广东东莞市寮步中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

寮步中学 2026-2027 学年九年级第一学期数学期中考试试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（） A. x+1= B. x² +1= 2x C. 2 (x+1)=x D. x³ + x² + 2=0 2. 用配方法解一元二次方程 x²−6x+3=0 时，下列变形正确的是（） A. (x−3)²=3 B. (x+3)²=6 C. (x−3)²=6 D. (x−3)²=12 3. 若 x₁，x₂是方程 x²−3x+5=0 的两个根，则 x₁+x₂=（） A. −3 B. 3 C. −5 D. 5 4. 抛物线 y=x²+2x−3 与 x 轴交点的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 5. 将二次函数 y=−2x² 的图象向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（） A. y=−2 (x−3)²+2 B. y=−2 (x+2)²+3 C. y=−2 (x−2)²−3 D. y=−2 (x−2)²+3 6. 若点 (2,5) 在反比例函数 y = 的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（） A. (−2,5) B. (−5,−2) C. (2,−5) D. (−5,2) 7. 2025 年，广东省城市足球联赛（简称 “粤超”）火爆出圈，“粤超” 联赛常规赛采用单循环赛制（即每两队之间仅需对决一场），本赛季常规赛共进行了 91 场对决。若设参加该联赛的球队共有 x 支，则可列方程为（） A. x (x−1)=91 B. x (x−1)=91 C. x (x+1)=91 D. x (x+1)=91 8.若点 A (−1,y₁)，B (2,y₂)，C (6,y₃) 都在反比例函数 y = 的图象上，则 y₁,y₂,y₃的大小关系是（） A. y₁<y₂<y₃ B. y₁<y₃<y₂ C. y₃<y₂<y₁ D. y₂<y₁<y₃ 9.如图，两个反比例函数 y₁= 和 y₂= 在第一象限内的图象分别是 C₁和 C₂，设点 P 在 C₁上，PA⊥x 轴于点 A，交 C₂于点 B，则△POB 的面积为（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 10. 二次函数 y=ax²+bx+c 的部分图象如图所示，对称轴为 x = ，且图象经过点 (2,0)。下列说法： ①abc<0；②若 (−，y₁)，( ，y₂) 是抛物线上的两点，则 y₁<y₂；③a−b+c<0 ④c−2b=0；⑤ b+c>m (am+b)+c（其中 m ≠ ）；其中正确的结论是（） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 2、 填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. 若关于 x 的一元二次方程 x²−kx−2=0 的一个根为 x=1，则 k =________ 12. 已知反比例函数 y = 的图象在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是________ 13. 若函数 y=(m−3) xm²−7+1 是二次函数，则 m=____________ 14. 二次函数 y=(x+m)²−1，当 x<4 时，y 随 x 增大而减小，则 m 的取值范围是________ 15. 如图所示，反比例函数的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 M，分别与 AB，BC 交于点 D、E，若 BD=4，OA=6，则点 E 的坐标为________ 3、 解答题（一）（每题 8 分，共 24 分） 16. (1) 解方程：x²−4x−5=0； (2) 解方程：x²−3x=-1 17. 已知二次函数 y=x²+4x+3 （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）求该函数图象与 x 轴的交点坐标。 18. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高 y（单位：cm）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当 x=6 时，y=3，请你解答下列问题。 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）当火焰的像高不超过 9cm，求小孔到蜡烛的距离至少为多少 cm？ 4、 解答题（二）（每小题 9 分，共 27 分） 19. 为弘扬东莞莞香文化，某文旅公司推出多款产品。已知某款莞香的成本价是 30 元，当售价为 40 元时，每天可以售出 60 件。经调查发现，售价每降价 1 元，每天可以多售出 10 件。 （1） 为让利于游客，该款莞香应该降价多少元，文旅公司每天的利润是 630 元； （2）文旅公司每天售卖该款莞香的利润为 W 元，当降价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 20. 如图，反比例函数 y₁=（m≠0）的图象与一次函数 y₂=kx+b（k≠0）的图象交于点 A（−4，−1）和点 B（n，4）。 （1） 求反比例函数表达式 y₁ 和一次函数表达式 y₂； （2） 求△AOB 的面积； （3） 请直接写出 y₁>y₂ 时，x 的取值范围。 21. 在学习了二次函数的相关知识后，老师带领同学们开展了一项综合实践活动，下面是某小组尚未完成的活动报告。 主题 二次函数在生活中的应用 研究内容 如图 1，某校校门的截面呈抛物线形，经测量可知，该校门长 20m，高 5m（最高点到地面的距离）。国庆前夕，该校拟在图 1 所示的校门上悬挂 “欢度国庆” 四个大字的矩形牌匾，要求居中悬挂，悬挂点在校门上，下沿与水平地面平行。 数据收集 从牌匾设计方获知，设计的牌匾长 8m，高 1.2m。 研究过程 以水平地面所在截线为 x 轴，校门的对称轴为 y 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系。 示意图 安全要求 为了通车与行人安全，牌匾底部距离水平地面应不小于 2.8m。 探究问题 (1) 结合 “研究过程”，求校门所在抛物线的解析式； (2) 按设计参数悬挂该牌匾，能否达到 “安全要求”？说明理由。 5、 解答题（三）（每题 12 分，共 24 分） 22. 小明同学在学习一元二次方程根与系数之间的关系时阅读到课本中的材料： 一元二次方程根与系数的关系，还可以用如下方法得出：如果一元二次方程 ax²+bx+c=0 的左边可以分解因式为 a (x−x₁)(x−x₂)，那么方程 ax²+bx+c=0 的两个根为 x₁、x₂。反过来，如果一元二次方程 ax²+bx+c=0 的两个根为 x₁、x₂，那么 ax²+bx+c=a (x−x₁)(x−x₂)，即 ax²+bx+c=ax²−a (x₁+x₂) x+ax₁x₂，由此可得−a (x₁+x₂)=b，ax₁x₂=c。因此 x₁+x₂=−，x₁x₂= 。 小明同学尝试类比一元二次方程来探究一元三次方程的根与系数的关系；以下是探究过程： 【初步感知】 （1） 已知一元三次方程 x³−8x²+19x−12=0 的三个根为 1，3，4，计算可得： ①三个根的和 1+3+4=8；②每两个根的乘积之和 1×3+1×4+3×4=19；③三个根的积 1×3×4=12。 观察计算结果，思考与原方程系数 1，−8，19，−12 之间的关系并完成下面的填空： 一般地，若一元三次方程 ax³+bx²+cx+d=0 (a≠0) 的三个根为 x₁,x₂,x₃，则 x₁+x₂+x₃=_________，x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=______________，x₁・x₂・x₃=________。（用含 a,b,c,d 的代数式表示） （2） 【推理证明】请你类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，证明（1）中的结论； （3）【灵活运用】若已知关于 x 的一元三次方程 x³−3x²+ax+b=0 的三个实数根 x₁,x₂,x₃按从小到大排列依次为 x₁≤x₂≤x₃，且 x₂−x₁=x₃−x₂，求实数 a 的最大值。 23. 如图，抛物线 y=x²+bx+c 与 x 轴交于 A (−1,0)、B (3,0) 两点，且与 y 轴交于点 C。 （1） 求抛物线表达式； （2） 连接 BC，若点 M 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 AM、CM，当△ACM 是等腰三角形时，求 M 的坐标； （3）若点 D 是 x 轴上的动点，点 E 是抛物线上的动点，是否存在以点 A、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $寮步中学 2026-2027 学年九年级第一学期数学期中考试试卷 解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（） A. x+1= B. x² +1= 2x C. 2 (x+1)=x D. x³ + x² + 2=0 解析： 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。 - A选项：含有分式 ，不是整式方程，故不是一元二次方程； - B选项：整理得x² - 2x + 1 = 0，符合一元二次方程的定义，故B正确； - C选项：整理得x + 2 = 0，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故不是； - D选项：未知数最高次数为3，是一元三次方程，故不是。 故选 B。 2. 用配方法解一元二次方程 x²−6x+3=0 时，下列变形正确的是（） A. (x−3)²=3 B. (x+3)²=6 C. (x−3)²=6 D. (x−3)²=12 解析： x² − 6x + 3 = 0 移项：x² − 6x = −3 配方：x² − 6x + 9 = −3 + 9 即：(x − 3)² = 6 故选 C。 3. 若 x₁，x₂是方程 x²−3x+5=0 的两个根，则 x₁+x₂=（） A. −3 B. 3 C. −5 D. 5 解析： 由韦达定理（根与系数的关系）： 对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0），若两根为 x₁, x₂，则： x₁ + x₂ = − 本题中 a = 1，b = −3， ∴ x₁ + x₂ = −(−3)/1 = 3 故选 B。 4. 抛物线 y=x²+2x−3 与 x 轴交点的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 解析： 令 y = 0，得 x² + 2x − 3 = 0 判别式 Δ = b² − 4ac = 2² − 4×1×(−3) = 4 + 12 = 16 > 0 ∵ Δ > 0 ∴ 方程有两个不相等的实数根，即抛物线与 x 轴有两个交点。 故选 C。 5. 将二次函数 y=−2x² 的图象向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（） A. y=−2 (x−3)²+2 B. y=−2 (x+2)²+3 C. y=−2 (x−2)²−3 D. y=−2 (x−2)²+3 解析： 根据平移规律："左加右减，上加下减" - 向右平移 2 个单位：y = −2(x − 2)² - 再向上平移 3 个单位：y = −2(x − 2)² + 3 故选 D。 6. 若点 (2,5) 在反比例函数 y = 的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（） A. (−2,5) B. (−5,−2) C. (2,−5) D. (−5,2) 解析： ∵ 点 (2, 5) 在 y = 的图象上 ∴ k = 2 × 5 = 10，即反比例函数为 y = 验证各选项（横纵坐标之积是否等于 k = 10）： - A：(−2) × 5 = −10 ≠ 10，不在图象上； - B：(−5) × (−2) = 10 = 10，在图象上； - C：2 × (−5) = −10 ≠ 10，不在图象上； - D：(−5) × 2 = −10 ≠ 10，不在图象上。 故选 B。 7. 2025 年，广东省城市足球联赛（简称 “粤超”）火爆出圈，“粤超” 联赛常规赛采用单循环赛制（即每两队之间仅需对决一场），本赛季常规赛共进行了 91 场对决。若设参加该联赛的球队共有 x 支，则可列方程为（） A. x (x−1)=91 B. x (x−1)=91 C. x (x+1)=91 D. x (x+1)=91 解析： 单循环赛制下，x 支球队每两支之间比赛一场，比赛总场数为： x (x−1)=91 故选 A。 8.若点 A (−1,y₁)，B (2,y₂)，C (6,y₃) 都在反比例函数 y = 的图象上，则 y₁,y₂,y₃的大小关系是（） A. y₁<y₂<y₃ B. y₁<y₃<y₂ C. y₃<y₂<y₁ D. y₂<y₁<y₃ 解析： 反比例函数 y = 中，k = 1 > 0，图象位于第一、三象限。 分别计算各点的纵坐标： - y₁ = −1 - y₂ = - y₃ = ∴ y₁ < y₃ < y₂ 故选 B。 9.如图，两个反比例函数 y₁= 和 y₂= 在第一象限内的图象分别是 C₁和 C₂，设点 P 在 C₁上，PA⊥x 轴于点 A，交 C₂于点 B，则△POB 的面积为（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 解析： 设点 P 的横坐标为 a（a > 0），则： - P 在 C₁: y₁ = 上，∴ P(a, ) - PA⊥x 轴于 A，∴ A(a, 0) - PA 交 C₂ 于 B，B 的横坐标也为 a，B 在 C₂: y₂= 上，∴ B(a, ) S△POB = S△POA − S△BOA = × OA × PA − × OA × BA = × a × − × a × = 2 − 1 = 1 故选 A。 10. 二次函数 y=ax²+bx+c 的部分图象如图所示，对称轴为 x = ，且图象经过点 (2,0)。下列说法： ①abc<0；②若 (−，y₁)，( ，y₂) 是抛物线上的两点，则 y₁<y₂；③a−b+c<0 ④c−2b=0；⑤ b+c>m (am+b)+c（其中 m ≠ ）；其中正确的结论是（） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 解析： 由图象可知：抛物线开口向下，∴ a < 0 对称轴 x = − = ，∴ b = −a > 0 抛物线与 y 轴交于正半轴，∴ c > 0 抛物线经过点 (2, 0)，由对称性（对称轴 x = ），另一交点为 (−1, 0) ① a < 0，b > 0，c > 0，∴ abc < 0，正确； ② 比较 x = − 和 x = 到对称轴 x = 的距离： |− −| = 1，|− | = 2 ∵ 抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小 ∴ y₂ < y₁，故 ② 错误； ③令x=-1，则y= a − b + c = ，∵ 抛物线经过 (−1, 0)，即 a − b + c = 0，故 ③ 错误； ④ 由 b = −a，c = −2a，令x=2，则y= 4a + 2b + c = 0 代入 b = −a 得 c = −2a ∴ c − 2b = −2a − 2(−a) = −2a + 2a = 0，故 ④ 正确； ⑤ ∵ 抛物线开口向下，顶点在 x = 1/2 处取得最大值 ∴ 当 m ≠ 时，x = 时 即 + b+c > am² + bm + c 两边同乘 4：a + 2b + 4c > 4am² + 4bm + 4c a + 2b > 4am² + 4bm 代入 b = −a得a − 2a > 4am² − 4am −a > 4a(m² − m) ∵ a < 0，两边除以 a（变号）∴−1 < 4(m² − m) 即 4m² − 4m + 1 > 0，(2m − 1)² > 0 ∵ m ≠ ，∴ (2m − 1)² > 0 恒成立，故 ⑤ 正确。 综上，正确的结论是 ①④⑤。 故选 C。 2、 填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. 若关于 x 的一元二次方程 x²−kx−2=0 的一个根为 x=1，则 k =________ 解析： 将 x = 1 代入方程 x² − kx − 2 = 0： 1² − k × 1 − 2 = 0 解得k = −1 答案：k = −1 12. 已知反比例函数 y = 的图象在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是________ 解析： 对于反比例函数 y = ，当 k+1 > 0 时，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小。 ∴ k > −1 答案：k > −1 13. 若函数 y=(m−3) xm²−7+1 是二次函数，则 m=____________ 解析： 二次函数的定义：未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。 ∴ m² − 7 = 2 且 m − 3 ≠ 0 由 m² − 7 = 2 得 m² = 9，m = ±3 由 m − 3 ≠ 0 得 m ≠ 3 ∴ m = −3 答案：m = −3 14. 二次函数 y=(x+m)²−1，当 x<4 时，y 随 x 增大而减小，则 m 的取值范围是________ 解析： 二次函数 y = (x + m)² − 1 开口向上，对称轴为 x = −m。 当 x < −m 时，y 随 x 的增大而减小。 题目要求当 x < 4 时，y 随 x 增大而减小， ∴ x < 4 的范围必须在对称轴左侧，即 4 ≤ −m ∴ m ≤ −4 答案：m ≤ −4 15. 如图所示，反比例函数的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 M，分别与 AB，BC 交于点 D、E，若 BD=4，OA=6，则点 E 的坐标为________ 解析： A 在 x 轴负半轴上，OA = 6，∴ A(−6, 0) 设 C(0, c)（c > 0），则 B(−6, c) 对角线 AC 的中点 M (−3, ) 设反比例函数为 y = ，经过点 M： 则 = ，∴ k = − 点 D 在 AB 上，且 D 在反比例函数图象上： ∴yD = = ∴ D(−6, ) BD = c − = 4，∴ c = ，k=−= -8， ∴反比例函数为 y = - ∵点 E 在 BC 上，且 E 在反比例函数图象上，yE= ∴xE = - ∴ E (−, ) 答案：E (−, ) 3、 解答题（一）（每题 8 分，共 24 分） 16. (1) 解方程：x²−4x−5=0； (2) 解方程：x²−3x=-1 解：（1）x²−4x−5=0 （x-5）(x +1)=0 解得x1=5，x2=-1 (2) x² − 3x = −1 解析： 整理得：x² − 3x + 1 = 0 a = 1，b = −3，c = 1 判别式 Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4 × 1 × 1 = 9 − 4 = 5 ∵ Δ = 5 > 0 ∴ x = 即 x₁ = ，x₂ = 17. 已知二次函数 y=x²+4x+3 （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）求该函数图象与 x 轴的交点坐标。 解：（1）y = x² + 4x + 3 = (x² + 4x + 4) − 4 + 3 = (x + 2)² − 1 ∴ 顶点坐标为 (−2, −1) (2) 令 y = 0：x² + 4x + 3 = 0 (x + 1)(x + 3) = 0 x + 1 = 0 或 x + 3 = 0 x₁ = −1，x₂ = −3 ∴ 该函数图象与 x 轴的交点坐标为 (−1, 0) 和 (−3, 0) 18. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高 y（单位：cm）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当 x=6 时，y=3，请你解答下列问题。 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）当火焰的像高不超过 9cm，求小孔到蜡烛的距离至少为多少 cm？ 解：（1）设 y = （k ≠ 0） 将 x = 6，y = 3 ∴ k = 6×3=18 ∴ y 关于 x 的函数解析式为 y = (2) 由题意：y ≤ 9 即 ≤ 9 ∵ x > 0（物距为正）∴ x ≥ 2 答：小孔到蜡烛的距离至少为 2 cm。 4、 解答题（二）（每小题 9 分，共 27 分） 19. 为弘扬东莞莞香文化，某文旅公司推出多款产品。已知某款莞香的成本价是 30 元，当售价为 40 元时，每天可以售出 60 件。经调查发现，售价每降价 1 元，每天可以多售出 10 件。 （1） 为让利于游客，该款莞香应该降价多少元，文旅公司每天的利润是 630 元； （2）文旅公司每天售卖该款莞香的利润为 W 元，当降价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 解：设降价 x 元，则： - 售价：(40 − x) 元 - 销量：(60 + 10x) 件 - 单件利润：(40 − x) − 30 = (10 − x) 元 (1) 每天利润 W = (10 − x)(60 + 10x) = 630 整理得 −10x² + 40x − 30 = 0 x² − 4x + 3 = 0 (x − 1)(x − 3) = 0 x₁ = 1，x₂ = 3 ∵ "为让利于游客"，应选择降价较多的方案 ∴ x = 3 答：该款莞香应该降价 3 元，文旅公司每天的利润是 630 元。 (2) W = (10 − x)(60 + 10x) = −10x² + 40x + 600 = −10(x² − 4x) + 600 = −10(x² − 4x + 4 − 4) + 600 = −10(x − 2)² + 40 + 600 = −10(x − 2)² + 640 ∵ −10 < 0，抛物线开口向下 ∴ 当 x = 2 时，W 取得最大值，Wmax = 640 答：当降价为 2 元时，每天的利润最大，最大利润是 640 元。 20. 如图，反比例函数 y₁=（m≠0）的图象与一次函数 y₂=kx+b（k≠0）的图象交于点 A（−4，−1）和点 B（n，4）。 （1） 求反比例函数表达式 y₁ 和一次函数表达式 y₂； （2） 求△AOB 的面积； （3） 请直接写出 y₁>y₂ 时，x 的取值范围。 解：(1) ∵ 点 A(−4, −1) 在y₁= 上 ∴ m = (−4) × (−1) = 4 ∴ 反比例函数表达式为 y₁ = ∵ 点 B(n, 4) 也在 y₁ = 上 ∴ 4 = ，n = 1 ∴ B(1, 4) 将 A(−4, −1) 和 B(1, 4) 代入 y₂ = kx + b： −1 = −4k + b ① 4 = k + b ② 解得k = 1，b = 3 ∴ 一次函数表达式为 y₂ = x + 3 (2) 可知直线 y₂ = x + 3 与 x 轴交于点 C(−3, 0) S△AOB 的面积 = × OC × |yB - yA| = × 3 × [4-（-1）] = ∴ △AOB 的面积为 (3) 由图象可知，当 y₁ > y₂ 时（反比例函数图象在一次函数图象上方）： x 的取值范围为：x < −4 或 0 < x < 1 21. 在学习了二次函数的相关知识后，老师带领同学们开展了一项综合实践活动，下面是某小组尚未完成的活动报告。 主题 二次函数在生活中的应用 研究内容 如图 1，某校校门的截面呈抛物线形，经测量可知，该校门长 20m，高 5m（最高点到地面的距离）。国庆前夕，该校拟在图 1 所示的校门上悬挂 “欢度国庆” 四个大字的矩形牌匾，要求居中悬挂，悬挂点在校门上，下沿与水平地面平行。 数据收集 从牌匾设计方获知，设计的牌匾长 8m，高 1.2m。 研究过程 以水平地面所在截线为 x 轴，校门的对称轴为 y 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系。 示意图 安全要求 为了通车与行人安全，牌匾底部距离水平地面应不小于 2.8m。 探究问题 (1) 结合 “研究过程”，求校门所在抛物线的解析式； (2) 按设计参数悬挂该牌匾，能否达到 “安全要求”？说明理由。 解：(1) 由题意，校门宽 20m，高 5m，以地面为 x 轴、对称轴为 y 轴建立坐标系： 抛物线经过点 (−10, 0)、(10, 0)，顶点为 (0, 5) 设抛物线解析式为 y = ax² + c ∵ 顶点为 (0, 5)，∴ c = 5，即 y = ax² + 5 将点 (10, 0) 代入：0 = a × 100 + 5 a = − ∴ 抛物线的解析式为 y = −x² + 5 (2) 牌匾长 8m，居中悬挂，所以牌匾左右边缘分别为 x = −4 和 x = 4 当 x = 4 时：y = −× 16 + 5 = 4.2 即牌匾顶部（悬挂点）离地面高度为 4.2m 牌匾高 1.2m，∴ 牌匾底部离地面高度 = 4.2 − 1.2 = 3.0m ∵ 3.0m > 2.8m ∴ 能达到"安全要求"。 五、解答题（三）（每题 12 分，共 24 分） 22. 小明同学在学习一元二次方程根与系数之间的关系时阅读到课本中的材料： 一元二次方程根与系数的关系，还可以用如下方法得出：如果一元二次方程 ax²+bx+c=0 的左边可以分解因式为 a (x−x₁)(x−x₂)，那么方程 ax²+bx+c=0 的两个根为 x₁、x₂。反过来，如果一元二次方程 ax²+bx+c=0 的两个根为 x₁、x₂，那么 ax²+bx+c=a (x−x₁)(x−x₂)，即 ax²+bx+c=ax²−a (x₁+x₂) x+ax₁x₂，由此可得−a (x₁+x₂)=b，ax₁x₂=c。因此 x₁+x₂=−，x₁x₂= 。 小明同学尝试类比一元二次方程来探究一元三次方程的根与系数的关系；以下是探究过程： 【初步感知】 （1） 已知一元三次方程 x³−8x²+19x−12=0 的三个根为 1，3，4，计算可得： ①三个根的和 1+3+4=8；②每两个根的乘积之和 1×3+1×4+3×4=19；③三个根的积 1×3×4=12。 观察计算结果，思考与原方程系数 1，−8，19，−12 之间的关系并完成下面的填空： 一般地，若一元三次方程 ax³+bx²+cx+d=0 (a≠0) 的三个根为 x₁,x₂,x₃，则 x₁+x₂+x₃=_________，x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=______________，x₁・x₂・x₃=________。（用含 a,b,c,d 的代数式表示） （2） 【推理证明】请你类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，证明（1）中的结论； （3）【灵活运用】若已知关于 x 的一元三次方程 x³−3x²+ax+b=0 的三个实数根 x₁,x₂,x₃按从小到大排列依次为 x₁≤x₂≤x₃，且 x₂−x₁=x₃−x₂，求实数 a 的最大值。 解：（1）即 x₁ + x₂ + x₃ = − x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = x₁·x₂·x₃ = − (2) 证明：设一元三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0（a ≠ 0）的三个根为 x₁, x₂, x₃ 则 ax³ + bx² + cx + d = a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃) 展开右边= a[(x − x₁)(x² − (x₂+x₃)x + x₂x₃)] = a[x³ − (x₂+x₃)x² + x₂x₃x − x₁x² + x₁(x₂+x₃)x − x₁x₂x₃] = a[x³ − (x₁+x₂+x₃)x² + (x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃)x − x₁x₂x₃] = ax³ − a(x₁+x₂+x₃)x² + a(x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃)x − ax₁x₂x₃ 比较两边对应系数： b = −a(x₁+x₂+x₃)，∴ x₁+x₂+x₃ = − c = a(x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃)，∴ x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃ = d = −ax₁x₂x₃，∴ x₁x₂x₃ = − 证毕。 (3) 解：由（1）中的结论，对于方程 x³ − 3x² + ax + b = 0： x₁ + x₂ + x₃ = − = 3 x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = = a x₁x₂x₃ = − = −b ∵ x₂ − x₁ = x₃ − x₂（三个根成等差数列） 设公差为 d（d ≥ 0），则： x₁ = x₂ − d，x₃ = x₂ + d 由 x₁ + x₂ + x₃ = 3： (x₂ − d) + x₂ + (x₂ + d) = 3 3x₂ = 3，x₂ = 1 ∴ x₁ = 1 − d，x₂ = 1，x₃ = 1 + d ∴ a = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = (1−d)×1 + (1−d)(1+d) + 1×(1+d) = 1 − d + 1 − d² + 1 + d = 3 − d² ∵ d² ≥ 0 ∴ a = 3 − d² ≤ 3 当 d = 0 时，a 取得最大值 3 （此时 x₁ = x₂ = x₃ = 1，方程为 (x−1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1 = 0，满足 a = 3，b = −1） 23. 如图，抛物线 y=x²+bx+c 与 x 轴交于 A (−1,0)、B (3,0) 两点，且与 y 轴交于点 C。 （1） 求抛物线表达式； （2） 连接 BC，若点 M 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 AM、CM，当△ACM 是等腰三角形时，求 M 的坐标； （3）若点 D 是 x 轴上的动点，点 E 是抛物线上的动点，是否存在以点 A、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。 解：(1) ∵ 抛物线 y = x² + bx + c 经过 A(−1, 0) 和 B(3, 0) ∴ 可设 y = (x + 1)(x − 3) = x² − 2x − 3 ∴ b = −2，c = −3 抛物线表达式为 y = x² − 2x − 3 (2) 抛物线 y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4，对称轴为 x = 1 设 M(1, m) A(−1, 0)，C(0, −3) 计算各边长的平方： AC² = (−1 − 0)² + (0 − (−3))² = 1 + 9 = 10 AM² = (−1 − 1)² + (0 − m)² = 4 + m² CM² = (0 − 1)² + (−3 − m)² = 1 + (m + 3)² = m² + 6m + 10 分三种情况讨论： 情况一：AC = AM AC² = AM² 10 = 4 + m² m² = 6 m = ±√6 ∴ M₁(1, √6)，M₂(1, −√6) 情况二：AC = CM AC² = CM² 10 = m² + 6m + 10 m² + 6m = 0 m(m + 6) = 0 m = 0 或 m = −6 当 m = 0 时，M₃(1, 0) 当 m = −6 时，M(1, −6) ∵A(−1, 0)，C(0, −3)，M(1, −6)，A、C、M 共线： ∴ 不能构成三角形，舍去 情况三：AM = CM AM² = CM² 4 + m² = m² + 6m + 10 4 = 6m + 10 6m = −6 m = −1 ∴ M₄(1, −1) 综上，满足条件的点 M 的坐标为：(1, √6)、(1, −√6)、(1, 0)、(1, −1) (3) 存在。 (4) 设 D(d, 0)（D 在 x 轴上），E(e, e² − 2e − 3)（E 在抛物线上） A(−1, 0)，C(0, −3) 以 A、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： 情况一：AC 和 DE 为对角线（即 A + C = D + E，A、C横坐标之和等于D、E横坐标之和，A、C纵坐标之和等于D、E纵坐标之和） (−1 + 0, 0 + (−3)) = (d + e, 0 + e² − 2e − 3) (−1, −3) = (d + e, e² − 2e − 3) ∴e² − 2e − 3 = −3，e² − 2e = 0，e = 0 或 e = 2 当e = 0 时，d = −1 − 0 = −1，D(−1, 0) = A（重合，舍去） e = 2 时，d = −1 − 2 = −3，D(−3, 0)，E(2, −3) ✓ 情况二：AD 和 CE 为对角线（即 A + D = C + E） (−1 + d, 0) = (0 + e, −3 + e² − 2e − 3) e = −1 + d 且 e² − 2e − 6 = 0 e = (2 ± √28)/2 = 1 ± √7 e = 1 + √7 时，d = 2 + √7，D(2 + √7, 0) ✓ e = 1 − √7 时，d = 2 − √7，D(2 − √7, 0) ✓ 情况三：AE 和 CD 为对角线（即 A + E = C + D） (−1 + e, e² − 2e − 3) = (0 + d, −3 + 0) d = −1 + e 且 e² − 2e − 3 = −3 e² − 2e = 0，e = 0 或 e = 2 e = 0 时，d = −1，D(−1, 0) = A（重合，舍去） e = 2 时，d = 1，D(1, 0)，E(2, −3) ✓ 综上，存在满足条件的点 D，其坐标为： (−3, 0)、(1, 0)、(2 + √7, 0)、(2 − √7, 0) 学科网（北京）股份有限公司 $