专题6.2 等差数列及其前n项和（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题6.2 等差数列及其前n项和（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 等差数列的基本量计算】 1 【题型2 等差数列的性质及应用】 2 【题型3 等差数列的判定与证明】 4 【题型4 等差数列的通项公式】 6 【题型5 等差数列的前n项和】 8 【题型6 等差数列的简单应用】 9 【题型7 等差数列中的不等式问题】 11 【题型8 等差数列与其他知识交汇】 13 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 等差数列的基本量计算】 1．（2025·湖南永州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据已知及等差数列的通项公式列方程求基本量. 【解答过程】设公差为，则，解得. 故选：B. 2．（25-26高三上·天津·月考）记为等差数列的前项和，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解题思路】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【解答过程】设公差为，由可得且， 解得. 故选：D. 3．（2025·四川德阳·一模）记为等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C．7 D．-7 【答案】B 【解题思路】根据等差数列通项公式和前项和公式，代入题目等式条件中，求出结果即可. 【解答过程】根据等差数列性质，可知，即， 化简得，可知. 故选：B. 4．（24-25高二下·安徽·期末）已知等差数列的前项和为，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】利用已知条件，结合等差数列通项公式，建立关于和d的方程；利用已知条件，结合前n项和公式，建立方程；联立两个方程，解出公差d. 【解答过程】已知，由通项公式，当时： （方程①）， 已知，由前n项和公式，当时： ，化简得 （方程②）， 用方程①减去方程②： ， 故选：D. 【题型2 等差数列的性质及应用】 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）在等差数列中，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的性质求解即可. 【解答过程】由等差数列性质可得，又，所以，解得， 故选：B. 6．（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【解答过程】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 7．（2026·陕西西安·一模）记为等差数列的前n项和.已知，，则（   ） A．8 B．10 C．13 D．15 【答案】C 【解题思路】运用等差中项的性质即可得解. 【解答过程】由，可得， 又因为，即，解得， 故选：C. 8．（2025·全国·模拟预测）已知等差数列满足，则（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 【答案】B 【解题思路】由等差数列的性质求出，再利用等差数列的通项公式计算即可求解. 【解答过程】已知是等差数列， ， 由等差数列的性质可得，. 因此， ， 又因为，， 所以. 故选：B. 【题型3 等差数列的判定与证明】 9．（2025·山东菏泽·一模）已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据充分必要条件的判断方法,分充分性和必要性,分别判断. 【解答过程】充分性：若对，，都有， 则令,得,即，因为为常数,所以数列为等差数列; 必要性:等差数列不一定满足,,, 例如:当等差数列通项公式为时,,, 此时,所以,,”是“数列为等差数列的充分不必要条件. 故选：A. 10．（24-25高二下·广东茂名·月考）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的定义逐一判断即可. 【解答过程】依题意，对消去，得，等价于，所以， 所以是等差数列，故D正确，C错误；若是等差数列，则是等差数列，则是等差数列， 与是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为，故A错误． 故选：D． 11．（2025·河北·模拟预测）已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）利用等式变形，可以得到等差数列递推关系，从而问题得证； （2）利用裂项法来求和，即可得解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 由，两边同时除以可得：， 两边再同时乘以可得：， 又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． （2）由（1）可得：，则， 即， 所以. 12．（2025·云南昆明·模拟预测）记为数列的前项和，已知，，且. (1)求的值； (2)证明：为等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由递推公式，代入求解即可. （2）由代入化简得，再同除以即可证明. 【解答过程】（1）当时，， 即， 整理得， 解得或（舍去）. 故的值为. （2）证明：由可得， 故， 故，即， 故是首项和公差均为1的等差数列. 【题型4 等差数列的通项公式】 13．（24-25高二上·福建龙岩·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据是等差数列，根据条件及公式，求出，代入公式，即可得答案. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 则. 故选：B. 14．（2025·辽宁·二模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知等式变形得出，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式. 【解答过程】因为，，可得出，，， 以此类推可知，对任意的，， 且， 所以，或（舍）， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 故，故. 故选：C. 15．（2025·广东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 【答案】(1) (2)1，2 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程求公差和首项即可得解； （2）由等差数列的求和公式、通项公式化简不等式求解即可． 【解答过程】（1）依题意，，解得， 故数列的公差， 则； （2）， 故，即，即，解得， 因为，所以使得不等式成立的的值为1，2． 16．（2025·云南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，其中． (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的最小值． 【答案】(1) (2)5 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程求公差和首项即可得解； （2）由等差数列的求和公式、通项公式化简不等式求解即可. 【解答过程】（1）记等差数列的公差为，则，① ，即，② 联立两式，解得 故． （2）由（1）可知， 故，即，即， 又，故 因为，所以的最小值为5． 【题型5 等差数列的前n项和】 17．（2025·湖南长沙·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的前项和公式和性质化简得到，则. 【解答过程】因为，所以，即， 所以公差 ，所以 故选：C. 18．（2025·云南·一模）已知是等差数列的前n项和，若，则（   ） A．20 B．55 C．110 D．220 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的性质与求和公式计算即可. 【解答过程】因为是等差数列，，所以, 则． 故选：C． 19．（2025·四川凉山·一模）在等差数列中，是其前n项和，若，，则（    ） A． B．5 C．10 D．15 【答案】D 【解题思路】由已知条件列出方程，求出首项和公差代入公式即可求解. 【解答过程】在等差数列中，， 依题意，，即， 两式相减解得，代入得， 因此. 故选：D. 20．（2025·湖南郴州·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．29 C．30 D．31 【答案】A 【解题思路】设等差数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式和前项和公式可得，，解方程求，，再求可得结论. 【解答过程】设等差数列的公差为，则，， 所以，，， 因为，， 所以，， 化简可得，， 所以，， 所以， 故选：A. 【题型6 等差数列的简单应用】 21．（2025·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列前项和公式计算即得. 【解答过程】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 则，， 所以这根竹子的装米量为（升）. 故选：B. 22．（2025·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】A 【解题思路】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，根据题意结合等差数列的通项求出其通项公式，进而可得出答案. 【解答过程】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故选:A. 23．（2025·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了 尺布.” 【答案】11 【解题思路】记公差为，根据已知求出再利用等差数列的通项公式求解. 【解答过程】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为， 由题得，所以 所以. 故答案为：11. 24．（2025·甘肃白银·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 . 【答案】120 【解题思路】根据题意一只鸡、一只狗､一只羊､一头驴的价格依次为，列出关于和的方程组，解出即可求出甲花费的钱数. 【解答过程】由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列， 设该数列为，公差为， 则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为， 由题意得解得 故甲花费的钱数为. 故答案为：120. 【题型7 等差数列中的不等式问题】 25．（2026·黑龙江大庆·二模）已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 【答案】C 【解题思路】先由已知不等式结合等差数列的性质得到，再利用等差数列的求和公式和下标的性质判断可得. 【解答过程】由得，因为，所以，所以 由和得， 所以， ， 故使得的的最小值为4051. 故选：C. 26．（2025·广东江门·一模）已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（    ） A．9 B．10 C．17 D．18 【答案】C 【解题思路】根据，可得异号，根据可知，且，所以，利用等差数列的前n项和公式即可得出结果. 【解答过程】解：因为，所以异号， 因为，所以， 又有，所以，即， 因为，， 所以的最大整数n为17. 故选：C. 27．（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式； （2）通过裂项相消的方法化简的表达式，并证明不等式. 【解答过程】（1）在等差数列中，，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以， 故数列的通项公式为. （2）因为，所以， 则 化简得. 因为，所以，故. 28．（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式结合等比中项计算求解； （2）先把转化为，再根据的单调性得出最大项，最后得出参数范围. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由已知可得， 因为，解得， 又， 得， 所以. （2）由（1）可知，则， 由可得， 令， ， 当时，， 当时，， 则数列的最大项为， 故， 即实数的取值范围为. 【题型8 等差数列与其他知识交汇】 29．（2025·四川·模拟预测）已知等差数列满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列下标和的性质及诱导公式即可求解. 【解答过程】因为数列为等差数列， 所以， 所以. 故选：. 30．（2025·甘肃武威·模拟预测）定义在上的函数满足，且，若，则（   ） A．512 B．2026 C．3032 D．4052 【答案】D 【解题思路】根据条件可得，，即，结合等差数列的通项公式求解即可. 【解答过程】由及， 得，即， 由，得， 所以，又， 所以构成以2为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：D. 31．（2025·上海闵行·一模）已知函数，（，，），其部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【解题思路】（1）由图可知，，，将数值代入函数解析式即可求得相关参数； （2）根据求得，再利用正弦定理将化为，进一步化简得到，从而求出，即可求出答案. 【解答过程】（1）由图知：， ，因为，所以， ，所以，解得， 由得，所以， 所以. （2）因为且，所以， 因为成等差数列，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 将代入得， 展开得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以为等边三角形. 32．（2025·陕西西安·一模）将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且. (1)求； (2)求的单调增区间，并说明在上的单调性； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【解题思路】（1）解方程，结合求解； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）说明是等差数列，根据求和公式求解. 【解答过程】（1）由，得， 所以或， 解得或， 因为且， 所以时，或，解得或 当时，， 此时，而，不合题意， 所以. （2）由（1）， 由，得， 因为，所以单调增区间为， 因为，所以， 当，即时单调递增， 当，即时，单调递减； （3）当时，由或， 得或，又， 所以的奇数项构成以为首项，公差为的等差数列， 偶数项构成以为首项，公差为的等差数列. 所以当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 所以. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·甘肃·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．2 C．9 D．21 【答案】B 【解题思路】法一：利用等差数列的基本量，将其转化为的关系求解即可； 法二：利用等差数列的性质求解即可. 【解答过程】法一：利用等差数列的基本量运算 由，即， 又. 法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，， 由，所以， 故选：B. 2．（2026·甘肃陇南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【解题思路】利用等差数列性质，，其中，计算即可. 【解答过程】由题意可知等差数列满足：， 所以得：， 所以． 故选：C． 3．（2026·湖北荆门·模拟预测）已知等差数列前n项和为，若，则（    ） A．9 B．5 C．1 D．10 【答案】A 【解题思路】根据等差数列前项和公式与等差中项的性质计算即可. 【解答过程】因为等差数列前n项和为，， 所以. 故选：A. 4．（2026·重庆·模拟预测）在等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（   ） A．1或2 B．1或3 C．2或3 D．3 【答案】B 【解题思路】利用等差数列性质建立关于公比的方程. 【解答过程】设等比数列的公比为， 因为成等差数列， 所以，即. 则，因为等比数列中， 所以，解得或， 故选：B. 5．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（   ） A．81 B．243 C．27 D．729 【答案】B 【解题思路】先根据等差数列前n项和公式和通项公式基本量的运算求得，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 在等差数列中，，， 所以有，故， 所以，，则，故. 故选：B. 6．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【解题思路】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【解答过程】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 7．（25-26高三上·山西·月考）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的求和公式与通项公式解决实际问题. 【解答过程】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则 首项为 ，公差 ，项数 ，， 根据等差数列前 项和公式： ， ， 计算化简：即， 所以根据等差数列通项公式： ，代入 、、， . 故选：C. 8．（2025·湖南·一模）已知等差数列满足：，则前20项的和为（　　） A．190 B．360 C．400 D．440 【答案】C 【解题思路】设出公差后，结合等差数列性质与等差数列求和公式计算即可得解. 【解答过程】设数列公差为，令得，， 令得，则，即， 解得，． 故选：C. 二、填空题 9．（2026·安徽淮南·一模）已知等差数列的前项和为，，，则 ． 【答案】1100 【解题思路】根据等差数列的通项公式及前项和公式求解即可. 【解答过程】设等差数列的首项为，公差为， 则，， 联立解得，， 所以，， 所以. 故答案为：1100. 10．（2026·河北·模拟预测）已知等差数列满足，则 ． 【答案】8 【解题思路】设等差数列的公差为，由已知可得，进而计算可求. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由，得， 所以，所以； 所以. 故答案为：. 11．（2026·山东泰安·一模）按如图所示的规则练习数数，数到2026时是第 次数到食指.    【答案】507 【解题思路】由图中数字可知，中指对应的数的通项公式，代入2027求解次数，即可求出2026对应的食指次数． 【解答过程】由图中数字可知， 中指对应的数分别为3，7，11，15，19…… ∴中指对应的数构成以3为首项，4为公差的等差数列， 其通项公式为：； 因为，所以数到2027时，对应的指头是第507次数到中指. 所以数到2026时，对应的指头是第507次数到食指. 故答案为：507. 12．（2026·湖北荆州·一模）已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】先根据等差数列的通项公式和前项和公式求出，利用裂项相消法求出，再利用导数求的最大值即可. 【解答过程】因为数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，， 所以， 所以 ， 对于任意，成立，只需即可， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取最大值， 所以，即， 所以的最小值为， 故答案为：. B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·安徽·模拟预测）已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 【答案】A 【解题思路】写出数列与的通项公式，对数列利用等差中项的性质列方程求出数列的公差，从而代入的通项公式求出. 【解答过程】设的公差为 ，的公差为 ， ，解得，所以， ， 因为数列也是等差数列， 所以，即， 解得（舍去）或， 所以，. 故选：A. 2．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设等差数列的公差为，根据成等比数列，利用等比中项求得和公差，再由等差数列前n项和公式结合条件求解即可. 【解答过程】设数列的公差为， 因为，成等比数列， 所以， 解得， 所以， 故. 由，得，解得.   ∵，∴的最大值为. 故选：D. 3．（2025·浙江杭州·一模）已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用等差数列的定义依次验证选项即可. 【解答过程】是等差数列，则需要满足， 对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确； 对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确； 对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确； 对于D, ,, 所以，， 由于为等差数列，则，所以，故D正确； 故选：D. 二、解答题 4．（2026·贵州·模拟预测）已知等差数列的公差为成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等差数列的性质和等比中项求出的通项公式; （2）利用裂项相消法求出数列的前项和. 【解答过程】（1）因为成等比数列，所以， 所以，得 因为，所以． 又，解得， 所以. （2）由（1）知    所以 . 5．（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，. (1)求； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，依题意列出方程组，求得，即可写出通项； （2）先求出的表达式，将两个数列的项依次列出，再合并后从小到大排列推得，化简数列的通项，利用裂项相消法计算即得. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 因，可得， 解得， 故； （2）由（1）得，则，则. 因数列的项依次为：，而数列的项依次为：， 将两数列的所有项从小到大排列依次为：，故其通项为. 则， 故数列的前项和为： . 6．（2026·吉林长春·一模）已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为2，且，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】先根据等差数列的通项公式求数列的通项公式，进而得到，再利用求数列的通项公式. （2）利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消求和法求. 【解答过程】（1）由题意：，， 又数列为等差数列，设数列的公差为， 由 . 所以 . 所以. 当时，， 当时， . 时，上式也成立. 所以. （2）因为， 所以，，，…，. 以上各式相乘，可得当时，， 又，所以，， 所以 . 7．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3) 【解题思路】（1）根据等差数列和等比数列的知识求得公差和公比，从而求得通项公式． （2）利用裂项相消法求得． （3）利用错位相减法求得，利用差比较法求得的取值范围． 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以． （2）由（1）知，， 则． ． （3）由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是． 8．（2025·安徽·二模）已知等差数列的前项和为，，对任意正整数，均有. (1)求和； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）数列为等差数列，不妨设，再利用待定系数法解得，根据等差数列前项和公式求． （2）方法一：由题意得，再根据累乘法得到，方法二：构造数列，得到数列为常数列即可求解； （3）由题意得，先证，再累加即可证得． 【解答过程】（1）因为数列为等差数列，不妨设，由可得，故，解得， 所以， ，即，即， 所以，解得， 故，. （2）方法一：由（1）得：， 当且时，， ， 当时，满足， 综上所述：. 方法二：由（1）得：， ，，， ， 令，则数列为常数列， ， ； （3）由（1）知，，下面证明， 设，， 则，当时，，单调递增， 所以， 所以，即， 所以 ， 所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 等差数列及其前n项和（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 等差数列的基本量计算】 1 【题型2 等差数列的性质及应用】 2 【题型3 等差数列的判定与证明】 2 【题型4 等差数列的通项公式】 3 【题型5 等差数列的前n项和】 3 【题型6 等差数列的简单应用】 4 【题型7 等差数列中的不等式问题】 4 【题型8 等差数列与其他知识交汇】 5 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 等差数列的基本量计算】 1．（2025·湖南永州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高三上·天津·月考）记为等差数列的前项和，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 3．（2025·四川德阳·一模）记为等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C．7 D．-7 4．（24-25高二下·安徽·期末）已知等差数列的前项和为，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型2 等差数列的性质及应用】 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）在等差数列中，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 7．（2026·陕西西安·一模）记为等差数列的前n项和.已知，，则（   ） A．8 B．10 C．13 D．15 8．（2025·全国·模拟预测）已知等差数列满足，则（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 【题型3 等差数列的判定与证明】 9．（2025·山东菏泽·一模）已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（24-25高二下·广东茂名·月考）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北·模拟预测）已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 12．（2025·云南昆明·模拟预测）记为数列的前项和，已知，，且. (1)求的值； (2)证明：为等差数列. 【题型4 等差数列的通项公式】 13．（24-25高二上·福建龙岩·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·辽宁·二模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·广东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 16．（2025·云南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，其中． (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的最小值． 【题型5 等差数列的前n项和】 17．（2025·湖南长沙·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 18．（2025·云南·一模）已知是等差数列的前n项和，若，则（   ） A．20 B．55 C．110 D．220 19．（2025·四川凉山·一模）在等差数列中，是其前n项和，若，，则（    ） A． B．5 C．10 D．15 20．（2025·湖南郴州·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．29 C．30 D．31 【题型6 等差数列的简单应用】 21．（2025·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 22．（2025·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 23．（2025·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了 尺布.” 24．（2025·甘肃白银·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 . 【题型7 等差数列中的不等式问题】 25．（2026·黑龙江大庆·二模）已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 26．（2025·广东江门·一模）已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（    ） A．9 B．10 C．17 D．18 27．（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 28．（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 【题型8 等差数列与其他知识交汇】 29．（2025·四川·模拟预测）已知等差数列满足，则（　　） A． B． C． D． 30．（2025·甘肃武威·模拟预测）定义在上的函数满足，且，若，则（   ） A．512 B．2026 C．3032 D．4052 31．（2025·上海闵行·一模）已知函数，（，，），其部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状． 32．（2025·陕西西安·一模）将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且. (1)求； (2)求的单调增区间，并说明在上的单调性； (3)求数列的前项和. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·甘肃·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．2 C．9 D．21 2．（2026·甘肃陇南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 3．（2026·湖北荆门·模拟预测）已知等差数列前n项和为，若，则（    ） A．9 B．5 C．1 D．10 4．（2026·重庆·模拟预测）在等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（   ） A．1或2 B．1或3 C．2或3 D．3 5．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（   ） A．81 B．243 C．27 D．729 6．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 7．（25-26高三上·山西·月考）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 8．（2025·湖南·一模）已知等差数列满足：，则前20项的和为（　　） A．190 B．360 C．400 D．440 二、填空题 9．（2026·安徽淮南·一模）已知等差数列的前项和为，，，则 ． 10．（2026·河北·模拟预测）已知等差数列满足，则 ． 11．（2026·山东泰安·一模）按如图所示的规则练习数数，数到2026时是第 次数到食指.    12．（2026·湖北荆州·一模）已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为 . B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·安徽·模拟预测）已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 2．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·一模）已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（2026·贵州·模拟预测）已知等差数列的公差为成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 5．（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，. (1)求； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 6．（2026·吉林长春·一模）已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为2，且，求数列的前项和. 7．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 8．（2025·安徽·二模）已知等差数列的前项和为，，对任意正整数，均有. (1)求和； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $