平抛运动临界极值问题及类平抛 讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理讲义通过逻辑框架系统梳理平抛运动临界极值问题及类平抛运动知识体系，从问题界定、临界特征到分析方法层层递进，结合典型例题与基础练习呈现知识脉络，突出临界极值的三种特征及类平抛运动的运动分解方法，体现重难点内在联系。 讲义亮点在于结合生活情境设计例题，如“刀削面平抛”“青蛙跳跃”等，引导学生通过模型建构将实际问题抽象为物理模型，培养科学思维。分层练习覆盖基础与提升，帮助学生掌握临界条件分析、运动分解等科学推理方法，支持不同层次学生自主复习，为教师精准教学提供系统资源。

平抛运动临界极值问题及类平抛讲义 1、 临界极值问题 1. 问题界定 平抛运动的临界极值问题主要涉及确定物体在平抛运动中恰好落在目标区域内的最小速度和最大速度对应的落点。 这类问题主要是确定落点和抛出点的水平和竖直距离，当确定了水平和竖直距离后，就可以通过竖直距离求时间，进而求出临界或者速度范围。 2. 常见的“三种”临界特征 (1) 有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程中存在着临界点。 (2) 若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起、止”点，而这些起、止点往往就是临界点。 (3) 若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。 3. 平抛运动临界极值问题的分析方法 (1) 确定研究对象平抛运动过程以及抛出点，即确定研究对象在哪段运动过程是平抛运动以及平抛运动的抛出点。 (2) 根据题意确定临界点。根据题目意思确定物体平抛运动目标区域的落点。 (3) 确定临界轨迹，画出轨迹示意图。在抛出点和落点之间画出轨迹示意图（抛物线），抛出点和落地点间的直线段为位移。 (4) 应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。将位移分解为竖直和水平方向位移，根据已知条件列出速度和位移公式。 4. 典型例题 例1 中国面食文化博大精深，“刀削面”的历史最早可以追溯到元朝，其制作方式可用平抛运动的模型来进行分析。如图所示，古人在制作刀削面时面团距离锅的高度h＝0.45 m，与锅沿的水平距离L＝0.3 m，锅的半径也为L＝0.3 m，“刀削面”在空中的运动可看作平抛运动，重力加速度g＝10 m/s2。求： (1) 面片在空中运动的时间； (2) 面片恰好落在锅中心O点时的速度大小(结果可带根号)； (3) 为保证削出的面片都落在锅内，削出的面片初速度v0大小的取值范围。 解析 （1）刀削面面片会落入锅中，所以整个平抛运动竖直方面的位移一直是h，则可由竖直方向位移来求空中运动的时间。 根据平抛运动特点，竖直方向上位移h＝gt2 得t＝＝0.3 s。 （2） 面片落在锅中心O点，则轨迹如上图所示，则这时水平方向位移为2L，竖直方向位移仍为h。 落在锅中心O点时的水平速度大小v01＝＝2 m/s； 竖直方向速度大小vy＝gt＝3 m/s； 恰好落在锅中心O点时的速度大小v＝＝ m/s。 （3）面片都落入锅中，意味着目标落点在左边锅沿和右边锅沿之间，那此时面片水平位移的范围为L<x<3L 由平抛运动特点，有x＝v0t 代入数据得1 m/s<v0<3 m/s。 5. 基础练习 （1） 如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不计空气阻力。则v的取值范围是(　　) A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s C.3 m/s<v<7 m/s D.2.3 m/s<v<3 m/s （2） 如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　) A.荷叶a B.荷叶b C.荷叶c D.荷叶d （3） 如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　) A. B. C. D.(＋1)D 2、 类平抛运动 1、 定义：具有一定方向的初速度、合外力恒定且合外力方向与初速度方向垂直的运动。 2、 性质：（1）有一定方向的初速度，不一定是水平方向； （2）合外力恒定且方向与初速度方向垂直。 3、 运动情况： 既然合外力恒定，则加速度恒定，所以物体做匀变速曲线运动。且既然合外力方向和初速度方向垂直，则物体参与了两个方向的运动：一个方向是和初速度方向相同的运动，这个方向因为没有力的作用，所以为匀速直线运动；一个方向是和合外力方向相同的运动，这个方向初速度为0，则为初速度为0的匀加速直线运动。即类平抛运动可分解为： (1) 沿初速度方向的匀速直线运动； (2) 垂直初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动。 4、 运动轨迹：一个方向为匀速直线，另外一个方向为初速度为0的匀加速直线运动，则物体运动轨迹为抛物线。且因为初速度方向和合外力方向垂直，所以类似平抛运动。 5、 基本公式： 这里可以设沿初速度方向的运动为x方向的运动，垂直于初速度即沿合外力方向的运动为y方向的运动。则 (1) 速度公式 x方向做匀速直线：vx=v0；y方向做初速度为0的匀加速：vy=at，a= 大小v＝= 方向：tanɑ= = (ɑ为v与x方向的夹角) (2) 位移公式 x方向：x=v0t；y方向：y=at2 s＝ 方向：tan β＝ （β为s与x方向的夹角） (3) 轨迹方程 位移公式x和y两式消去时间t，可得类平抛运动的轨迹方程为 y＝ 注意：因为速度和位移公式都和平抛类似，所以平抛的推论适用于类平抛， 即tanɑ=2tan β以及速度的反向延长线交于x方向位移的中点。 6、 类平抛题目的处理方式 （1） 确认物体做类平抛运动：若一个物体具有初速度、合外力（不是重力）恒定且合外力方向与速度方向垂直，则物体做类平抛运动； （2） 根据受力情况求出加速度：根据受力情况求出物体的合外力，根据牛顿第二定律求出受力方向的加速度大小； （3） 根据速度和位移公式通过已知量求解未知物理量：若初速度和x方向位移已知，则可用x方向位移公式求出物体类平抛运动时间，进而根据速度公式或者位移公式求出速度或y方向位移。 7、 典型例题 例2 如图所示，光滑斜面长L＝10 m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以v0＝10 m/s的初速度水平抛出，g＝10 m/s2。求： (1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x； (2)小球到达斜面底端时的速度大小。 解析 对小球进行受力分析可知，小球重力在垂直于斜面的分力与斜面对小球的支持力平衡，所以小球的合外力为重力在沿斜面方向的分力，如右上图所示。 则 F=mgsin30° 而小球有沿斜面水平方向的初速度v0，速度方向与整个斜面垂直，则意味着小球初速度与合外力方向垂直，则小球的运动为类平抛运动。小球参与了沿水平方向x的匀速直线以及沿斜面y方向的初速度为0的匀加速直线运动； 根据牛顿第二定律，可求出y方向的加速度： a= = gsin30° 又L＝at2，解得t＝＝2 s 所以x＝v0t＝10×2 m＝20 m。 (2)设小球运动到斜面底端时的速度为v，则有 vx＝v0＝10 m/s vy＝＝＝＝10 m/s 故v＝＝10 m/s。 8、 基础练习 （1） 我国建造的航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB为此跑道示意图，其中AO段水平，OB段为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为(　　) A. B. C. D. （2）一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，重力加速度为g，则下列说法不正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为gsinθ C．小球到达B处的水平方向位移大小s＝v0 D．小球从A处到达B处所用的时间为 （3）（多选）如图所示，光滑斜面ABCD为长方形，AB边长为1.2m，BC边长为1.6m，倾角θ＝30°，质量m＝1kg的小球通过长为r＝0.2m的轻绳固定于长方形两条对角线的交点O，将轻绳拉直并使小球在某一位置P（未画出）静止。现给小球一垂直于绳的速度，小球开始做圆周运动，绳子恰好在最低点时断裂且小球刚好能够到达C点。不计阻力，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．轻绳能够承受的最大张力为25N B．轻绳断裂瞬间小球的速度大小为2.5m/s C．到达C点时小球的速度大小为3m/s D．P点一定不会在最高点 学科网（北京）股份有限公司 $