精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学 试题 （数学(六)）

重庆市南开中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（数学（六）） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 下列博物馆中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌 B. 调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意 C. 调查某市中学生课外阅读情况 D. 调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况 4. 在分式中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小鸟①与小鸟②位似，点是它们的位似中心，其中，则小鸟①与小鸟②的面积的比为（ ） A. B. C. D. 6. 骄骄按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有6颗爱心，第②个图有10颗爱心，第③个图有15颗爱心，…，则第⑧个图中爱心的颗数是（ ） A. 55 B. 45 C. 36 D. 28 7. 如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点为圆心，边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在一幅长、宽的年画四周外围都镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画，如果要求年画的面积占整个挂画面积的，则金色纸边的宽度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，连接，，为上两点，连接，，延长至点，使得，连接，，若，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知整式M：，其中，为正整数，，，，均为自然数，下列说法中正确的有（ ） ①若，则； ②当时，若不等式有且只有1个正整数解，则满足条件的整式M唯一； ③若，，则满足条件的三次三项式共有30个． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接搷在答题卡中对应的线上． 11. 在四张完全相同且不透明的纸片正面分别写上2026年春晚吉祥物的名字“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，刚好抽到“骥骥”的概率是__________． 12. 为正整数，若，则__________． 13. 如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为__________． 14. 若实数x，y满足，则的值为__________． 15. 如图，是的直径，是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，并延长交于点，过作交于点，垂足为点，连接，并延长交的切线于点，若，，则的半径__________，__________． 16. 若一个四位数，满足，且加上4得到的四位数满足千位与百位数字之和等于个位与十位数字之差的5倍，称为“有品数”，则__________；将“有品数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数，记，存在整数满足，使为整数，且各数位上的数字满足也为整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 18. 学习了平行四边形后，小骐对另一类四边形进行了研究：在四边形ABCD中，，小骐发现．请根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）小骐过点作（如图）．请你利用尺规作图，过点作，交BC于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 证明：， ①____ （同位角相等，两直线平行）． ∵②______， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． ∴③_____ ， ． 在Rt和Rt中， ． ． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： “星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “星星人”和“拉布布”得分统计表 平均数 中位数 众数 星星人 92 93 a 拉布布 92 b 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）； （3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？ 21. 列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟． （1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； （2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 22. 如图，在矩形中，，连接．点为中点，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿运动．当点到达点时，P、Q两点同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为的面积为的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. “渝超”足球联赛赛季正如火如荼进行中．如图，A，B，C，D在同一平面内．在某次进攻回合中，球员乙在处发任意球，球员甲、丙、丁分别位于处、处、处接球．已知位于的北偏东方向，且位于的北偏东方向40米处，位于的北偏西方向上，位于的正东方向，且位于的南偏东方向上．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）当丙在处接到乙传球后立即沿方向跑动，同时甲从处沿方向朝球员丁跑动．在甲与丁相遇前某时刻，丙将球传给了甲，此时甲与丙刚好相距30米，若甲速度为丙速度的3倍，请问此时球员丙离开处多少米（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，其中． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是线段下方抛物线上的一动点，连接交线段于点E，过点B作直线交拋物线于点D，点F是x轴上的动点，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点D向右平移一个单位长度得到点，点K为拋物线上的一动点并在拋物线的对称轴右侧，过点K作直线交抛物线于点Q．连接，若，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，在延长线上取一点，在上取一点，连接． （1）如图1，若，过作于，在上取点，使得，连接，若，求的度数； （2）如图2，过点作于点，在上取一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长，在延长线上取点，连接，使得，若，，，求证：； （3）如图3，若，，点恰为的中点，将绕点逆时针旋转至，连接、，与交于点，点，分别是边，上的动点，且，当取得最大值时，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市南开中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（数学（六）） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 下列博物馆中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，结合图形，找出对称轴是关键，轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、该图形没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形有对称轴，是轴对称图形，符合题意； 故选：D ． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌 B. 调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意 C. 调查某市中学生课外阅读情况 D. 调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的识别，根据全面调查与抽样调查的概念结合选项判定即可． 【详解】解：A、调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌，适合运用抽样调查，不符合题意； B、调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意，适合运用抽样调查，不符合题意； C、调查某市中学生课外阅读情况，适合运用抽样调查，不符合题意； D、调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况，适合运用全面调查，符合题意； 故选：D． 4. 在分式中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为零是解题的关键．根据分式的分母不能为零列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 分式 有意义需分母不为零， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 5. 如图，小鸟①与小鸟②位似，点是它们的位似中心，其中，则小鸟①与小鸟②的面积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意得到相似比为，再由面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：小鸟①与小鸟②位似，点是它们的位似中心，其中， ∴， ∴， ∴小鸟①与小鸟②的面积的比为， 故选：D ． 6. 骄骄按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有6颗爱心，第②个图有10颗爱心，第③个图有15颗爱心，…，则第⑧个图中爱心的颗数是（ ） A. 55 B. 45 C. 36 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律问题，根据已有图形归纳出规律是解题的关键．根据前三个图案中爱心的颗数，发现：其中第①个图有6颗爱心，第②个图有10颗爱心，第③个图有15颗爱心，…，第n个图案中有颗爱心，再令代入计算即可． 【详解】解：第①个图案中有颗心， 第②个图案中有颗心， 第③个图案中有颗心， …… 第n个图案中有颗心， 当时，有颗爱心， 故选：A． 7. 如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点为圆心，边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，正多边形的性质，扇形面积的计算，根据题意得到，则，再根据扇形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A ． 8. 在一幅长、宽的年画四周外围都镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画，如果要求年画的面积占整个挂画面积的，则金色纸边的宽度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题关键．设金色纸边宽度为，则挂画的长和宽分别为和，根据年画面积占挂画面积列方程求解，即可得答案． 【详解】解：设金色纸边宽度为， ∵一幅长、宽的年画四周外围都镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画， ∴年画面积为，挂画面积为， ∵年画面积占挂画面积， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴金色纸边宽度为． 故选：B． 9. 如图，在正方形中，连接，，为上两点，连接，，延长至点，使得，连接，，若，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，，连接交于点，设交于点，设，由旋转的性质可得，，则，因此，由勾股定理可得，．容易证明，则，进而计算出，．由平行可判定，根据相似三角形的性质可证明点为中点，结合可证明点为中点，因此四边形是平行四边形，则，最后求出的值． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，连接交于点，设交于点，设， 由旋转的性质可得，， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴，，，，，， ∴， ∵，， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，利用旋转构造全等三角形是解题关键． 10. 已知整式M：，其中，为正整数，，，，均为自然数，下列说法中正确的有（ ） ①若，则； ②当时，若不等式有且只有1个正整数解，则满足条件的整式M唯一； ③若，，则满足条件的三次三项式共有30个． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的性质，不等式的性质，熟练掌握整式的性质及不等式的性质是关键． ①根据为正整数，可得不等式，即，再结合，，，均为自然数，即可得到结论； ②当时，确定整式M的形式，再结合不等式的情况判断整式是否唯一； ③根据三次三项式的条件，确定各项系数的取值，然后计算满足条件的整式个数即可． 【详解】解∶①， ， 为正整数， ， ， ， 又，，，都为自然数， ，，，中至少有一个为0， ， 故①正确； ②当时，整式，不等式，即， 因为不等式有且只有1个正整数解，且为正整数，为自然数， 当时，，即，要使不等式有且只有1个正整数解，则， 解得， 又因为为自然数， 所以，此时整式， 当时，不等式的没有正整数解， 所以满足条件的整式唯一，故②正确； ③是三次三项式， ， 整式，且，， 是三次三项式，且为正整数， ，，中有且只有1个为0， 当时，满足条件的组合有共个， 当时，满足条件的组合有共9个， 当时，满足条件的组合有共3个， 所以满足条件 和  的三次三项式共有（个）， 故③正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接搷在答题卡中对应的线上． 11. 在四张完全相同且不透明的纸片正面分别写上2026年春晚吉祥物的名字“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，刚好抽到“骥骥”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，根据概率的定义，总共有4种等可能的结果，抽到“骥骥”只有1种情况，因此概率为． 【详解】解：总共有4张纸片，每一张被抽到的可能性相同，其中写有“骥骥”的纸片只有1张， ∴抽到“骥骥”的概率为， 故答案为：． 12. 为正整数，若，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的取值范围，解题的关键是掌握估计无理数取值的方法． 通过比较平方数，确定的整数部分． 【详解】解：因为，根据算术平方根的性质，有， 因此 故答案为：3． 13. 如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合题意得到，由，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 14. 若实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 15. 如图，是的直径，是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，并延长交于点，过作交于点，垂足为点，连接，并延长交的切线于点，若，，则的半径__________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，，分别过点、作的垂线，垂足为、，作，垂足为，设，由两角对应相等可证明，则，从而得到直径．由折叠可推断，所在的圆与是等圆，根据圆周角定理可得，，则．容易证明，根据相似三角形的性质和线段关系，依次表示出和，在直角中，使用勾股定理构造方程，求出的值，进而计算出，，．由切线的性质，可证明四边形是矩形，则．容易证明，根据相似三角形的性质求出，最后求出． 【详解】解：如图，连接，，分别过点、作的垂线，垂足为、，作，垂足为，设， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，所在的圆与是等圆， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在直角中，， ∴， 化简，得， ∵， ∴，解得，， ∴，， ∴， 在直角中，， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，由翻折推断出等圆是解题关键． 16. 若一个四位数，满足，且加上4得到的四位数满足千位与百位数字之和等于个位与十位数字之差的5倍，称为“有品数”，则__________；将“有品数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数，记，存在整数满足，使为整数，且各数位上的数字满足也为整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 【答案】 ①. 10 ②. 1811 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解新概念是解题的关键． 由条件“M加上4得到的四位数满足千位与百位数字之和等于个位与十位数字之差的5倍”结合“”推导出，从而﹒再根据的定义及整数k的条件，求出各d对应的k值，进而由分式为整数的条件确定a的值，得到所有满足条件的M，最后找出最大值与最小值并求差﹒ 【详解】解：由M加上4后千位与百位数字之和等于个位与十位数字之差的5倍， 即， ∵， ∴， 得， 故﹒ 由，得， ∵且， ∴． ∵，， 故， ∵，， ∴﹒ 要求存在整数使为整数， 即为整数， ∴需为整数， 对d取值求解k： 时，； 时，； 时，； 时，； 时，或﹔ 时，﹒ 分式需为整数； ∵， ∴， ∴； 代入各d及k值： 当，时，分式均为，仅时为整数，对应． 当时： 若，分式为，仅时为整数，﹔ 若，分式为， 要求是整数，则为84的约数且在11∼19间， 则得或8，对应． 当，时，分式为， 同理得或8，对应，8275． 所有满足条件的M：6464，6475，7320，7331，7342，7353，7364，8264，8275． 最大值为8275，最小值为6464，差值为． 故答案为10；1811． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 【答案】，，数轴表示见解析，，、、0． 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、解不等式组、不等式组的整数解、在数轴上表示一元一次不等式组的解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解决本题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，然后写出整数解即可解答． 【详解】解：①， ， ， ， ； ②， ， ， ； 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如下： ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，，0． 18. 学习了平行四边形后，小骐对另一类四边形进行了研究：在四边形ABCD中，，小骐发现．请根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）小骐过点作（如图）．请你利用尺规作图，过点作，交BC于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 证明：， ①____ （同位角相等，两直线平行）． ∵②______， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． ∴③_____ ， ． 在Rt和Rt中， ． ． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作已知直线的垂线，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识． （1）根据经过直线外一点作已知直线的垂线的做法作图即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，得到，再根据“”证明，即可证明． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 作法：①在直线另一侧取点K，以D为圆心，为半径作弧，交于点M、N； ②分别以M、N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P， ③作直线交于点F，则即为所求； 证明：由作图可得， ∴点D，P都在线段的垂直平分线上， ∴， 即； 【小问2详解】 证明：， ① （同位角相等，两直线平行）． ∵②， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． ∴③； ， ． 在和中， ． ． 故答案为：①,②，③，④ 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，实数的运算，根据分式的运算法则，单项式乘以多项式和完全平方公式的法则进行计算，再根据实数的运算法则求出的值，然后代入化简后的式子中，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 20. 泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： “星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “星星人”和“拉布布”得分统计表 平均数 中位数 众数 星星人 92 93 a 拉布布 92 b 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）； （3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？ 【答案】（1），，； （2）消费者更喜欢“拉布布”， “拉布布”的得分中，中位数和众数均大于“星星人”的得分的中位数和众数， ∴消费者更喜欢 “拉布布”； （3）300 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计，掌握中位数，众数，样本估算总体数量的计算是关键． （1）根据众数，中位数，样本百分比的计算方法求解即可； （2）根据中位数、众数作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可． 【小问1详解】 解：“星星人”的得分中，94分出现次数最多， ∴， “拉布布”A组的人数：（人）， B组的人数：（人）， C组的人数：6人， D组的人数：（人）， ∴中位数是第10，11人的得分的平均数，即， ∴，即， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在人流量会达到1000人中，对“拉布布”打分不低于95分的顾客有（人）， 有的人会购买“拉布布”， ∴购买“拉布布”的人数为（人）． 21. 列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟． （1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； （2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【答案】（1）制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟 （2）升级后制作一对“一字扣”需20分钟 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用等知识． （1）设制作一对“花扣”需要x分钟，根据制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟列出方程，解方程即可求解； （2）设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟，根据50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的列分式方程，解分式方程即可求解． 【小问1详解】 解：设制作一对“花扣”需要x分钟，则制作一对“一字扣”需分钟． 由题意得， 解得， ． 答：制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟； 【小问2详解】 解：设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟， 由题意得， 整理得， 去分母得， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴分钟． 答：升级后制作一对“一字扣”需20分钟． 22. 如图，在矩形中，，连接．点为中点，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿运动．当点到达点时，P、Q两点同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为的面积为的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1），． （2）函数图像见解析，的性质：当时，随 x 增大而增大；当 时，随 x 增大而减小（不唯一合理即可）． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例综合、矩形的性质、画函数图像、函数与不等式等知识点，掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键． （1）分点 P 在 上和点 P 在上两种情况，分别根据矩形的性质以及三角形的面积公式可求出的函数解析式，同时根据等高三角形的面积之比为底之比求得的函数解析式； （2）直接运用描点、连线的方法画出的图像，再根据函数图像写出函数的性质即可； （3）的x的取值范围，即的函数图像在上方对应x的取值范围，据此根据函数图像写出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：① 当点 P 在 上时，即，，， ∵在矩形ABCD中，， ∴，，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴的面积 ， ∵边与边上的高相等， 的面积为的面积为． ∴，即； ② 当点 P 在上时，即，，， ∴的面积 ， ∵边与边上的高相等， 的面积为的面积为． ∴，即； 综上，，． 【小问2详解】 解：画出的图像如图所示． 的性质：当时，随 x 增大而增大；当 时，随 x 增大而减小． 【小问3详解】 解：当时，通过图像分析，x的取值范围近似为：． 23. “渝超”足球联赛赛季正如火如荼进行中．如图，A，B，C，D在同一平面内．在某次进攻回合中，球员乙在处发任意球，球员甲、丙、丁分别位于处、处、处接球．已知位于的北偏东方向，且位于的北偏东方向40米处，位于的北偏西方向上，位于的正东方向，且位于的南偏东方向上．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）当丙在处接到乙传球后立即沿方向跑动，同时甲从处沿方向朝球员丁跑动．在甲与丁相遇前某时刻，丙将球传给了甲，此时甲与丙刚好相距30米，若甲速度为丙速度的3倍，请问此时球员丙离开处多少米（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）米 （2）球员丙离开处米 【解析】 【分析】（1）根据题意，，，，米，过点作于点，则，再根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质即可求解； （2）根据题意是等边三角形，点分别表示丙，甲，设秒时甲与丙刚好相距30米，设丙的速度为，则甲的速度为，根据含30度角的直角三角形的性质得到，则，，，在中，由勾股定理得，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 根据题意，，，，米， ∴，， ∴， 在中，， 过点作于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴（米），（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：如图所示，，， ∴，即是等边三角形， ∴米， 根据题意，点分别表示丙，甲，设秒时甲与丙刚好相距30米，设丙的速度为，则甲的速度为， ∴，，则，， 过点作于点， ∵， ∴，则，， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，， 当时，米，米， 当时，米，米，不符合题意，舍去； ∴球员丙离开处米． 【点睛】本题主要考查方位角，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，其中． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是线段下方抛物线上的一动点，连接交线段于点E，过点B作直线交拋物线于点D，点F是x轴上的动点，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点D向右平移一个单位长度得到点，点K为拋物线上的一动点并在拋物线的对称轴右侧，过点K作直线交抛物线于点Q．连接，若，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）先求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，直线的解析式为；通过相似三角形的判定与性质证得，从而得到，当最大时，的值最大；设，，表示出的长度，将的长度转化为二次函数求得当时，最大，即的值最大，此时，利用正弦的定义可得出，当点P，F，H三点共线时，且当时，的值最小，通过相似三角形的判定与性质得出相关线段的长度，从而求得结果； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，再求出点的坐标，设点，求出直线的解析式为，联立新抛物线解析式求出点Q的坐标表达式；根据已知条件求出，由，得出， 此时分情况讨论：①当点Q在下方时；②当点Q在上方时，通过构造辅助线，利用正切的定义，平行线的性质，三角形外角的定义及勾股定理分别求出不同情况下点Q的横坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交点C， ∴，即， ∵， ∴，，即，， ∵抛物线与x轴交点A，B， 将点A，B代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点A，C分别代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∵，且过点， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点M，过点B作轴交延长线于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵与点N的横坐标相同， ∴，， ∴， 当最大时，的值最大， 设，， ∴， 当时，最大，即的值最大，此时， 如图，过点F作交于点H，过点D作轴交点S， 联立，解得或， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴在中，，即， ∴， 当点P，F，H三点共线时，且当时，的值最小， 延长交于点T，当时， ∵，轴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∵与点T的横坐标相同，且点T在直线上， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 解：∵抛物线沿方向平移个单位， ∴向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到， ∴， 由（2）知，， ∵点D向右平移一个单位长度得到点， ∴， 设点， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或， ∴或（与点K重合，不符合题意，舍去）， ∵，， ∴， ∵， ∴， 此时分情况讨论： ①当点Q在下方时： 如图，作点关于x轴的平行线，交的延长线于点H，交x轴于点R，过点H作轴于点G， ∴， ∵直线交x轴于点R， 令，则， ∴，即， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点Q的横坐标为； ②当点Q在上方时： 如图，过点Q作轴，与x轴交点L， ∵， ∴， 又∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点，Q，J三点共线，即轴， ∴， 联立，解得，（不合题意，舍去）， ∴点Q的横坐标为， 综上所述，点Q的横坐标为或． 25. 在中，在延长线上取一点，在上取一点，连接． （1）如图1，若，过作于，在上取点，使得，连接，若，求的度数； （2）如图2，过点作于点，在上取一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长，在延长线上取点，连接，使得，若，，，求证：； （3）如图3，若，，点恰为的中点，将绕点逆时针旋转至，连接、，与交于点，点，分别是边，上的动点，且，当取得最大值时，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求出，结合外角的性质可得，．容易证明，则； （2）过点作的平行线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接、，结合平行和题干条件可证明，则点为中点．根据直角三角形的性质可得，，结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质可证明．根据含角的直角三角形的性质可得，，容易证明，则，命题得证； （3）先分析取得最大值的情况，取线段的中点，连接、，容易证明，则，因此，当、、三点共线时， 最大．当线段过点时，点与点重合，作，垂足为，作，垂足为，作，垂足为，过点作的垂线，交的延长线于点，设，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理，依次计算出，，则．在直角坐标系中构造点，，以及轴上的动点，根据勾股定理可得， ，因此最小时，最小．根据线段公理，当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作的平行线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接、， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点为中点， ∵，， ∴，都是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 同理，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， 又∵是的外角， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， 由旋转的性质可得，， 在和中， ， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：先分析最大的情况，如图，取线段的中点，连接、， 由旋转的性质可知，， ∵点是线段的中点， ∴，即， ∵点是线段的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当线段过点，即、、三点共线时，最大，此时最大． 当线段过点时，如图，点与点重合，作，垂足为，作，垂足为，作，垂足为，过点作的垂线，交的延长线于点，设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 同理，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， 在直角中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在直角中， ， ∴ ， 下面构造几何图形计算的最小值， 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上一个动点，连接、、， 由勾股定理可得，，， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即的最小值为， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，旋转的性质，线段和最值问题，以及勾股定理，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $