4.1认识三角形寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版七年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

4.1认识三角形寒假预习讲义（北师大版） ☛ 预习内容速览 1. 课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3. 聚焦题型★提升能力 4.强化巩固★过关演练 ⛳ 课前预习★目标 ●能准确说出三角形的定义，识别三角形的顶点、边、内角，掌握“△ABC”的表示方法，区分“边AB”与“角∠A”的书写规范； ●熟记三角形按边（不等边、等腰、等边）和按角（锐角、直角、钝角）的分类标准，能结合图形或数据判断三角形类型； ●掌握三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），能快速判断三条线段能否围成三角形；初步了解三角形内角和为180°（为后续学习铺垫）； ●通过观察生活中的三角形实例（如屋顶框架、自行车三角架），感受三角形在建筑、生活中的稳定性作用，体会几何图形与现实生活的联系； ☘ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】三角形的定义 （1）定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （2）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点． 【重点提醒】 ①三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”； ②三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【知识点2】三角形的三边关系（重点知识） 定理：三角形任意两边之和大于第三边． 推论：三角形任意两边的之差小于第三边． 【重点提醒】①理论依据：两点之间线段最短； ②三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围；③证明线段之间的不等关系． 【知识点3】三角形的分类（重点掌握） 分类标准 类型 核心特征 备注 按边分类 不等边三角形 三条边都不相等 - 等腰三角形 有两条边相等 相等的两边为腰，第三边为底边，等边三角形是特殊的等腰三角形 等边三角形 三条边都相等 又称正三角形，属于等腰三角形的范畴 按角分类 锐角三角形 三个角都是锐角 （＜90°） - 直角三角形 有一个角是直角（=90°） 直角所对的边为斜边，其余两边为直角边。 钝角三角形 有一个内角是钝角 （90°<角＜180°） - 【重点提醒】 等腰三角形：相等的两边都叫做腰，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角； 【知识点4】三角形的三条重要线段（核心考点） 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． （或∠ADC＝∠ADB＝90°） 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． （或∠ADB＝∠ADC＝90°） 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 【知识点5】三角形的内角（核心知识） 1．三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°． 2．直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形． 【重点提醒】如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形． 【知识点6】三角形的外角 3．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．                                                                   4．4.性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 5．三角形的外角和：三角形的外角和等于360°（可以理解成一个圆周为360度）． ✏ 聚焦题型★提升能力 题型1三角形的识别与有关概念 【例1】．在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 【变式1】．如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计数，熟练掌握按顶点分类计数、不重复不遗漏地数出所有角是解题的关键．先按顶点分类，依次找出以点、、、、为顶点的所有小于平角的角，再将各类角的数量相加得到总数． 【详解】解：以点为顶点的角：，共个， 以点为顶点的角：，，，，，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，共个， ， 故答案为： 【变式2】．（1）已知三条线段长度分别为、、，判断能否组成三角形． （2）在中，，，，请比较三角形三个内角的大小． 【答案】（1）能组成三角形；（2） 【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形的边角关系． （1）根据三角形三边关系判断即可； （2）根据大边对大角判断即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴能组成三角形； （2）解：∵， ∴． 题型2三角形的个数问题 【例2】．已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键． 根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：由图可得，以为边的三角形有，，，，一共有4个． 故选：D． 【变式1】．如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有 对“共边三角形”． 【答案】18 【分析】本题考查了三角形，理解“共边三角形”的定义是解题关键．根据“共边三角形”的定义解答即可得． 【详解】解：以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 所以图中共有“共边三角形”的对数为（对）， 故答案为：18． 【变式2】．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 题型3三角形内角和的定理证明 【例3】．下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 【答案】2/两 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理． 首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④、⑤是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把5代入方程，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和为，是经过证明的是真命题，故是定理； ⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； 综上所述：③和④是定理，共2个． 故答案为：2． 【变式1】．如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 【答案】 ，理由见详解． 【分析】本题主要考查角平分线的性质和三角形内角和定理的应用．解决本题的关键是熟练使用等量代换求解． 根据角平分线的性质可得，，再由，可得，由此可求解，由此可解． 【详解】解： ，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． ∴， 又∵， 即，且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 题型4与平行线有关的三角形内角和问题 【例4】．如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平角以及三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质，平角以及三角形的内角和是解题的关键． 由两直线平行，同位角相等得到，再根据平角的度数以及三角形的内角和即可得到． 【详解】解：如图， ， ， ，， ， 故选：B． 【变式1】.如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 题型5三角形的分类 【例5】．如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 【变式1】．在中，的补角为，则是 三角形． 【答案】钝角 【分析】本题主要考查补角的定义、三角形内角和定理．根据补角的定义求出的度数，再根据三角形的分类判断即可． 【详解】的补角是， ， ， 是钝角， 是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【变式2】．已知a、b、c是的三边． (1)若，，求第三边c的取值范围； (2)若，，第三边c为偶数，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用以及三角形形状的判断；解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这一基本性质． （1）直接应用三角形三边关系定理：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，代入数值计算即可； （2）同样先由三边关系求出第三边的取值范围，再结合“为偶数”这一条件确定的具体值，最后，通过比较三边长的平方关系来判断三角形的形状． 【详解】（1）解：∵ ∴． （2）∵，即，第三边为偶数， ∴第三边， ∴， ∴该三角形为等腰三角形． 题型6直角三角形的两个锐角互余 【例6】．如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】．在中，，那么 度． 【答案】 【分析】取的中点D，连接，得到，结合，判定是等边三角形，利用直角三角形的两个锐角互余解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：取的中点D，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，直线，直线分别交于点E、F，点G是直线上一点，于H． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)若，则下列说法中，正确的是________． A．；B．；C．；D．． 【答案】(1)①② (2)A、D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． （1）①由垂直的定义得到，根据直角三角形的两锐角互余即可得解；②由①得，由邻补角的定义得到，最后根据平行线的性质即可得解； （2）根据平行线的性质、直角三角形的两锐角互余及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：①， ∴， 又∵， ∴； ②由①知，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，故A正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意； 故选：A，D． 题型7锐角互余的三角形是直角三角形 【例7】．如图，在四边形中，，，，则（   ）°. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，证得是解本题的关键． 先根据直角三角形两锐角互余可得；再证明可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：C． 题型8构成三角形的条件 【例8】．已知等腰三角形的两边分别是3，6，则该三角形的周长为（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分两种情况：腰长为6和腰长为3，根据等腰三角形的定义得到该三角形的三边长，再根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：当腰长为6时，则该三角形的三边长分别为3，6，6， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 当腰长为3时，则该三角形的三边长分别为3，3，6， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，该三角形的周长为15． 故选：C． 【变式1】．一个等腰三角形的两边长分别是、，则它的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分腰长为或两种情况，分别利用三角形的三边关系进行判断，并求周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三边分别为、、，由于，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能构成三角形； 当腰长为时，三边分别为、、，由于，满足三角形三边关系，能构成三角形，周长为． 故答案为12． 【变式2】 ．一个等腰三角形的三边长分别为7，，．那么这样的三角形有几个？它们的边长分别是多少？ 【答案】有三个，边长分别为4、7、7；7、7、9；7、13、13． 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，和等腰三角形的性质，需分情况讨论：情况①、情况②、情况③，据此，分别求出三种情况下的三边长； 【详解】解：根据等腰三角形的两腰相等，分情况讨论如下： 情况①：，解得，则三边分别为7，7，4； 情况②：，解得，则三边分别是7，7，9； 情况③：，解得，则三边分别是13，13，7． 上述情况下所得的三组数据均满足三角形的三边关系，即都能构成三角形． 故满足题意的三角形有3个，它们的边长分别为4、7、7；7、7、9；7、13、13． 题型9确定第三边的取值范围 【例9】．如图，人字梯支架，的长度都是2.2米（连接处的长度忽略不计），B、C两点间的距离可能是（    ） A．6米 B．5.5米 C．5米 D．4米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其他两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即． ∴． ∴B、C两点间的距离可能是． 故选：D． 【变式1】．若一个三角形的两边长分别为11和4，则这个三角形的第三边长可能是 ．（只写一个） 【答案】8（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的三边的关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边长的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设第三边长为x， 由题意得，， ∴， ∴这个三角形的第三边长可能是8， 故答案为：8（答案不唯一）． 【变式2】．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即； （2）解：的三边长为， ， 原式 ． 题型10等腰三角形的定义 【例10】．如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积等知识．根据，，，列出等式，由此即可解决问题． 【详解】解：连接， ，，， ，则， 则， 故选：B． 【变式1】．如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若，的面积为12，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的定义，与三角形的高有关的计算，连接，根据，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，O是底边上任意一点，，， ∴，， ∵，的面积为12， ∴， ∴； 故答案为：6． 【变式2】．已知，，为的三边长． (1)若为等腰三角形，且周长为13，已知，求，的值； (2)若，满足，且是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分当为底边时，当为腰时，两种情况解答，结合三角形三边关系验证三角形是否存在； （2）先利用绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，取范围内的整数． 【详解】（1）解：，，是的三边长，是等腰三角形，且周长为13，， 分两种情况讨论： ①当为底边时，， ，， 符合三角形的三边关系，； ②当为腰时，，， ， 不符合三角形的三边关系； 综上所述，． （2）解：， ， ，． ，，是的三边长， ． 即， 是整数， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系，熟练掌握绝对值和完全平方的非负性，三角形三边关系，等腰三角形定义，分类讨论，是解题的关键． 题型11画三角形的高 【例11】．用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段，即为三角形的一条高，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：结合选项可知，只有D选项作法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】．如图，在中，边上的高是线段 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，根据在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点到垂足之间的线段来确定高是． 【详解】解：由图可知，中，边上的高是． 故答案为：． 【变式2】．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图（1）中画的角平分线，标出点D； (2)在图（2）中，作的边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高，角平分线的判定定理，熟知角平分线的判定定理和三角形的高的定义是解题的关键． （1）取格点T，连接交于点D，则线段即为所求；根据网格的特点可得点T到直线的距离与点T到直线的距离相等，即点T在的角平分线上； （2）取格点D，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 题型12三角形角平分线的定义 【例12】．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 【变式1】．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式2】．请你在图中画出的角平分线，并填空：． 【答案】见解析，2；2； 【分析】根据角平分线的定义画出图形，结合图形即可得出，，解答即可． 本题考查了角的平分线基本作图，角的平分线的定义，熟练掌握作图和定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，作图如下： ∵是的平分线， ∴，， 故答案为：2；2；． 题型13重心的概念 【例13】．如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查重心的定义，根据三角形三条中线的交点叫做重心，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点是该三角形薄板的重心； 故选:A． 【变式1】．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点 ； 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如下图， 则有， 由网格可知， ∴，分别是，的中点， ∴、均为的中线， ∴点D是的重心． 故答案为：D． 【变式2】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 题型14三角形三边关系的应用 【例14】．在中，三边长分别为，，，且，分别为大于的整数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系的应用与完全平方公式的结合，关键知识为三角形任意两边之和大于第三边，通过三边关系列出不等式，结合整数条件确定与的等量关系，进而计算的值． 【详解】解：∵的三边为、、(且为整数)， ∴根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边， 即，整理得， ∵为大于1的整数，∴； 并且，整理得， ∵为大于1的整数，∴； ∵是整数，且，∴， ∴． 故选：D． 【变式1】．如果一个等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，能够进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：当腰长为时和当腰长为时，利用三角形两边之和大于第三边判断是否成立，从而确定周长． 【详解】解：①∵当腰长为时， ∴三边分别为，，， ∴此时，不满足三角形三边关系， ∴当腰长为时，三角形不存在，故舍去； ②∵当腰长为时， ∴三边分别为，，， ∴此时，，，均满足三角形三边关系， ∴当腰长为时，三角形存在， ∴周长为． 故答案为：． 【变式2】．已知，，是的三条边．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系及因式分解的应用．利用三角形三边关系得出三边不等式关系是解题关键． 将不等式移项变形后，通过因式分解，再利用三角形三边关系判断符号即可． 【详解】证明：∵ ，，是的三条边， ∴ ，． ∴ ，． ∵ ， ∴ ，即 ． ∴ ． 题型15与三角形的高有关的计算问题 【例15】．如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高； 利用等面积法列式求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 故选：C． 【变式1】 ．已知平面上不共线的三点，则的面积最大是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形面积公式的应用，解题的关键是理解当两条边互相垂直时，由这两条边构成的三角形的高最大，从而面积最大，进行求解即可． 【详解】解：已知平面上不共线的三点， 当时，的面积最大， 最大面积是， 故答案为：6． 【变式2】．如下图，在四边形中，，对角线，交于点．若的面积为8，的面积为5，求的面积． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键； 利用平行线间距离相等得出同底等高的三角形面积相等，再通过已知三角形的面积计算未知三角形的面积． 【详解】解：， ∴点，到直线的距离相等， ． 的面积为5， ． 题型16利用网格求三角形的面积 【例16】．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都是1，则四边形的面积是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查的是利用网格求面积，解题的关键是熟练掌握割补法求不规则图形的面积． 利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可． 【详解】解：四边形的面积， 故选：B． 【变式1】．如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求阴影部分面积，由，然后代入即可求解，掌握三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图， 由 ， 故答案为：． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，， (1)请在网格中作出四边形关于轴对称的四边形（其中、、、的对应点分别为、、、），并写出、的坐标； (2)直接写出四边形的面积．（已知图中网格的每个小正方形的边长为1个单位长度） (3)在轴上找一点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析，、 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称变换作图，几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始的．（1）先作出四边形各顶点关于y轴对称的点，再顺次连接即可；（2）根据割补法即可得到四边形的面积；（3）找到点D关于x轴的对称点，并与点B连接，相交于x轴的点即为P点． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求；、； （2）解：四边形的面积为：， 故答案为：． （3）解：如图所示，点P即为所求． 题型17重心的有关性质 【例17】．如图，在中，D，E分别是的中点，与交于点G．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形重心的性质；根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是的中点，与交于点G． ∴G点为的重心， ∴， 故选：B． 【变式1】．如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形重心的性质. 根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，中点，与交于点G， ∴G点为的重心， ∴. 故答案为：3． 【变式2】．综合与实践 对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，根据以下素材，探索完成任务． 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为， 面 几何中心 圆心 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等. 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积， 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把，代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为，其中． 任务一 求阴影部分图形的重心坐标． 任务二 求阴影部分图形的重心坐标． 任务三 求阴影部分图形的重心坐标（结果保留）． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了重心的应用. 任务一：将图形分为：矩形和矩形，根据素材二计算即可； 任务二：将图形分为：直角三角形、矩形重和直角三角形，根据素材二计算即可； 任务三：将图形分为：整体和挖空部分，由任务一可知：整体重心坐标为，整体面积，根据素材三计算即可； 【详解】任务一：如图：矩形的重心，面积，矩形的重心，面积， 重心坐标为 任务二：如图：①直角三角形，，，重心，面积， ②矩形重心，面积， ③直角三角形，重心，面积， 重心坐标为 任务三：由任务一可知：整体重心坐标为，整体面积， 挖空部分重心坐标为，整体面积， 重心坐标为 ✍ 强化巩固★过关演练 一、单选题 1．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”，探究圆的面积计算，其中涉及三角形的性质．下列关于三角形的说法，正确的是（    ） A．任意三角形的三条高都在三角形内部 B．三角形的内角和随边长增大而增大 C．等腰三角形的两底角相等 D．三角形任意两边之差等于第三边 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的基本性质． 通过三角形的基本性质判断各选项即可． 【详解】解：钝角三角形的两条高在外部，A错误，不符合题意； 三角形内角和恒为，与边长无关，B错误，不符合题意； 等腰三角形的两底角相等，C正确；，符合题意 三角形任意两边之差小于第三边，而非等于，D错误，不符合题意； 故选：C． 2．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的定义，解题的关键是掌握相关概念． 根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A、①，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B、②，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C、③，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意； D、②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意； 故选：D． 3．如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键． 三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a和直线b中交叉选取三点，分①从选个、选 个；②从选 个、选个两种情况，计算可组成的三角形数量． 【详解】解：可以组成的三角形有: ，，，，，，，，，共9个． 故选：D． 4．木工师傅要作一个三角形支架，现有两根木条的长度分别为和，则可以作为第三根木条长度的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是构成三角形的条件，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：设第三边长为，两根木条的长度分别为和， ∴ c的取值范围为， ∴B，C，D不符合题意，A符合题意， 故答案为：A 5．如图，为的直径，已知，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟知直径所对的圆周角是直角及同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 连接，由为的直径可知，由可得，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， 故选：C． 6．对于，用一把直角三角尺，作边上的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形高的定义，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段，叫三角形的高线是解答此题的关键． 根据三角形高的定义求解即可． 【详解】解：三角形高线即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段， 则A、B、C均不是高线，D是高线． 故选：D． 7．如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（    ） A．重心，即三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．内部任意一点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，熟练掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键．支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：A． 8．王老师在非遗竹编体验课上，带领学生开展竹编基础三角形纹样的拼接实践．现有、规格的竹条各一根，第三根竹条需从、、、四种备选规格中选取，则第三根竹条不可能选取的规格是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边． 根据三角形三边关系求出第三边取值范围，进而判断即可． 【详解】解：设第三根竹条长度为， 则， 即， 只有不在范围内． 故选：D． 9．如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 连接，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，在正方形网格中，每一个小方格都是边长为1的正方形，、两点在小方格的顶点上，如图所示，点也在小方格的顶点上，若以、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的面积，根据网格的特点，结合三角形面积计算公式找到底为1，高为2或底为2，高为1的即可得到答案． 【详解】解：C点所有的情况如图所示， 故选：D． 二、填空题 11．已知中，，，．则是 三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”) 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形的分类：按照边分类可分为三边均不等三角形和等腰三角形，按照角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，根据三角形三个角的度数即可判断． 【详解】解：已知中，，，． 则是直角三角形， 故答案为：直角． 12．已知三角形的三条边长分别为2，7，x，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为2和7， ∴第三边长x的取值范围是：， 即：， 故答案为：． 13．已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握和运用等腰三角形的性质是解决本题的关键．分两种情况分别计算，即可求得． 【详解】解：当此等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，，不能构成三角形，舍去； 当此等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，，能构成三角形； 则它的周长为：． 故答案为：10． 14．如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 15．如图，中，是边上的中线，是重心，如果，那么线段 ． 【答案】3 【分析】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，根据题目条件准确画出对应图形是解题的关键．由重心的性质求解． 【详解】解：是边上的中线，点是重心， ， ， ， 故答案为：3． 16．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是 ． 【答案】28 【分析】根据三角形三边关系定理，求出x的取值范围，再结合x为奇数的条件确定x的值，进而计算周长 【详解】解：根据三角形的三边关系，可得，即． 由于为奇数，因此． ∴三角形的周长为． 故答案为：28． 三、解答题 17．已知的三边长分别为7、2、a． (1)化简． (2)若a为奇数，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，绝对值，熟练掌握绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系可得，所以，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，再结合a为奇数，可以确定，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为7、2、a， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：由（1）中过程可知， 又∵a为奇数， ∴， ∴的三边长分别为7、2、7，有两边相等， ∴是等腰三角形． 18．已知是的三边长，． (1)求的取值范围． (2)若是等腰三角形，的周长是多少． 【答案】(1) (2)15或18 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可； （2）根据，c必须与a或b相等，再分两种情况：和，结合（1）所求的c的取值范围，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是的三边长， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴c必须与a或b相等， 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 综上所述，的周长是15或18． 19．已知等腰的两边x，y满足，求的周长． 【答案】13或14 【分析】本题考查非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据非负性求出的值，再分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， 且， ，，                 当x是腰，y是底边时，，能组成三角形， 此时的周长， 当y是腰，x是底边时，，能组成三角形， 此时的周长， 综上，的周长为13或14． 20．已知，中，，以为直径的与，的交点分别为D，E． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，“弧，弦，圆周角”之间的关系，直径所对的圆周角是直角． （1）根据圆内接四边形对角互补得出，进而得出答案； （2）连接，根据“弧，弦，圆周角”的关系得出，再根据“直径所对的圆周角是直角”得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． 在中，． 21．如图，在中，是边上的高，已知． (1)请画出边上的高； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形高的画法及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用“同一三角形面积相等”的等积法，通过已知底和高求出面积，再反求未知高的长度． （1）根据三角形高的定义，过点C作边的垂线，垂足为E，线段即为边上的高； （2）先以为底、为高计算的面积，再以为底、为高，结合面积相等列方程求解的长度． 【详解】（1）解：如图，线段即为边上的高． （2）解：∵ 是边上的高， ∴ 的面积，代入，，得． 又∵ 是边上的高,， ∴ 面积也可表示为， 即， 解得． 答：的长为． 22．如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由角平分线的定义即可求解；（2）由是中线，可得的值，根据已知条件利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）解：为的角平分线，， ． （2）解：为的中线，， ． 设点到边的距离为，则， ， 故点到边的距离为12． 【点睛】本题考查了角平分线定义，中线定义，三角形面积公式，正确理解并运用角平分线和中线定义及面积公式是解本题的关键 23．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线； ②过点画直线的垂线，垂足为点； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：_____． (4)的面积是_______． 【答案】(1)①图见详解；②图见详解 (2) (3)＜，点到直线垂线段最短 (4)3.5 【分析】本题主要考查点到直线垂线段最短、平行线的性质、垂线的定义及网格作图，熟练掌握点到直线垂线段最短、平行线的性质、垂线的定义是解题的关键； （1）①根据网格线的特点及平行线的性质作图； ②根据网格线的特点及垂线的性质作图； （2）根据点到直线的距离的定义求解； （3）根据“垂线段最短”求解． 【详解】（1）解：①即为所求，如图所示： ②即为所求，如图所示； （2）解：点到直线的距离是线段的长度； 故答案为：； （3）解：，理由为：垂线段最短； 故答案为：，点到直线垂线段最短． （4）解：连接， ∴； 故答案为3.5 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1认识三角形寒假预习讲义（北师大版） ☛ 预习内容速览 1. 课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3. 聚焦题型★提升能力 4.强化巩固★过关演练 ⛳ 课前预习★目标 ●能准确说出三角形的定义，识别三角形的顶点、边、内角，掌握“△ABC”的表示方法，区分“边AB”与“角∠A”的书写规范； ●熟记三角形按边（不等边、等腰、等边）和按角（锐角、直角、钝角）的分类标准，能结合图形或数据判断三角形类型； ●掌握三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），能快速判断三条线段能否围成三角形；初步了解三角形内角和为180°（为后续学习铺垫）； ●通过观察生活中的三角形实例（如屋顶框架、自行车三角架），感受三角形在建筑、生活中的稳定性作用，体会几何图形与现实生活的联系； ☘ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】三角形的定义 （1）定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （2）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点． 【重点提醒】 ①三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”； ②三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【知识点2】三角形的三边关系（重点知识） 定理：三角形任意两边之和大于第三边． 推论：三角形任意两边的之差小于第三边． 【重点提醒】①理论依据：两点之间线段最短； ②三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围；③证明线段之间的不等关系． 【知识点3】三角形的分类（重点掌握） 分类标准 类型 核心特征 备注 按边分类 不等边三角形 三条边都不相等 - 等腰三角形 有两条边相等 相等的两边为腰，第三边为底边，等边三角形是特殊的等腰三角形 等边三角形 三条边都相等 又称正三角形，属于等腰三角形的范畴 按角分类 锐角三角形 三个角都是锐角 （＜90°） - 直角三角形 有一个角是直角（=90°） 直角所对的边为斜边，其余两边为直角边。 钝角三角形 有一个内角是钝角 （90°<角＜180°） - 【重点提醒】 等腰三角形：相等的两边都叫做腰，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角； 【知识点4】三角形的三条重要线段（核心考点） 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． （或∠ADC＝∠ADB＝90°） 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． （或∠ADB＝∠ADC＝90°） 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 【知识点5】三角形的内角（核心知识） 1．三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°． 2．直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形． 【重点提醒】如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形． 【知识点6】三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．                                                                   4．2.性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 3．三角形的外角和：三角形的外角和等于360°（可以理解成一个圆周为360度）． ✏ 聚焦题型★提升能力 题型1三角形的识别与有关概念 【例1】．在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有 个． 【变式2】．（1）已知三条线段长度分别为、、，判断能否组成三角形． （2）在中，，，，请比较三角形三个内角的大小． 题型2三角形的个数问题 【例2】．已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有 对“共边三角形”． 【变式2】．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 题型3三角形内角和的定理证明 【例3】．下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 【变式1】．如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 题型4与平行线有关的三角形内角和问题 【例4】．如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】 ．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 题型5三角形的分类 【例5】．如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【变式1】．在中，的补角为，则是 三角形． 【变式2】．已知a、b、c是的三边． (1)若，，求第三边c的取值范围； (2)若，，第三边c为偶数，判断的形状． 题型6直角三角形的两个锐角互余 【例6】．如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．在中，，那么 度． 【变式2】．如图，直线，直线分别交于点E、F，点G是直线上一点，于H． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)若，则下列说法中，正确的是________． A．；B．；C．；D．． 题型7锐角互余的三角形是直角三角形 【例7】．如图，在四边形中，，，，则（   ）°. A． B． C． D． 题型8构成三角形的条件 【例8】．已知等腰三角形的两边分别是3，6，则该三角形的周长为（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 【变式1】．一个等腰三角形的两边长分别是、，则它的周长为 ． 【变式2】 ．一个等腰三角形的三边长分别为7，，．那么这样的三角形有几个？它们的边长分别是多少？ 题型9确定第三边的取值范围 【例9】．如图，人字梯支架，的长度都是2.2米（连接处的长度忽略不计），B、C两点间的距离可能是（    ） A．6米 B．5.5米 C．5米 D．4米 【变式1】．若一个三角形的两边长分别为11和4，则这个三角形的第三边长可能是 ．（只写一个） 【变式2】．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 题型10等腰三角形的定义 【例10】．如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 【变式1】．如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若，的面积为12，则 ． 【变式2】．已知，，为的三边长． (1)若为等腰三角形，且周长为13，已知，求，的值； (2)若，满足，且是整数，求的值． 题型11画三角形的高 【例11】．用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，边上的高是线段 ． 【变式2】．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图（1）中画的角平分线，标出点D； (2)在图（2）中，作的边上的高． 题型12三角形角平分线的定义 【例12】．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【变式2】．请你在图中画出的角平分线，并填空：． 题型13重心的概念 【例13】．如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点 ； 【变式2】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 题型14三角形三边关系的应用 【例14】．在中，三边长分别为，，，且，分别为大于的整数，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】．如果一个等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的周长为 ．∴此时，，，均满足三角形三边关系， 【变式2】．已知，，是的三条边．求证：． 题型15与三角形的高有关的计算问题 【例15】．如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】 ．已知平面上不共线的三点，则的面积最大是 ． 【变式2】．如下图，在四边形中，，对角线，交于点．若的面积为8，的面积为5，求的面积． 题型16利用网格求三角形的面积 【例16】．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都是1，则四边形的面积是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式1】．如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是 ． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，， (1)请在网格中作出四边形关于轴对称的四边形（其中、、、的对应点分别为、、、），并写出、的坐标； (2)直接写出四边形的面积．（已知图中网格的每个小正方形的边长为1个单位长度） (3)在轴上找一点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 题型17重心的有关性质 【例17】．如图，在中，D，E分别是的中点，与交于点G．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【变式1】．如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则 ． 【变式2】．综合与实践 对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，根据以下素材，探索完成任务． 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为， 面 几何中心 圆心 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等. 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积， 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把，代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为，其中． 任务一 求阴影部分图形的重心坐标． 任务二 求阴影部分图形的重心坐标． 任务三 求阴影部分图形的重心坐标（结果保留）． ✍ 强化巩固★过关演练 一、单选题 1．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”，探究圆的面积计算，其中涉及三角形的性质．下列关于三角形的说法，正确的是（    ） A．任意三角形的三条高都在三角形内部 B．三角形的内角和随边长增大而增大 C．等腰三角形的两底角相等 D．三角形任意两边之差等于第三边 2．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 3．如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 4．木工师傅要作一个三角形支架，现有两根木条的长度分别为和，则可以作为第三根木条长度的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，为的直径，已知，则为（　　） A． B． C． D． 6．对于，用一把直角三角尺，作边上的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（    ） A．重心，即三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．内部任意一点 8．王老师在非遗竹编体验课上，带领学生开展竹编基础三角形纹样的拼接实践．现有、规格的竹条各一根，第三根竹条需从、、、四种备选规格中选取，则第三根竹条不可能选取的规格是（    ） A． B． C． D． 9．如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 10．如图，在正方形网格中，每一个小方格都是边长为1的正方形，、两点在小方格的顶点上，如图所示，点也在小方格的顶点上，若以、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 11．已知中，，，．则是 三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”) 12．已知三角形的三条边长分别为2，7，x，则x的取值范围是 ． 13．已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 ． 14．如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 15．如图，中，是边上的中线，是重心，如果，那么线段 ． 16．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是 ． 三、解答题 17．已知的三边长分别为7、2、a． (1)化简． (2)若a为奇数，判断的形状，并说明理由． 18．已知是的三边长，． (1)求的取值范围． (2)若是等腰三角形，的周长是多少． 19．已知等腰的两边x，y满足，求的周长． 20．已知，中，，以为直径的与，的交点分别为D，E． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，求的大小．． 21．如图，在中，是边上的高，已知． (1)请画出边上的高； (2)求的长． 22．如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 23．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线； ②过点画直线的垂线，垂足为点； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：_____． (4)的面积是_______． 学科网（北京）股份有限公司 $