精品解析：海南海口实验中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级期中考试 数学试题 （满分 120分 限时：100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把被开方数8写成，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，此类题目关键在于把被开方数写成平方数乘以另一个数的形式． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括加减、乘除法则．加减法要求同类二次根式才能合并；乘除法可直接依据和进行计算． 【详解】解： A： 与不是同类二次根式，不能相减，错误，不符合题意； B：，正确，符合题意； C：，错误，不符合题意； D：，错误，不符合题意． 故选：B． 3. 在中，，那么的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求余弦，勾股定理，先求出，根据余弦定义计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，的邻边，斜边为， ∴， 故选：C． 4. 下列关于抛物线的描述中，错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的性质，通过将二次函数化为顶点式 ，分析开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标． 【详解】解：∵ 抛物线为 ， ∴ 与顶点式对比，得 ， ， ． 对于 A：∵ ， ∴ 开口向下，正确． 对于 B：对称轴为 ，正确． 对于 C：∵ 开口向下，对称轴为 ， ∴ 当 时，y 随 x 的增大而增大，故选项描述错误． 对于 D：顶点坐标为 ，正确． ∴ 错误的是 C． 故选：C． 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，将方程化为完全平方式． 通过移项、配方的步骤，将给定的一元二次方程转化为完全平方式，从而得出答案． 【详解】解：， 移项得， ， ， 故选：D． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，求出判别式的值，即可得答案． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根。 故选：D． 7. 将二次函数先沿x轴向右平移2个单位后，再沿轴向下平移2个单位，得到的二次函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据函数平移规则，向右平移2个单位将x替换为，向下平移2个单位将函数值减去2，逐步计算即可． 【详解】解：将二次函数的图象先沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度得到的函数解析式是． 故选：C． 8. 如图，在中，点为边上一点．添加下列一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：有两组角相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据三角形相似的判定方法逐一进行判断． 【详解】解：当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ； 当， 而与不一定相等， 所以不能判定和相似． 故选：D． 9. 如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及坡度概念，熟记勾股定理是解决问题的关键． 在中，坡度，设，则，结合相邻两棵树间的水平距离为，求出值，再由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：在中，坡度，设，则， 解得：，即 ∴，即， 故选：B； 10. 如图，点D、E、F分别是的三边、、的中点，交于点，交于点，则与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例和中位线的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先求得，然后再根据平行线分线段成比例知识求得，然后即可求解； 【详解】解：∵点D、E、F分别是的三边、、的中点， ∴， ，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D； 11. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，锐角三角函数，由勾股定理及逆定理可得是直角三角形，且，进而根据正切的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格可得，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：． 12. 如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质．由矩形的性质与折叠可得，，从而证得，根据相似三角形的性质得到，因此，再由矩形的周长等于与的周长之和即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 故选：C． 二、填空题：（本大题满分20分，每小题4分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 14. 关于x的方程的一根为3，则另一根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．设这个一元二次方程的另一根为，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可求解． 【详解】解：设这个一元二次方程的另一根为， ∵关于的方程的一根为3， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知点，，都在函数的图象上，请将由大到小的顺序用“”连接__________________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，分别代入各点横坐标，求出函数值，可得函数值大小关系． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，于，，，则_________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，余角和补角，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，然后根据同角的余角相等求得，再利用锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，于，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，如图，延长交的延长线于点H，先证明，可得，则，根据点E是的中点，得，，证明，即可证明． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（共64分） 18. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：； 【答案】（1）1 （2）或1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，特殊角的三角函数和因式分解法解一元二次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据二次根式的混合运算，平方差公式，特殊角的三角函数的知识进行计算，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程的知识，进行作答，即可求解； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 或， 或； 19. 假设我省自由贸易港于年月日正式封关运行．封关后，预计贸易额会快速增长．据统计，封关当年（年）贸易额为亿元，两年后（年月日）贸易额会达到亿元． （1）求这两年贸易额的年平均增长率； （2）若按增长率保持不变，请计算到年月日我省的贸易额将达到多少亿元？ 【答案】（1） （2）亿元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程中增长率的知识，解题的关键是熟练掌握增长后的量增长前的量（增长率）． （1）设这两年贸易额的年平均增长率，增长后的量增长前的量（增长率），列出方程，解方程即可得到答案； （2）由两年后（年月日）贸易额会达到亿元乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：设这两年贸易额的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：这两年贸易额的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：∵到贸易额的年增长率保持不变， ∴亿元， 答：到年月日我省的贸易额将达到亿元； 20. 现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： °， °； （2）过点作于点，此时，、、三点在同一直线上，求的长； （3）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：） 【答案】（1）64，53 （2）24 （3）伸缩杆的长度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，由，利用三角形的外角的性质，可求得的度数，利用平角的定义，可得到的度数； （2）解可求出的长； （3）由的长，得到的长，即可知，结合已知条件，得到长，在中，利用三角函数求得长即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交于G点，延长交于P点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：64，53； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴, ∴, ∴ 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， 答：此时伸缩杆的长度约为． 21. 如图，抛物线经过、及三点．点是线段AB上的动点，过点作轴交抛物线于点Q． （1）求直线及抛物线的解析式； （2）当抛物线上一动点的横坐标满足时，请直接写出纵坐标的取值范围； （3）求线段长度的最大值； （4）若，求取何值时线段PQ的长度最大，并表示此时相应PQ的最大值（可用含t的代数式表示及PQ的最大值）． 【答案】（1）， （2） （3）时最长为9 （4）当时，取时PQ最长为；当时，取时最长为9；当时，取时最长为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法代入计算求解即可； （2）然后结合图形得出．然后利用二次函数的性质求解即可； （3）根据二次函数的性质结合图象求解即可； （4）结合的解析式，然后分三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为； ∵抛物线经过、及三点． ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，； 当时，； ∴的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵点P在上， ∴设点的坐标为， 又点Q在抛物线上，且轴， ∴点Q的坐标为， ∴， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， ∴当时，取得最大值，为9； 【小问4详解】 解：，开口向下的二次函数，对称轴为， 分三种情况讨论： 当时，取时PQ最长为； 当时，取时最长为9； 当时，取时最长为． 22. 如图，边长为1的正方形的对角线相交于点，的平分线分别交、于点、，作于点，分别交、于点、，连接、． 【铺垫设问】： （1）求证：； （2）试问：与是否相等？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【解决问题】： （3）试求：的值（结果保留根号） 【拓展探究】： （4）试用本题背景来说明． 【答案】（1）证明：∵四边形为边长为1的正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下， ∵， ∴， ∴， ， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （3）； （4）由题意可得：，，， ， 在中，， 即； 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角函数，勾股定理，外角的性质，平行线分线段成比例和全等三角形的判定与性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据正方形的性质和等量变换得到对应角相等和对应边相等，然后根据全等三角形的判定知识即可求解； （2）根据角平分线的性质和等量变换的知识，即可求解； （3）根据正方形的性质，角平分线的知识，外角的知识，得到，然后求得四边形为菱形，然后再证得为等腰三角形，进而设，，然后根据勾股定理求得，然后再根据平行线分线段成比例的知识进行变换，即可求解； （4）由题意可得：，，， ，在中，根据三角函数的知识即可求解； 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图：连接 ， ∵四边形为边长为1的正方形， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，即， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， 设，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即， 解得：（舍去负值）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （4）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级期中考试 数学试题 （满分 120分 限时：100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在中，，那么的值是（ ） A. 2 B. C. D. 4. 下列关于抛物线的描述中，错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 将二次函数先沿x轴向右平移2个单位后，再沿轴向下平移2个单位，得到的二次函数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点为边上一点．添加下列一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点D、E、F分别是的三边、、的中点，交于点，交于点，则与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 48 二、填空题：（本大题满分20分，每小题4分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 14. 关于x的方程的一根为3，则另一根为_________． 15. 已知点，，都在函数的图象上，请将由大到小的顺序用“”连接__________________； 16. 如图，在中，，于，，，则_________； 17. 如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是___________； 三、解答题：（共64分） 18. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：； 19. 假设我省自由贸易港于年月日正式封关运行．封关后，预计贸易额会快速增长．据统计，封关当年（年）贸易额为亿元，两年后（年月日）贸易额会达到亿元． （1）求这两年贸易额的年平均增长率； （2）若按增长率保持不变，请计算到年月日我省的贸易额将达到多少亿元？ 20. 现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： °， °； （2）过点作于点，此时，、、三点在同一直线上，求的长； （3）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：） 21. 如图，抛物线经过、及三点．点是线段AB上的动点，过点作轴交抛物线于点Q． （1）求直线及抛物线的解析式； （2）当抛物线上一动点的横坐标满足时，请直接写出纵坐标的取值范围； （3）求线段长度的最大值； （4）若，求取何值时线段PQ的长度最大，并表示此时相应PQ的最大值（可用含t的代数式表示及PQ的最大值）． 22. 如图，边长为1的正方形的对角线相交于点，的平分线分别交、于点、，作于点，分别交、于点、，连接、． 【铺垫设问】： （1）求证：； （2）试问：与是否相等？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【解决问题】： （3）试求：的值（结果保留根号） 【拓展探究】： （4）试用本题背景来说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $