专题6.3 等比数列及其前n项和（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦等比数列核心考点，涵盖基本量计算、判定方法、性质应用及前n项和等内容，按“定义-性质-应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以题型分层设计为特色，设置9大题型及变式训练，结合高考真题导向，通过“例题解析-变式巩固-真题应用”链条培养数学思维与运算能力，如在等比数列判定中强化定义法和中项法的逻辑推理训练，有效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供精准教学素材。

专题6.3 等比数列及其前n项和（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、等比数列及其前n项和 数列是高考的重点、热点内容，其中等比数列属于高考的常考内容之一。从近三年的高考情况来看，等比数列的考查整体稳定，题型、难度及其考查频率都较为稳定。选择题、填空题中多单独命题，主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的前n项和，难度较易；在解答题中主要考查等比数列的证明、通项公式、求和及综合应用，常将等差数列与等比数列结合考查，多位于解答题的前几题中，命题侧重基础，或融入不等式、导数等知识，难度中等；有时会在压轴题中出现与等差、等比数列有关的新定义问题，难度较大，需要灵活求解。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 等比数列 新课标Ⅱ卷：第8题，5分 全国甲卷（文数）：第13题，5分 全国甲卷（理数）：第5题，5分 全国乙卷（理数）：第15题，5分 新课标Ⅱ卷：第19题，17分 全国甲卷（文数）：第17题，12分 全国甲卷（理数）：第18题，12分 全国一卷：第13题，5分 全国二卷：第9题，6分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，等比数列的考情将继续维持稳定态势。选择题、填空题仍然以单独考查等比数列的基本量计算、性质及前n项和为主，分值稳定在5分左右，难度较易；解答题中主要考查等比数列的判定、通项公式以及数列求和，或者与等差数列、不等式、函数等结合命题，难度中等。核心考查等比数列的性质、通项及前n项和的灵活运用，注重公式的运用和数学运算能力，复习时要加强这方面的训练，做到不丢分。 知识点1 等比数列的基本量的计算 1．等比数列的基本量的计算的求解思路： 等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解. 知识点2 等比数列的判定方法 1．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 知识点3 等比数列及其前n项和的性质及应用 1．等比数列的性质： 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 知识点4 等比数列前n项和的函数特征 1．Sn与q的关系 (1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点； (2)当公比q=1时，等比数列的前n项和公式是，则数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点. 2．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 【方法技巧与总结】 1．等比数列{an}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0). 3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. (1). (2)若，则成等比数列. (3)若数列{an}的项数为2n，则；若项数为2n+1，则. 【题型1 等比数列的基本量计算】 【例1】（2026·重庆·模拟预测）设等比数列的公比，则的公比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据等比数列各项之间的关系列方程求解. 【解答过程】由题知，，即，解得. 故选：D. 【变式1-1】（2026·山东枣庄·一模）记正项等比数列的前项和为，且，，则（   ） A．243 B．81 C．27 D．9 【答案】A 【解题思路】根据题意结合等比数列通项公式可得，进而可得. 【解答过程】设正项等比数列的公比为， 且，则， 整理可得，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 【变式1-2】（2026·重庆·模拟预测）在等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（   ） A．1或2 B．1或3 C．2或3 D．3 【答案】B 【解题思路】利用等差数列性质建立关于公比的方程. 【解答过程】设等比数列的公比为， 因为成等差数列， 所以，即. 则，因为等比数列中， 所以，解得或， 故选：B. 【变式1-3】（2026·四川遂宁·一模）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【解题思路】把题干所给条件转化为的方程组，解方程组即可得出答案. 【解答过程】设等比数列的公比为，当时，，所以. 由题意可得，解得或， 当，时，， 当，时，. 故选：B. 【题型2 等比数列的性质及应用】 【例2】（2026·广西·模拟预测）等比数列中，，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．1 【答案】A 【解题思路】由等比数列的性质即可求解. 【解答过程】由等比数列的性质可得，故. 故选：A. 【变式2-1】（2025·黑龙江大庆·一模）已知等比数列，则（    ） A．14 B．32 C．16 D．54 【答案】B 【解题思路】由等比数列的下标和性质即可得出答案. 【解答过程】由题意可知. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）在等比数列中，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【解题思路】根据等比数列的性质，，结合可得，再利用即可求解，注意等比数列奇数项、偶数项的符合分别相同. 【解答过程】， 则， 又，解得， 因为， 所以. 故选：D. 【变式2-3】（2025·全国·模拟预测）已知等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据等比数列通项公式下标和性质直接求解即可. 【解答过程】因为，所以． 故选：A． 【题型3 等比数列的判定与证明】 【例3】（2025·广东·模拟预测）已知是无穷数列，设甲：存在常数，使得且，乙：数列为等比数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的定义即可得，进而推出且，反之不成立，即可判断. 【解答过程】数列为等比数列设其公比为，则， 若，即数列不一定为等比数列， 所以甲是乙的必要条件但不是充分条件， 故选：B. 【变式3-1】（2025·江苏·三模）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解题思路】根据等比数列的定义和通项公式，结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【解答过程】令，则， 令，则， 以此类推，得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列. 若数列是等比数列，设其公比为，则， 所以，， 得， 当时，； 当时，不成立. 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【解题思路】（1）利用递推式相减得出的递推关系，进而得出是等比数列； （2）求出的通项公式，再利用递推式相加得出的递推关系求出通项公式，进而求出的通项公式及前项和． 【解答过程】（1）证明： ，， 两式相减得， ， 又 ， 数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2）数列是首项为2，公比为2的等比数列， ， ，， 两式相加得， ，， 当时，满足上式， 数列是首项为4，公差为4的等差数列，即， ，解得， ． 【变式3-3】（2025·广东广州·模拟预测）已知数列的首项，且满足（）. (1)证明：数列为等比数列； (2)若（），求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）将递推公式配凑成，即可； （2）由（1）求得，由分组求和、错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）证明：由， 得，，且， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， （2）由（1）知数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以， 故， 所以 ， 设① 所以② ①－②得： . 所以，又， 所以. 【题型4 等比数列的通项公式】 【例4】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【解答过程】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 【变式4-1】（2026·河北沧州·一模）在等比数列中，若，且，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设等比数列的公比为，由可得，再根据和，可得的值，进而可得数列的通项公式. 【解答过程】设等比数列的公比为，由可得，解得， 设， ， 因为，所以，解得或. 当时，，，不成立，故不满足题意，故舍去； 当时，，，满足，故满足题意. 所以． 故选：A. 【变式4-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求m的值及的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）通过与的关系求解即可； （2）先借助（1）代入知，借用“等差数列×等比数列”型数列，再用错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）因为， 当时，； 当时，， 又因为是等比数列，所以，解得； 所以的通项公式为． 故；． （2）由（1）知， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 【变式4-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证，进而求出通项公式. （2）由（1）确定数列前50项中数列的项数，再利用分组求和法求解. 【解答过程】（1）由，，得，则， 即，又，于是，而， 所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，. （2）由（1）知，数列，都是递增数列， ，即， 因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项， 所以 . 【题型5 等比数列的前n项和】 【例5】（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【解题思路】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解. 【解答过程】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故选：B. 【变式5-1】（2025·广东深圳·模拟预测）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（   ） A．15 B．16 C．31 D． 【答案】C 【解题思路】利于通项公式展开联立两个等式，求出等比数列的公比和首项，再利于等比数列的求和公式可求得的结果. 【解答过程】因为数列是各项均为正数的等比数列，且， 故，联立可得，化简可得， 解得或， 当时，,不符合题意，舍去； 当时，， . 故选：C. 【变式5-2】（2026·广东茂名·一模）已知数列的前项和记为，若，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【答案】C 【解题思路】根据的关系得数列是等比数列，公比为，首项为，再根据等比数列前项和公式计算即可. 【解答过程】因为， 所以当时，，即； 当时，，， 两式作差得，即， 所以数列是等比数列，公比为，首项为. 所以 故选：C. 【变式5-3】（2025·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（   ） A．43 B．85 C．110 D．127 【答案】A 【解题思路】首先根据已知条件求出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前项和公式求出. 【解答过程】根据题意，已知，且各项均为整数， 得到， 解得．则． 故． 故选：A． 【题型6 等比数列的简单应用】 【例6】（25-26高二上·贵州贵阳·期末）朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ） A．494Hz B．349Hz C．311Hz D．277Hz 【答案】C 【解题思路】将13个单音的频率视为等比数列，利用“八度音程频率翻倍”的条件求出公比，再通过已知的第10个单音频率，结合等比数列的性质求出第4个单音的频率. 【解答过程】设13个单音的频率为等比数列，公比为； 已知，所以，得，即； 第十个单音，第四个单音，两式相除得， 所以，与最接近的是. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等比数列的前项和公式求解即可. 【解答过程】由题意，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比． 则该热气球在前3分钟里上升的总高度． 故选：C． 【变式6-2】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【解题思路】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【解答过程】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以． 故选：B. 【变式6-3】（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 【答案】C 【解题思路】判断第n小时后细胞的个数构成等比数列，即可求出的表达式，解不等式，即可求得答案. 【解答过程】记第n小时后细胞的个数为，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， 故， 令，得， 则，故， 又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时. 故选：C. 【题型7 等比数列中的不等式问题】 【例7】（2025·河南·模拟预测）在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】D 【解题思路】首先根据等比数列性质求出，从而得到，再写出，最后对分奇偶数讨论即可. 【解答过程】设的公比为， 记， 由， 得， 所以．令， 则 ． 当为偶数时，，无正整数解； 当为大于2的奇数时，， 由，解得， 又为奇数，所以的最小值为27． 故选：D． 【变式7-1】（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造等比数列得，由题意对于任意的恒成立，故只需求出即可. 【解答过程】由题意令，所以，对比，可得， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以， 对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 显然当增大时，减小，此时增大， 所以. 故选：A. 【变式7-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由等比数列的定义即可求证； （2）由裂项相消法求和，可求解得，根据单调性，即可求证结论. 【解答过程】（1）由得，，， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，，所以， 所以， ． 【变式7-3】（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，． (1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：． 【答案】(1)不是等比数列，且 (2)证明见解析 【解题思路】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差可得出，结合可得出结论，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）设等差数列的公差为，由题意可知，根据题中条件可得出关于的方程，解出的值，可得出数列的通项公式，放缩可得，结合裂项相消法可证得所证不等式成立. 【解答过程】（1）因为，且对任意的，， 当时，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，即，所以， 又因为， 故数列不是等比数列，且该数列是从第项开始成公比为的等比数列， 当时，，即， 综上所述，. （2）设等差数列的公差为，由题意可知，且，， ，， 所以，，， 因为、、成等比数列，所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 所以， 所以 ，故原不等式得证. 【题型8 等差数列与等比数列的综合应用】 【例8】（2025·河南信阳·一模）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且与的等差中项为4，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设等比数列的公比为，由题意可得，可求公比，进而求得. 【解答过程】设等比数列的公比为， 因为与的等差中项为4，所以， 又，所以，所以，解得或（舍去）， 所以的通项公式为， 所以. 故选：B. 【变式8-1】（2025·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（    ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【解题思路】利用等差中项的性质得到，结合题意得到，利用等比中项的性质求出，结合和求解即可. 【解答过程】由题意可得成等差数列，成等比数列， 得到，，故， 若，则，解得， 可得，即，故A正确. 故选：A． 【变式8-2】（2025·四川凉山·一模）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列基本量运算求得，即可求解； （2）利用等比数列及求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求和即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，由题意得， 解得，所以． （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以． 从而， 所以 ． 【变式8-3】（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3) 【解题思路】（1）根据等差数列和等比数列的知识求得公差和公比，从而求得通项公式． （2）利用裂项相消法求得． （3）利用错位相减法求得，利用差比较法求得的取值范围． 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以． （2）由（1）知，， 则． ． （3）由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是． 【题型9 与等差、等比数列有关的新定义问题】 【例9】（2025·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【解题思路】根据行列式定义及等比数列的通项公式求出公比，再由求和公式得解. 【解答过程】根据题意可得：， 因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 【变式9-1】（2025·上海黄浦·一模）若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（   ） A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【解题思路】利用等差和等比数列的性质以及前项和公式的性质结合题意推导可得. 【解答过程】对①，对于任意等差数列，若是递增数列，则，，当时，，与的前n项的和矛盾，故不存在； 对于②，构造等比数列，令，则， ，故为递增数列. 由等比数列前项和公式得， 因为，所以，取，则对于任意的都有. 综上分析，可知①错误，②正确. 故选：D. 【变式9-2】（2025·湖北·模拟预测）定义：在数列中，若，记被（为大于1的正整数）除所得余数为，称数列为数列的“模数列”.若存在最小的正整数，使得由构成的集合为，则称为数列的“覆盖周期”.已知数列的前项和为，且. (1)求证：是等差数列； (2)若，数列的公差为的“模4数列”为，求的前50项的和； (3)若，数列的“模6数列”为，求出使数列的“覆盖周期”的数列的公差的所有值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【解题思路】（1）先根据已知两个等式相减，利用得到与关系①；同理推出与关系②；①②相减得出，再代入验证，从而证明是等差数列. （2）先由和公差求出表达式，再分别算出、、、对应的值，根据，用12组的和加上、的值得到结果. （3）已知和表达式，结合范围和正整数条件，分别取，算出和的值，找出满足的. 【解答过程】（1）已知，. 两式相减： 因为，所以 ① 同理可得 ② ① ②得：，即. 在中令，得， 化简得，所以是等差数列. （2）已知，公差为，则. 分别计算，；，；，；，. ，所以前50项和为. （3）已知等差数列首项，可得，且，，即可能取值为，，，，. 下面我们对的每一个可能取值进行分析： 当时： 根据通项公式，可得的值依次为. 假设是除以的余数，那么的值依次为，之后数列会重复出现这个数，即周期，满足题意. 当时： 由通项公式，可得的值依次为. 的值依次为，数列的周期为，不满足周期的条件. 当时： 根据通项公式，可得的值依次为. 的值依次为，数列的周期为，不满足周期的条件. 当时： 由通项公式，可得的值依次为. 的值依次为，数列的周期为，不满足周期的条件. 当时： 根据通项公式，可得的值依次为. 的值依次为，之后数列会重复出现这个数，即周期，满足题意. 综上，符合条件的的值为或. 【变式9-3】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”. ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)①证明见解析；②不存在，理由见解析 【解题思路】（1）当时，，利用导数判断函数的单调性即可； （2）①确定，构造函数.求导得到函数单调递增，计算最值即可证明结论成立； ②确定则，，根据，得到，确定，再假设存在得到，，，整理得到，无解即可. 【解答过程】（1）当时，，， 令，则，解得或， 当时，； 当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2））①，，故， 构造函数， ，则 函数在上单调递增，，故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即. ②，则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到，无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 考点一 等比数列 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【解题思路】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【解题思路】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【解答过程】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以 ． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【解题思路】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【解答过程】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 二、多选题 4．（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【解答过程】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 5．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 【答案】 【解题思路】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 6．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【答案】 【解题思路】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比. 【解答过程】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 故答案为：. 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 【答案】 【解题思路】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【解答过程】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 四、解答题 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可； （2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明； （3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路三：利用点差法得到，，再结合（2）中的结论得，最后证明出即可. 【解答过程】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 方法二：因为，，，则， 由于，作差得， ，利用合比性质知， 因此是公比为的等比数列. （3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 方法三：由于，作差得， 变形得①， 同理可得， 由（2）知是公比为的等比数列，令则②， 同时是公比为的等比数列，则③， 将②③代入①， 即，从而，即. 9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【解答过程】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 10．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【解答过程】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 等比数列及其前n项和（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、等比数列及其前n项和 数列是高考的重点、热点内容，其中等比数列属于高考的常考内容之一。从近三年的高考情况来看，等比数列的考查整体稳定，题型、难度及其考查频率都较为稳定。选择题、填空题中多单独命题，主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的前n项和，难度较易；在解答题中主要考查等比数列的证明、通项公式、求和及综合应用，常将等差数列与等比数列结合考查，多位于解答题的前几题中，命题侧重基础，或融入不等式、导数等知识，难度中等；有时会在压轴题中出现与等差、等比数列有关的新定义问题，难度较大，需要灵活求解。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 等比数列 新课标Ⅱ卷：第8题，5分 全国甲卷（文数）：第13题，5分 全国甲卷（理数）：第5题，5分 全国乙卷（理数）：第15题，5分 新课标Ⅱ卷：第19题，17分 全国甲卷（文数）：第17题，12分 全国甲卷（理数）：第18题，12分 全国一卷：第13题，5分 全国二卷：第9题，6分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，等比数列的考情将继续维持稳定态势。选择题、填空题仍然以单独考查等比数列的基本量计算、性质及前n项和为主，分值稳定在5分左右，难度较易；解答题中主要考查等比数列的判定、通项公式以及数列求和，或者与等差数列、不等式、函数等结合命题，难度中等。核心考查等比数列的性质、通项及前n项和的灵活运用，注重公式的运用和数学运算能力，复习时要加强这方面的训练，做到不丢分。 知识点1 等比数列的基本量的计算 1．等比数列的基本量的计算的求解思路： 等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解. 知识点2 等比数列的判定方法 1．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 知识点3 等比数列及其前n项和的性质及应用 1．等比数列的性质： 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 知识点4 等比数列前n项和的函数特征 1．Sn与q的关系 (1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点； (2)当公比q=1时，等比数列的前n项和公式是，则数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点. 2．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 【方法技巧与总结】 1．等比数列{an}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0). 3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. (1). (2)若，则成等比数列. (3)若数列{an}的项数为2n，则；若项数为2n+1，则. 【题型1 等比数列的基本量计算】 【例1】（2026·重庆·模拟预测）设等比数列的公比，则的公比为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·山东枣庄·一模）记正项等比数列的前项和为，且，，则（   ） A．243 B．81 C．27 D．9 【变式1-2】（2026·重庆·模拟预测）在等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（   ） A．1或2 B．1或3 C．2或3 D．3 【变式1-3】（2026·四川遂宁·一模）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【题型2 等比数列的性质及应用】 【例2】（2026·广西·模拟预测）等比数列中，，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．1 【变式2-1】（2025·黑龙江大庆·一模）已知等比数列，则（    ） A．14 B．32 C．16 D．54 【变式2-2】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）在等比数列中，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【变式2-3】（2025·全国·模拟预测）已知等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 等比数列的判定与证明】 【例3】（2025·广东·模拟预测）已知是无穷数列，设甲：存在常数，使得且，乙：数列为等比数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【变式3-1】（2025·江苏·三模）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【变式3-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． 【变式3-3】（2025·广东广州·模拟预测）已知数列的首项，且满足（）. (1)证明：数列为等比数列； (2)若（），求数列的前项和. 【题型4 等比数列的通项公式】 【例4】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·河北沧州·一模）在等比数列中，若，且，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求m的值及的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式4-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和. 【题型5 等比数列的前n项和】 【例5】（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【变式5-1】（2025·广东深圳·模拟预测）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（   ） A．15 B．16 C．31 D． 【变式5-2】（2026·广东茂名·一模）已知数列的前项和记为，若，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【变式5-3】（2025·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（   ） A．43 B．85 C．110 D．127 【题型6 等比数列的简单应用】 【例6】（25-26高二上·贵州贵阳·期末）朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ） A．494Hz B．349Hz C．311Hz D．277Hz 【变式6-1】（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【变式6-3】（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 【题型7 等比数列中的不等式问题】 【例7】（2025·河南·模拟预测）在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【变式7-1】（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，数列的前n项和，证明：． 【变式7-3】（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，． (1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：． 【题型8 等差数列与等比数列的综合应用】 【例8】（2025·河南信阳·一模）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且与的等差中项为4，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（    ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 【变式8-2】（2025·四川凉山·一模）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【变式8-3】（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【题型9 与等差、等比数列有关的新定义问题】 【例9】（2025·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【变式9-1】（2025·上海黄浦·一模）若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（   ） A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【变式9-2】（2025·湖北·模拟预测）定义：在数列中，若，记被（为大于1的正整数）除所得余数为，称数列为数列的“模数列”.若存在最小的正整数，使得由构成的集合为，则称为数列的“覆盖周期”.已知数列的前项和为，且. (1)求证：是等差数列； (2)若，数列的公差为的“模4数列”为，求的前50项的和； (3)若，数列的“模6数列”为，求出使数列的“覆盖周期”的数列的公差的所有值. 【变式9-3】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”. ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 考点一 等比数列 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．120 B．85 C． D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 二、多选题 4．（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 6．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 四、解答题 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 10．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $