精品解析：河北省邢台市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

河北省邢台市2025-2026学年高二上学期期末数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册（除导数外）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过观察归纳可得. 【详解】将数列整理为：， 考虑数列：， 每一项加1变为：，通项为， 所以所求数列的一个通项公式为． 故选：D 2. 已知抛物线的准线方程为，则（ ） A. 6 B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先表示出抛物线的准线方程，即可得到方程，解得即可. 【详解】抛物线的准线方程为，依题意可得，解得． 故选：C 3. 若直线与互相平行，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件进行求解. 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 当时，两直线重合， 当时，两直线平行． 故选：B. 4. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列性质和前项和公式可得出，计算即可求解. 【详解】因为， 所以． 故选：A 5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积及向量模的坐标表示计算，再利用投影向量的意义求解. 【详解】空间向量，则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 6. 已知双曲线的一条渐近线与垂直，则（ ） A. 3 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线垂直的斜率关系求解可得. 【详解】因为，所以渐近线方程为． 直线的斜率为，且一条渐近线与垂直， 所以，解得． 故选：D 7. 已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得到当最小时，最小，此时与直线垂直，求出圆心到直线的距离，从而得到的最小值. 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径为3． 因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直． 因为圆心到直线的距离为， 所以，故． 答案为：D. 8. 已知数列满足，设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系，利用裂项相消法求和即可. 【详解】因为，所以，且． 当或1时，不符合题意， 所以，所以． 因为， 故，因此， 所以，即，解得． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 圆以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切，为抛物线上的动点，则（ ） A. B. C. 圆与圆相内切 D. 点到点的距离与到点的距离之和的最小值为3 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义与圆的方程求出半径和，判断A、B选项；根据两圆的位置关系判断C选项；根据抛物线定义等于点到准线的距离，问题转化为求的最小值，判断D选项. 【详解】因为，所以圆心为， 故抛物线的焦点， 由，得，所以A不正确，B正确． 因为圆与圆的圆心距，故两圆内含，所以C不正确． 因为为抛物线上的点，为焦点，. 由抛物线定义可知，等于点到准线的距离，记为， 因此，问题转化为求的最小值， 当点的纵坐标与点的纵坐标相等时，该和有最小值，最小值为点到准线的距离， 此时的纵坐标为，代入抛物线方程得，点在抛物线上， 所以最小值为点到直线的距离，即，故D正确. 故选：BD. 10. 某同学暑假抽出最多15天的时间到一家商场勤工俭学．该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付60元；第二种，第1天付6元，从第2天起，每一天比前一天多付6元；第三种，第一天付0.2元，以后每天比前一天翻一番（即增加1倍）．假设该同学工作天，则下列选项正确的是（ ） A. 按第二种方案得到的劳动总报酬为 B. 按第三种方案得到的劳动总报酬为 C. 若，则该同学选择第一种方案得到的劳动总报酬最多 D. 若，则该同学选择第三种方案得到的劳动总报酬最多 【答案】ACD 【解析】 【分析】按第一种方案每天得到的劳动报酬构成常数列；按第二种每天的报酬构成等差数列，利用等差数列的求和公式求解，按第三种每天的报酬构成等比数列，利用等比数列的求和公式求解，从而得到结论. 【详解】第一种，每天支付60元，则按第一种方案得到的劳动总报酬为； 第二种，第1天付6元，从第2天起，每一天比前一天多付6元；则每天的报酬构成首项为，公差为的等差数列， 则按第二种方案得到的劳动总报酬为，即A正确； 第三种，第一天付0.2元，以后每天比前一天翻一番（即增加1倍）， 则每天的报酬构成首项为，公比为的等比数列， 则按第三种方案得到的劳动总报酬为，即B不正确． 因为，，， 所以若，则选择第一种方案得到的劳动总报酬最多，故C正确． 因为， 所以选择第三种方案得到的劳动总报酬最多，故D正确． 故选：ACD. 11. 如图，在三棱锥中，平面分别是的中点，则（ ） A. 平面 B. 与平面可能平行 C. 与可能垂直 D. 与平面可能垂直 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理判断A；记的中点为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，通过判断与平面的法向量能否垂直判断B；通过能否成立，判断C；通过判断与平面的法向量能否平行判断D.或将三棱锥放入长方体中，根据长方体的性质逐项判断. 【详解】方法一：记的中点为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则． 设， 则． 对于A，因为平面平面，所以． 因为，所以平面，故A正确． 对于B，设平面的法向量为， 因为， 所以 令，得． 若与平面平行，则．因为，所以B错误． 对于，若与垂直，则． 因为可能有解，所以C正确． 对于D，平面的一个法向量为， 若与平面垂直，则． 因为，所以D错误． 故选：AC. 方法二：如图，将三棱锥放入长方体中， 由长方体的性质易知，平面，所以A正确． 取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以，所以平面. 若平面，则平面平面，但明显与不平行， 所以与平面不可能平行，故B不正确． 作，垂足为，则平面， 所以与平面不可能垂直，故不正确． 连接，若，则平面， 此时，而是有可能成立的，所以C正确． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列满足，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，分别求得的值，得到数列是周期为4的数列，所以，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以是周期为4的数列. 因为，所以． 故答案为：. 13. 直线恒过定点___________，若直线与圆相交于A，B两点，则|AB|的最小值为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将直线方程变形：，由即可求解，由时，取得最小值，结合弦长公式即可求解. 【详解】可变形为， 由，解得， 所以恒过定点． 记的圆心为，半径为5， 由圆的性质可知：当时，取得最小值， 又, 此时． 故答案为：， 14. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱，，交于点，，，若，以为空间的一个基底，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由空间向量的线性运算得出，，结合空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出答案. 【详解】设，则． 因为A，E，F，G四点共面，且不共线， 所以. 由，解得，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行基本量的计算 （2）根据错位相减法求和计算即可. 【小问1详解】 设数列的首项为，公差为， 所以， 解得， 故的通项公式为． 【小问2详解】 因为， 所以①， ②． ①-②得 ， 故数列的前项和． 16. 已知定点，定直线，过平面内一动点作直线的垂线，垂足为，使． （1）求动点的轨迹方程； （2）若直线与动点的轨迹相交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据条件列关系式， 化简即可； （2）利用点差法可求直线方程. 【小问1详解】 设，因为，所以， 整理得，即动点的轨迹方程为． 【小问2详解】 设，则， 两式相减得， 若，则直线的方程为，显然不可能是线段的中点， 不符合题意； 则． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 直线与动点的轨迹相交，所以直线的方程为． 17. 在数列中，，． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以，，，，， 所以， 又， 所以， 当时也成立， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以 ． 18. 如图，在梯形ABCD中，，过点作于点．将沿BE翻折到的位置，使得平面平面ABED.已知四棱锥的体积为8． （1）证明：． （2）若A，B，D，P在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：在平面ABCD上． （3）求平面PAD与平面PAB的夹角的余弦值． 【答案】（1） 设，因为，所以． 因为平面平面ABED，平面平面，平面，平面， 所以平面ABED， 由四棱锥的体积为8，，， 得，解得，即， 连接AE，在Rt中，． 在Rt中，所以． 因为，所以，即 因为平面平面ABED，所以 因为平面AEP，所以平面， 又平面AEP，所以； （2） 在平面ABCD内作AB的垂直平分线，交于，连接MB，MP． 因为，所以， 因为，所以 ， 因为，所以， 所以A，B，D，P在以为球心，3为半径的球面上， 即与重合，故在平面ABCD上． （3） 【解析】 【分析】（1）先求证平面ABED，进而结合体积可求出，再求证平面即可证出； （2）在平面ABCD内作AB的垂直平分线，交于，求证即可； （3）以为坐标原点建系，计算两个平面的法向量，计算法向量的夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以． 设平面PAD的法向量为， 则，令，则． 设平面PAB的法向量为， 则，令，则． 因为， 所以平面PAD与平面PAB的夹角的余弦值为． 19. 已知分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，，是椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线，分别与直线和相交于D，C两点，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点，记动点的轨迹为． （1）证明：直线与椭圆相切． （2）求动点的轨迹的方程． （3）过点作斜率不为0的直线与相交于点R，S，直线AR与BS的交点为，判断点是否在定直线上． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）点在定直线上 【解析】 【分析】（1）联立直线与椭圆的方程，求出交点，证明即可； （2）令，得坐标，求出直线方程，求出交点，得到动点的轨迹的方程. （3）设直线的方程为，联立方程，借助韦达定理，得到，联立，方程，得到满足的条件即可. 【小问1详解】 由消去整理得， 即，整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即直线与椭圆相切． 【小问2详解】 在方程中，令，得，令，得，. 因为，所以直线①， 因为，所以直线②， 由①×②得． 因为，所以， 所以， 所以动点的轨迹的方程为． 【小问3详解】 设直线的方程为， 由得， 则，所以． 因为直线AR的方程为，直线BS的方程为， 所以， 所以， 解得，即点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省邢台市2025-2026学年高二上学期期末数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册（除导数外）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的准线方程为，则（ ） A. 6 B. 12 C. D. 3. 若直线与互相平行，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的一条渐近线与垂直，则（ ） A. 3 B. C. D. 9 7. 已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 已知数列满足，设，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 圆以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切，为抛物线上的动点，则（ ） A. B. C. 圆与圆相内切 D. 点到点的距离与到点的距离之和的最小值为3 10. 某同学暑假抽出最多15天的时间到一家商场勤工俭学．该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付60元；第二种，第1天付6元，从第2天起，每一天比前一天多付6元；第三种，第一天付0.2元，以后每天比前一天翻一番（即增加1倍）．假设该同学工作天，则下列选项正确的是（ ） A. 按第二种方案得到的劳动总报酬为 B. 按第三种方案得到的劳动总报酬为 C. 若，则该同学选择第一种方案得到的劳动总报酬最多 D. 若，则该同学选择第三种方案得到的劳动总报酬最多 11. 如图，在三棱锥中，平面分别是的中点，则（ ） A. 平面 B. 与平面可能平行 C. 与可能垂直 D. 与平面可能垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列满足，则___________. 13. 直线恒过定点___________，若直线与圆相交于A，B两点，则|AB|的最小值为___________. 14. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱，，交于点，，，若，以为空间的一个基底，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知定点，定直线，过平面内一动点作直线的垂线，垂足为，使． （1）求动点的轨迹方程； （2）若直线与动点的轨迹相交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线的方程． 17. 在数列中，，． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 18. 如图，在梯形ABCD中，，过点作于点．将沿BE翻折到的位置，使得平面平面ABED.已知四棱锥的体积为8． （1）证明：． （2）若A，B，D，P在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：在平面ABCD上． （3）求平面PAD与平面PAB的夹角的余弦值． 19. 已知分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，，是椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线，分别与直线和相交于D，C两点，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点，记动点的轨迹为． （1）证明：直线与椭圆相切． （2）求动点的轨迹的方程． （3）过点作斜率不为0的直线与相交于点R，S，直线AR与BS的交点为，判断点是否在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $