1=1，x2=2， ∴方程x2-3x+2=0是倍根方程； 故①正确； ②解方程（x-2）（mx-n）=0， 得：x1=2，x2=， ∵（x-2）（mx-n）=0是倍根方程， ∴2=或4=， 即m=n或n=4m， 故②正确； ③∵点（p，q）在反比例函数y=的图象上， ∴pq=2， 解方程px2+3x+q=0得：x1= ，x2= ， ∴x2=2x1， 故③正确； 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 14．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当时，△ABC的周长是______． 【答案】/ 【分析】根据点A在反比例函数（）上，轴，求得OC的长度，再根据垂直平分线的性质得到，将△的周长转化为即可． 【详解】解：∵点A在反比例函数（）上，轴 ∴ ∵ ∴ ∵的垂直平分线交轴于点 ∴ ∴△的周长= 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 15．观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，先分别求解，，，，，…，，再代入计算即可． 【详解】解：∵直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，， ∴，，，，，…，， ∴ ． 故答案为： 三、解答题 16．平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 17．已知． (1)化简； (2)若点在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整式的乘法展开，再合并同类项解题即可； （2）可以先求出，然后代入求出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵在反比例函数的图象上， ∴ 当时，． 【点睛】本题考查整式的乘法的化简求值，反比函数的性质，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 18．用解析式表示下列函数． （1）三角形的面积是，它的一边a（单位：）是这边上的高h（单位：）的函数； （2）圆锥的体积是，它的高h（单位：）是底面面积S（单位：）的函数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形的面积公式写出解析式即可； （2）根据圆锥的体积公式写出解析式即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了反比例函数表达式，掌握相关公式以及函数知识是解题的关键． 19．列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． (1)某农场的粮食总产量为，则该农场人数x（人）与平均每人占有粮食产量的函数关系式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量的函数关系式． 【答案】(1)，是 (2)，不是 【详解】（1）解：由题意得，，是反比例函数； （2）由题意得，，不是反比例函数． 20．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 (3) 【分析】本题考查列函数关系式，判断是否是反比例函数，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据每天的数量乘以天数等于总量，列出函数关系式，进行判断即可； （2）根据菱形的面积公式，列出函数关系式，进行判断即可； （3）根据路程等于速度乘以时间，列出函数关系式，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，是反比例函数； （2）由题意，得：； ∴，是反比例函数； （3）由题意，得：；不是反比例函数． 21．若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若点在反比例函数的图像上，证明：关于的方程是“倍根方程”． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程根据与系数的关系，根的判别式，求根公式的运用，反比例函数的运用，理解并掌握一元二次方程中根据与系数的关系，求根公式的运算，反比例函数的运用是解题的关键． （1）设一元二次方程的一个根为，则另一个根为，运用根与系数的关系列式求解即可； （2）根据材料提示的“倍根方程”的定义，结合方程可得，，分类讨论即可求解； （3）将带入中，得，运用求根公式可得关于的方程的两个根据，再结合“倍根方程”的定义即可求解． 【详解】（1）解：设一元二次方程的一个根为，则另一个根为， ∴由根与系数的关系得，， 解得，，即一个根为1，另一个根为2， ∴． （2）解：， ，， 当时，，原式， 当时，，原式． （3）解：将带入中，得，关于的方程， ， ， ，， ， 是倍根方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 反比例函数的概念（知识详解+5典例分析+习题巩固） 【知识点01】 反比例函数的概念 1. 定义 一般地，形如 的函数，叫做反比例函数。其中： x 是自变量，y 是 x 的函数； k 叫做比例系数，k≠0 是前提条件。 2. 三种等价形式（必考） 1.分式形式： 2.负指数形式： 3.乘积形式： 3. 自变量与函数值的取值范围 自变量 x：x≠0（分母不能为0，这是反比例函数的隐含条件）； 函数值 y：y≠0（由 k≠0、x≠0 可推导得出）。 4. 反比例关系与反比例函数的区别 反比例关系：两个变量的乘积为非零常数，即 ，仅强调两个变量的数量关系，不要求是函数关系； 反比例函数：是函数，必须满足“一个自变量 x 对应唯一的函数值 y”，解析式严格符合 的形式。 【题型一】用反比例函数描述数量关系 例1．（24-25八年级·上海·期中）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 变式1．（22-23八年级下·上海浦东新·月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为____________． 变式2．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【题型二】根据定义判断是否是反比例函数 例2．（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 例4．（25-26八年级下·上海·课后作业）列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． (1)某农场的粮食总产量为，则该农场人数x（人）与平均每人占有粮食产量的函数关系式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量的函数关系式． 变式1．（22-23八年级上·上海·期中）下列关系式中的两个量成反比例的是（   ） A．路程一定时，速度与时间 B．正方形的周长与它的边长 C．圆的面积与它的半径 D．长方形一条边确定时，周长与另一边 变式2．在函数中，y是x的________函数，其中比例系数为________． 变式3．（24-25八年级下·上海·课后作业）下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． (1)； (2)； (3)． 【题型三】根据反比例函数的定义求参数 例5．如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（    ） A．1 B． C． D．3 例6．（24-25八年级上·上海·期中）若是反比例函数，则的值为________． 例7．若函数是反比例函数，试求的值． 变式1．反比例函数中的常数k为（    ） A． B．2 C． D． 变式2．在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为________． 变式3．已知： (1)化简P； (2)若函数为反比例函数，求P的值． 【题型四】求反比例函数值 例8．（24-25八年级上·上海·单元测试）下列点不在y= 的图象上的是（　　） A． B． C． D． 例9．（2024八年级·上海青浦·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）呈反比例，其函数关系式为．如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数为______． 例10．（22-23八年级·上海闵行·期中）已知反比例函数的图像经过点． (1)求的值； (2)当且时，直接写出的取值范围． 变式1．下列选项中的四个点，在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 变式2．已知点，在反比例函数y＝的图象上，则________． 变式3．若分式方程的解为，试判断点和点是否在反比例函数的图像上． 【题型五】由反比例函数值求自变量 例11．（22-23八年级下·上海嘉定）以下选项中的各点，不在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 例12．（24-25八年级上·上海杨浦·月考）在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为，且以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点、、、、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则_______，_____________________． 例13．（23-24八年级下·上海·课后作业）已知反比例函数． (1)说出比例系数． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 变式1．若反比例函数的图象经过点，则a的值为（    ）． A． B． C． D． 变式2．（22-23八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，若将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，已知点，连接、，则图中阴影部分的面积为_________． 变式3．平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点 根据定义，解答下列问题： (1)点的“可控变点”为点________． (2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________． (3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标． 一、单选题 1．下面几组量不成反比例的是（　　） A．路程一定，时间和速度 B．长方形面积一定，长和宽 C．圆周长一定，圆的直径和圆周率 D．比的前项一定，比的后项和比值 2．下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（    ） A． B．， C． D． 4．已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知点在双曲线上，动点P在y轴正半轴上，将点A绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为B，若点B恰好落在双曲线上，则点P的坐标为(    ) A． B．或 C．或 D．或 二、填空题 6．反比例函数 的图象经过点 ，则a＝____． 7．已知点在反比例函数的图像上，则k的值是____________． 8．若函数是反比例函数，则m的值为________． 9．若y＝是反比例函数，则m=________． 10．若点和点都在同一个反比例函数的图像上，则n的值为______． 11．已知y与成反比例，并且当x＝3时，y＝4．则y与x之间的函数解析式为______． 12．已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为__________． 13．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是__________ ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则或； ③若点在双曲线的图像上，则关于x的方程是倍根方程 14．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当时，△ABC的周长是______． 15．观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，，则______． 三、解答题 16．平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 17．已知． (1)化简； (2)若点在反比例函数的图象上，求的值． 18．用解析式表示下列函数． （1）三角形的面积是，它的一边a（单位：）是这边上的高h（单位：）的函数； （2）圆锥的体积是，它的高h（单位：）是底面面积S（单位：）的函数． 19．列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． (1)某农场的粮食总产量为，则该农场人数x（人）与平均每人占有粮食产量的函数关系式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量的函数关系式． 20．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 21．若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若点在反比例函数的图像上，证明：关于的方程是“倍根方程”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $