专题09分式及其基本性质题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题09分式及其基本性质题型突破讲义 基础 过关题 1.分式的判断 2.分式无意义的条件 3.分式有意义的条件 4.分式值为零的条件 5.分式的约分 6.最简分式的判断 能力 提升题 7.分式的求值 8.判断分式变形是否正确 9.求分式变形成立的条件 10.利用性质判断分式值变化 11.分子分母最高次项为正数 12.分子分母各项系数化为整数 拓展 拔高题 13.分式的规律性问题 14.按要求构造分式 15.求分式值为正负数时未知数的取值范围 16.求使分式值为整数时未知数的整数解 一、分式的概念（核心定义） 1.分式定义:形如 的式子，其中： A、B 是整式 B 中含有字母这样的代数式叫做分式。 2.分式有意义的条件:分母 B0。 3.分式值为 0 的条件:（两个条件同时满足，缺一不可） 二、分式的基本性质（重中之重） 1.基本性质内容:分式的分子与分母同乘（或同除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 2.字母表示: , (C0) 3.关键注意 乘除的整式 C 不能为 0 性质是约分、通分、符号变形的依据 三、分式的符号法则（高频考点） 分式、分子、分母中，同时改变其中任意两个的符号，分式的值不变： ​ 四、约分（化简分式） 1.约分依据：分式基本性质 2.步骤 把分子、分母分别分解因式 约去分子、分母的公因式 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 五、通分 1.通分依据：分式基本性质 2.目的：把几个异分母分式化为同分母分式 3.关键：找最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积） 六、易错点（必须牢记） 1.判断分式只看分母是否含字母，与分子无关。 2.分式值为 0：分子 = 0 且 分母≠0，只让分子 = 0 必错。 3.运用基本性质时，乘除的式子不能为 0。 4.分数线兼有括号作用，分子分母是多项式时，约分要先因式分解，不能直接 “拆项”。 【题型1.分式的判断】 1．下列式子中属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，理解分式成立的条件是解答的关键． 分式的定义：如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不属于分式，故本选项不符合题意； B、不属于分式，故本选项不符合题意； C、不属于分式，故本选项不符合题意； D、属于分式，故本选项符合题意； 故选：D 2．下列各式中：，，，，0，，，其中分式共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查分式的判断，根据分式的定义，形如，中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【详解】解：，，，，0，，中，分式有，，共3个； 故答案为：3． 3．下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x＝2时，分式的值为零 B．代数式是整式 C．无论x为何值，分式的值都不可能为整数 D．无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】根据分式的定义，形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式和分式有意义的条件、分式值的情况判断即可； 【详解】当x＝2时，，分式无意义，故A错误； 代数式是分式，故B错误； 当时，分式的值是1，故C错误； ∵， ∴无论x为何值，的值总为正数，故D正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值的判断，准确分析是解题的关键． 【题型2.分式无意义的条件】 4．当取 值时，分式没有意义 【答案】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式无意义的条件是分母为零，据此解答即可． 【详解】解：当分母时，分式没有意义， 即， 解得， 故答案为：． 5．当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（    ） A． B． C．x D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分母为零分式无意义可得结论． 【详解】解：当，，， ∴括号里的代数式可能是． 故选：B． 6．已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查分式，负整指数幂，根据当时，分式无意义，即分母为0，求出b值；当时，分式的值为0，求出a值，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，是解题的关键． 【详解】解：由题意知：当时，分式无意义， ， ， 当时，分式的值为0， ， 解得：， ， 故答案为：． 解答题 7．已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 【答案】5 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，分式无意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分母为是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算求出、的值，然后代入求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得， 解得 ． 【题型3.分式有意义的条件】 8．若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件是分母不为零计算即可． 【详解】解：要使分式有意义， 则分母， 即． 故答案为：． 9．下面的分式在实数范围内有意义，则的取值范围是“”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，根据分式有意义的条件逐项求解判断即可． 【详解】解：A．，解得，不符合题意； B．，解得，符合题意； C．，解得，不符合题意； D．，x为任意实数，不符合题意． 故选：B． 10．请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式的值不为及分式有意义的条件，根据题意写出符合条件的最简分式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个最简分式可以是， 故答案为：． 解答题 11．下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可 （2）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可； （3）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可； （4）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （2）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （3）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （4）解：∵分式有意义， ∴， ∴． 【题型4.分式值为零的条件】 12．如果分式的值为零，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件．根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零进行解答即可． 【详解】解：分式的值为零， ， 解得 故答案为： 13．若分式的值为零，则x的值是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零得到，再计算，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴， 故选：B 14．当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查了分式，掌握分式的值为零和分式无意义的条件是解题的关键． 根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零，即可求解． 【详解】解：由分式的值为零的条件，得 ，解得． 故答案为：． 15．嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，分式有意义的条件，分式值为0的条件，分式的性质；逐一判断每个小题的正误，对比嘉琪的判断，找出他做对的题目． 【详解】解：①∵分母不含字母，不是分式，∴原题说法错误，嘉琪判断“×”正确． ②∵当时，分母，∴分式无意义，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． ③∵分式值为0需分子为0且分母不为0，分子得，但时分母为0，∴只有满足，原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ④∵分式变形需分子分母同乘除非零整式，此处加2不满足，如时两边不相等，∴原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ⑤∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． 综上，嘉琪做对①、②、⑤． 故选：B． 【题型5.分式的约分】 16．化简： ． 【答案】x 【分析】本题考查了约分．先将分子因式分解，再约分即可求解． 【详解】解：， 故答案为：x． 17．下列分式约分，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的运算法则． 分式的约分首先将分子和分母进行因式分解，然后约去公共的因式，据此依次判断即可． 【详解】解：A．，原变形错误， 不符合题意； B．，原变形错误， 不符合题意； C．，原变形正确， 符合题意； D．，原变形错误， 不符合题意； 故选：C． 18．判断下列约分是否正确，如果正确，在括号内打“”；如果不正确，把正确答案写在括号内． （1）；( )                 （2）；( ) （3）；( )        （4）．( ) 【答案】 【分析】本题考查了分式约分，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式，可得，即可判断错误． （2）根据，可对原式中的分子分母同时约去公因式，即可判断错误． （3）对分子中的提公因式，提出，再对原式中的分子分母同时约去公因式，即可判断正确． （4）先对分子去括号，合并同类项，再和分母同时约去公因式，即可判断错误． 【详解】解：（1）∵， ∴错误； （2）∵， ∴错误； （3）∵， ∴正确； （4）∵， ∴错误． 故答案为：；；；． 19．如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，那么阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列代数式，分式的化简，根据图列出代数式，再根据分式的性质化简即可． 设图形Ⅰ长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b；则图形Ⅱ长为，宽为y；图形Ⅲ长为，宽为；有阴影部分的矩形长为x，宽为，面积为z；根据等高不同底的面积比求解即可． 【详解】解：设图形Ⅰ长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b；则图形Ⅱ长为，宽为y；图形Ⅲ长为，宽为；有阴影部分的矩形长为x，宽为，面积为z； ∵图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 解答题 20．先化简分式，再从中选取一个合适的整数代入求值． 【答案】；（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 先把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式，将代入化简后的分式进行求值即可． 【详解】解：由原式分母不为0， 得， 即 在此条件下，原式． 【题型6.最简分式的判断】 21．若不是最简分式，则（   ）里的整式可以是 ．（写出1个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，理解最简分式的特点（分式的分子与分母均为整式且分子和分母中不含1以外的公因数或公因式）是解题关键．根据最简分式的概念进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴不是最简分式， 故答案为：（答案不唯一） ． 22．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的定义，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式．通过检查各选项，A、B、D均可约分，只有C无法约分． 【详解】解：A项：，分子分母有公因式a，可约分； B项：，分子分母有公因式a，可约分； C项：，分子y与分母无公因式，不可约分； D项：，分子分母有公因式，可约分． 故选：C． 23．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，先找到分子与分母的公因式，再根据分式的基本性质进行约分，化简即可．解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质． 【详解】解：． 故答案为：． 解答题 24．请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 【答案】答案不唯一，具体见解析 【分析】根据题意选取两个整式分别作为分子和分母，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】解：不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下： ； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，熟知方式的基本性质是解题的关键． 【题型7.分式的求值】 25．已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是已知条件式求解分式的值，由可得，再代入计算即可. 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 26．已知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简，首先根据，交叉相乘可得：，通过移项、合并同类项，可得：，再把等式的两边同时除以即可得到． 【详解】解：， ， 移项得：， 合并同类项得：， 可得：． 故选：D． 27．已知，则分式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简，解题关键是设参数求解． 通过引入比例常数，将、、用表示，然后代入分式化简． 【详解】解：设，则，，， ． 故答案为：． 解答题 28．（1）已知，求代数式的值（）． （2）已知实数满足，求分式的值． 【答案】（1）1（2） 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的约分求值，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）利用提公因式和平方差公式进行因式分解，然后根据分式的基本性质约分，最后将整体代入即可； （2）根据分式的基本性质化简，然后将整体代入即可． 【详解】解：（1）原式 ． ， ， 原式． （2）， ． 【题型8.判断分式变形是否正确】 29．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式的值不变，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式成立，符合题意； B、，原式不成立，不符合题意； C、，原式不成立，不符合题意； D、，原式不成立，不符合题意； 故选：A． 30．填空： （1）； ①          （2）； ② （3）； ③      （4）． ④ 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或者除以不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 由分式的基本性质即可求解各小问． 【详解】解：（1）分子分母同乘以，则； （2）分子分母同乘以5，则； （3）分子分母同除以，则； （4）分子分母同除以，则， 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 31．下列说法正确的是（   ） A．若分式值为0，则x的值为 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中，，都扩大2倍，分式的值不变 D．分式不是最简分式 【答案】B 【分析】本题考查了分式的相关知识点，根据分式值为零的条件、分式的基本性质、分式值的变化和最简分式的定义逐一判断各选项即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、若分式值为0，则且，解得，故原说法错误，不符合题意； B、根据分式的基本性质，可以变形为，故原说法正确，符合题意； C、，故分式中，，都扩大2倍，分式的值扩大倍，故原说法错误，不符合题意； D、分式中分子分母没有公因式，是最简分式，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【题型9.求分式变形成立的条件】 32．使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质选择作答即可． 【详解】解：使得等式成立的的取值范围为． 故选：D． 33．．第一个括号内填写： ，第二个括号内填写： 【答案】 / 【分析】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的性质，由分式的性质求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：，． 34．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型10.利用性质判断分式值变化】 35．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【答案】A 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将x和y同时扩大为原来的3倍后代入分式，化简后与原分式比较． 【详解】解∶∵原分式为， 将x和y分别替换为和， ∴新分式为==， 而原分式为， ∴新分式是原分式的3倍， ∴分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 36．填空： （1）括号里填 ． （2）括号里填 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质. 根据分式的基本性质即可求出答案. 【详解】解：（1）分母由变为，分子与分母应同时乘， 故， 故答案为：； （2）分母由变为，分子与分母应同时乘， 故， 故答案为：. 37．若分式中x和y都扩大为原来的5倍，分式的值扩大为原来的5倍，则“”中可以为（  ） A．5 B．x C．xy D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 设“”为，为“”扩大5倍后的内容，根据题意得到，化简得到，即的值需为值的5倍，逐项判断即可． 【详解】解：设原分式为，其中为“”内容， 由于x和y均扩大5倍，此时为“”扩大5倍后的内容， 则新分式为， 由于分式值扩大为原来的5倍， 则， 假设，约去得， 化简得， 解得， 即扩大5倍后等于， 选项A、，，不满足； 选项B、，，满足； 选项C、，，不满足； 选项D、，，不满足； 故选：B． 【题型11.分子分母最高次项为正数】 38．若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝ ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解答． 【详解】原式＝． 【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 39．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 解答题 40．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键： （1）分子，分母同时乘以，即可； （2）分子，分母同时乘以，即可； 【详解】（1）解：； （2）． 【题型12.分子分母各项系数化为整数】 41．不改变分式的值，把分式的分子与分母的各项系数化为整数为 ． 【答案】 【分析】，据此即可求解． 【详解】解： 将分子、分母同时扩大倍，不改变分式的值 故答案为： 【点睛】本题考查将分式的分子与分母的各项系数化为整数．合理利用分式的性质是解题关键． 42．将方程中分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查将分母化为整数，分子分母各自乘一个不为零的数，或等式左右两边同乘一个不为零的数，根据上述两种方式逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，整理得，故C正确，A错误； 或，整理得，故B和D错误． 故选：C． 解答题 43．不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘以10即可． 本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：． 【题型13.分式的规律性问题】 44．观察下列分式：按此规律第10个分式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第10个分式为， 故答案为：． 45．对于正数，规定，例如．则（   ） A．2022 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查以实数运算为背景的新定义题型．确定是解题关键． 根据可得，故，据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴原式 ． 故选：C． 46．按一定规律排列的一列分式依次为：，，，，……（），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数） 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题，根据前四个分式总结出规律是解题关键．根据题意写出前四个分式的变形分别为，，，，即得出规律，从而得出第n个分式． 【详解】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， ∴第n个数为． 故答案为：． 【题型14.按要求构造分式】 47．下列四个代数式1，，，，请从中任选两个整式，组成一个分式为 ．（只需写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式的定义求解即可． 【详解】解：根据分式定义，可以组成分式的有，，等， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查分式的定义，解答的关键是熟知分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 48．甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，找已知量，确定数量关系，列方程是解题关键． 【详解】解：甲、乙两地相距千米，原计划每小时行驶千米， 原计划所需时间为：小时， 实际每小时降速千米， 实际每小时行驶千米， 实际所需时间为：小时， 列车从甲地到乙地所需时间比原来增加：小时． 故选：C． 49．写一个含有字母x的分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．则这个分式可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件．根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），构造分式． 【详解】解：当时，分式无意义，因此分母应含有因式；当时，分式的值为，因此分子应含有因式，且分母在时不为零．故分式可以为． 故答案为（答案不唯一）． 【题型15.求分式值为正(负)时未知数的取值范围】 50．若分式值为正数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式即可求出答案； 【详解】解：由题意得，，所以， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的值，解题关键是列出正确的不等式． 51．若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由分式的值为正数，得到，，即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴，， 解得且， 即x的取值范围是且． 故答案为：且 【点睛】此题考查了分式的性质，熟练掌握两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键． 52．若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【详解】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 解答题 53．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式中根据分式的范围确定字母的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握同号得正，异号得负这一运算法则． 根据两数相除，同号得正，异号得负的法则，先确定分母的正负，判断分子的正负，即可得出x的取值范围． 【详解】解：代数式的值是正数， ， ， ． 【题型16.求使分式值为整数时未知数的整数值】 54．若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式得值求参数，根据表示一个整数，则是的约数，即可求解． 【详解】解：因为表示一个整数， ∴是的因数， 故的值为，，，，，，，， ∴，，，，，，，，共个． 故答案为：． 55．分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值．先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为整数求出的取值即可判断． 【详解】解：， 当和时，分式的结果都等于一个整数， 观察四个选项，选项D符合题意； 故选：D． 56．已知x为整数，且的结果也为整数，则所有符合条件的x的值的乘积为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，正确理解条件是解题的关键．首先把分式进行化简，式子的值的是整数的条件是分母是分子的因数，据此即可确定． 【详解】解： 式子的值是整数，则或． 则或1或4或2． 则所有符合条件的值的乘积为． 故答案为：40 解答题 57．使分式的值为整数的整数x的值有多少个？ 请先阅读解题过程，回答有关问题． 因为， 又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除，当时，因为，所以分母为零，分式无意义． 所以可取的值为，，1，2，相应的x的值为，0，2，3，那么，满足条件的x值共有4个． (1)本题的解题思路是 　 　； (2)运用这种解题思路，求出使分式的值为整数的整数x的值． 【答案】(1)将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题 (2)、、、0、2、3、4、7 【分析】本题考查了分式的化简，分式的结果要化成最简分式的形式，解题思路为：一般是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题． （1）先把分式化简成最简分式或整式，后利用分子是分母的倍数，分类计算即可，注意要保证分式有意义． （2）仿照样本题思路，解答即可． 【详解】（1）解：解题思路是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题； 故答案为：将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题． （2）， 要使分式的值为整数， ①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， ⑤当时，， ⑥当时，， ⑦当时，， ⑧当时，， ∴使分式的值为整数的整数x的值、、、0、2、3、4、7． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09分式及其基本性质题型突破讲义 基础 过关题 1.分式的判断 2.分式无意义的条件 3.分式有意义的条件 4.分式值为零的条件 5.分式的约分 6.最简分式的判断 能力 提升题 7.分式的求值 8.判断分式变形是否正确 9.求分式变形成立的条件 10.利用性质判断分式值变化 11.分子分母最高次项为正数 12.分子分母各项系数化为整数 拓展 拔高题 13.分式的规律性问题 14.按要求构造分式 15.求分式值为正负数时未知数的取值范围 16.求使分式值为整数时未知数的整数解 一、分式的概念（核心定义） 1.分式定义:形如 的式子，其中： A、B 是整式 B 中含有字母这样的代数式叫做分式。 2.分式有意义的条件:分母 B0。 3.分式值为 0 的条件:（两个条件同时满足，缺一不可） 二、分式的基本性质（重中之重） 1.基本性质内容:分式的分子与分母同乘（或同除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 2.字母表示: , (C0) 3.关键注意 乘除的整式 C 不能为 0 性质是约分、通分、符号变形的依据 三、分式的符号法则（高频考点） 分式、分子、分母中，同时改变其中任意两个的符号，分式的值不变： ​ 四、约分（化简分式） 1.约分依据：分式基本性质 2.步骤 把分子、分母分别分解因式 约去分子、分母的公因式 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 五、通分 1.通分依据：分式基本性质 2.目的：把几个异分母分式化为同分母分式 3.关键：找最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积） 六、易错点（必须牢记） 1.判断分式只看分母是否含字母，与分子无关。 2.分式值为 0：分子 = 0 且 分母≠0，只让分子 = 0 必错。 3.运用基本性质时，乘除的式子不能为 0。 4.分数线兼有括号作用，分子分母是多项式时，约分要先因式分解，不能直接 “拆项”。 【题型1.分式的判断】 1．下列式子中属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中：，，，，0，，，其中分式共有 个． 3．下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x＝2时，分式的值为零 B．代数式是整式 C．无论x为何值，分式的值都不可能为整数 D．无论x为何值，的值总为正数 【题型2.分式无意义的条件】 4．当取 值时，分式没有意义 5．当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（    ） A． B． C．x D． 6．已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则 ． 解答题 7．已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 【题型3.分式有意义的条件】 8．若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 9．下面的分式在实数范围内有意义，则的取值范围是“”的是（    ） A． B． C． D． 10．请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 解答题 11．下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4.分式值为零的条件】 12．如果分式的值为零，那么的值是 ． 13．若分式的值为零，则x的值是（   ） A．1 B． C． D．2 14．当 时，分式的值为0． 15．嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 【题型5.分式的约分】 16．化简： ． 17．下列分式约分，正确的是（　　） A． B． C． D． 18．判断下列约分是否正确，如果正确，在括号内打“”；如果不正确，把正确答案写在括号内． （1）；( )                 （2）；( ) （3）；( )        （4）．( ) 19．如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，那么阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 解答题 20．先化简分式，再从中选取一个合适的整数代入求值． 【题型6.最简分式的判断】 21．若不是最简分式，则（   ）里的整式可以是 ．（写出1个即可） 22．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 23．化简 ． 解答题 24．请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 【题型7.分式的求值】 25．已知，则代数式的值为 ． 26．已知，则=（    ） A． B． C． D． 27．已知，则分式的值是 ． 解答题 28．（1）已知，求代数式的值（）． （2）已知实数满足，求分式的值． 【题型8.判断分式变形是否正确】 29．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 30．填空： （1）； ①          （2）； ② （3）； ③      （4）． ④ 31．下列说法正确的是（   ） A．若分式值为0，则x的值为 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中，，都扩大2倍，分式的值不变 D．分式不是最简分式 【题型9.求分式变形成立的条件】 32．使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 33．．第一个括号内填写： ，第二个括号内填写： 34．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型10.利用性质判断分式值变化】 35．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 36．填空： （1）括号里填 ． （2）括号里填 ． 37．若分式中x和y都扩大为原来的5倍，分式的值扩大为原来的5倍，则“”中可以为（  ） A．5 B．x C．xy D． 【题型11.分子分母最高次项为正数】 38．若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝ ． 39．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 解答题 40．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 【题型12.分子分母各项系数化为整数】 41．不改变分式的值，把分式的分子与分母的各项系数化为整数为 ． 42．将方程中分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 解答题 43．不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 【题型13.分式的规律性问题】 44．观察下列分式：按此规律第10个分式是 ． 45．对于正数，规定，例如．则（   ） A．2022 B．2021 C． D． 46．按一定规律排列的一列分式依次为：，，，，……（），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数） 【题型14.按要求构造分式】 47．下列四个代数式1，，，，请从中任选两个整式，组成一个分式为 ．（只需写出一个即可）． 48．甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 49．写一个含有字母x的分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．则这个分式可以是 ． 【题型15.求分式值为正(负)时未知数的取值范围】 50．若分式值为正数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 51．若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 52．若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 解答题 53．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 【题型16.求使分式值为整数时未知数的整数值】 54．若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 55．分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 56．已知x为整数，且的结果也为整数，则所有符合条件的x的值的乘积为 ． 解答题 57．使分式的值为整数的整数x的值有多少个？ 请先阅读解题过程，回答有关问题． 因为， 又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除，当时，因为，所以分母为零，分式无意义． 所以可取的值为，，1，2，相应的x的值为，0，2，3，那么，满足条件的x值共有4个． (1)本题的解题思路是 　 　； (2)运用这种解题思路，求出使分式的值为整数的整数x的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $