山东省泰安市2026年中考数学一轮复习方程与不等式专题---一元二次方程检测卷

山东省泰安市2026年中考一轮复习方程与不等式专题---一元二次方程检测卷 一、单选题 1．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．方程的根是（   ） A． B． C． D． 4．已知是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．12 B． C．4 D． 5．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 6．方程的解是（　　） A． B． C． D． 7．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 9．若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 11．已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A．1 B． C． D． 12．对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（    ） A． B．20 C．202 D．2025 13．冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 14．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 15．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A．且 B．且 C． D． 16．若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 二、填空题 17．某款芯片价格由2023年的元下降到年的元，设该芯片价格这两年平均每年下降的百分率为，则根据题意可列方程为 ． 18．一元二次方程的解为 ． 19．关于的一元二次方程的根的情况是 ． 20．关于的一元二次方程的两实根满足，则 ． 21．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 22．若关于的方程有实数根，化简 ． 三、解答题 23．解方程： (1)； (2)． 24．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 25．某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 26．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 27．某超市将进价为20元的娃娃以32元卖出时，发现月销售量可达到220件，已知该商品每提高2元，其销售量可以降低10件． (1)若每件娃娃的利润率达到，那这批娃娃月利润可以达到多少？ (2)若想要这批娃娃的利润达到3420元且让利于顾客，则每件商品的售价应定为多少元？ 28．邹城某草莓种植园要用围栏围成矩形种植区域，现有一面长度为18米的温室墙体（图中灰色部分）可以利用，另外还有长32米的围栏可供搭建使用． (1)如图1，若要用长32米的围栏围成矩形种植区域的三面，和，当围成的矩形种植区域的面积为时，求与墙平行的边的长度； (2)如图2，若要用长32米的围栏，先围成矩形种植区域的三面，和，再将矩形种植区域隔成3个小矩形种植区域用来种植不同品种的草莓，此时矩形种植区域的面积最大能达到多少？（忽略围栏所占面积） 29．根据背景素材，探索解决问题． 背景 某公司的一种商品，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件，设商品的售价为x（，且x为整数）元． 问题解决 任务1 当元时，该种商品的销售量为 件． 任务2 公司销售这批商品获利12000元时，这种商品每件售价是多少？ 任务3 当售价为多少时，销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 任务4 若该种商品的销售得到当地政府的支持，公司每销售一件商品政府补贴给公司n元（n为正整数）．公司发现当售价为70时，利润最大，则n为 ． （利润销售利润补贴） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：A.是一元一次方程，不符合定义，故不符合题意； B.只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，故符合题意； C.是二元一次方程，不符合定义，故不符合题意； D.是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或， 解得或， ∴新方程的解为，． 故选：B． 3．A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即两根之积为；根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之积即可. 【详解】解：∵方程中，， ∴. 故选：B. 5．C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 【详解】解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 先移项，再根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴方程的解为． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，将方程化为一般形式后确定、、的值． 【详解】解：∵原方程为，移项得， ∴，，． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为，且二次项系数不为，列方程求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 由得或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， ． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限，根据一元二次方程根的情况求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用一元二次方程根与系数的关系判断出m和n的符号，从而确定点所在象限． 【详解】解：设方程的两个实数根为，，且，， 则，，， 所以，， 所以的横坐标为正，纵坐标为负，该点位于第四象限， 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相同为x，分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程． 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． 11．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根分别为和， ∴， 故选：C． 12．A 【分析】本题考查了实数的运算和一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．根据题意得到关于的一元二次方程，然后求得根的判别式的值，再根据有两个不相等的实数，满足，求出的取值范围，再选择即可． 【详解】解：， ， 整理得， 有两个不相等的实数，满足， ，且， ，且， 只有选项A符合， 故选：A ． 13．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以的平方，即可作答． 【详解】解：∵初始患病人数为1， ∴第一轮传染后，患病人数为 ∴第二轮传染时，有人，每人传染x人， ∴ 新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为， 又∵ 两轮后共有16人患流感， ∴， 故选：A 14．C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，完全平方公式的应用， 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定参数a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵ ∴ 即， 与比较，得, ， ∴． 故选：C． 15．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，列出关于k的不等式组，求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 即k的取值范围是． 故选：B． 16．A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 17． 【分析】本题考查一元二次方程的应用——平均变化率问题，关键是掌握平均下降率的数学模型：若初始量为，平均每年下降的百分率为，经过年后的量为，则可列方程．本题中，初始价格为元，经过2年价格变为元，，代入模型即可列出方程． 【详解】解：∵年芯片价格为元，平均每年下降的百分率为， ∴年芯片价格为元， ∴可列方程为． 故答案为：． 18．， 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过因式分解法求解一元二次方程，先将方程右边进行因式分解，然后移项并提取公因式，最后转化为两个一次方程求解． 【详解】解：方程可变形为， ， ， ， 所以或， 解得，． 故答案为：，． 19． 有实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是正确计算判别式并判断其符号．先确定一元二次方程的系数a，b，c；再代入根的判别式公式进行计算；最后根据的符号判断根的情况． 【详解】解：对于方程， ，，， ， ． 故该一元二次方程有实数根． 故答案为：有实数根． 20． 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系表示两根和与积，代入给定条件得到关于m的方程，解方程并检验判别式确保实根． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实根满足，． ∵， ∴， ∴， 解得或． 又∵原方程有实根， ∴判别式， 解得． ∴， 故答案为． 21． 【分析】本题考查了一元二次方程的根和代数式的值，根据方程根的定义，将代入方程得到，然后将代数式 变形为，整体代入求值，理解一元二次方程的根的定义，利用整体法代入求值是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，绝对值的化简，利用二次根式的性质化简，完全平方公式，解题关键是利用判别式确定的范围，然后根据范围化简绝对值．根据方程有实数根的条件，利用判别式求出的取值范围，再根据的范围结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：关于的方程有实数根， ∴ ， ， ， ，， 原式． 故答案为：2． 23．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 24．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，代入得，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； （2）解：由题意得：， ， ， ． 25．(1) 二、三这两个月的销售量月平均增长率为； (2) 该商品售价定为元时，商场当月获利元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意即可得出关于x的一元二次方程，进行计算即可得； （2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，根据总利润每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为元． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为； （2）解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，三月的销售量是， 当月的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得，， 又∵要尽可能让利顾客，赢得市场， ∴， 答：该商品售价定为元时，商场当月获利元． 26．(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，因式分解法解一元二次方程，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）解：∵是方程的一个根， ， 代入， 整理得， 解得，， ， ． 27．(1)1920元 (2)38元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，审清题意、正确列出方程是解题的关键． （1）设提高元，则售价为元，销量为元，再根据每件娃娃的利润率达到列出方程求得，降价4元；再求得售价和销量，进而求得月利润； （2）由题意可得：单件利润，销量，再根据这批娃娃的利润达到3420元列一元二次方程求解即可解答． 【详解】（1）解：设提高元，则售价为元，销量为件， 由题意可得：，解得：． ∴，即降价4元， ∴售价元，此时销量为件．单件利润 元． ∴月利润元． （2）解：由题意可得：单件利润，销量为件， 利润， 化简得：，解得：． 所以，售价或 ，因要让利于顾客，故销售价应取38元． 28．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设围栏的长为，则的长为，根据题意列出方程并求解； （2）设围栏的长为，则的长为，表示出矩形的面积，用配方法解题即可. 【详解】（1）解：设围栏的长为，则的长为， 则有， 解得：或， 或， ， ∴与墙平行的边的长度为； （2）解：设围栏的长为，则的长为， 由题意可得：且， 解得， ，其中， ∴当时，有最大值为. 29．任务1：600；任务2：70或80元；任务3：售价为75元，有最大值，最大值为12500元；任务4：10 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式，并利用二次函数的性质得出最值． 任务1：根据题意列式计算即可； 任务2：设这种商品每件售价是元，根据等量关系“利润（售价进价） 销量”列出一元二次方程，解之可得． 任务3：设当售价为元时，该商店销售这种商品每天获得的利润为元，根据与任务2中相同的关系列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值． 任务4：根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】任务1：当元时，该种商品的销售量为件， 故答案为：600； 任务2：设这种商品每件售价是元， 根据题意，得， 解方程得：或， 即当每件的销售价为70或80元时，销售该商品每天能获得利润12000元； 任务3：设当售价为元时，该商店销售这种商品每天获得的利润为元， 由题意得： ∵，， ∴该函数图象为开口向下的抛物线，在对称轴处取得最大值， ∴每件销售价为75元时，获得最大利润；最大利润为12500元． 任务4：根据题意可得此时 ， ∵当销售价为70元时，利润最大， ∴， 解得：， 故答案为：10． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $