专题08因式分解题型突破讲义 (知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题08因式分解题型突破讲义 基础 过关题 1.判断是否为因式分解 2.由因式分解的结果求参数 3.公因式的识别与提取 4.提公因式法分解因式 5.判定能否用公式法分解因式 6.平方差公式法分解因式 7.完全平方公式分解因式 能力 提升题 8.综合运用公式法分解因式 9.提公因式与公式法的综合分解 10.因式分解在简算中的应用 11.十字相乘法分解因式 拓展 拔高题 12.实数范围内分解因式 13.分组分解法分解因式 14.因式分解的应用 一.基础概念（必背） 1.因式分解定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（本质：和 / 差 → 积）。 2.关键判断 结果必须是整式相乘，不能有加减、不能有分式、不能有根号。 必须分解到每个因式都不能再分解为止（在有理数范围内）。 3.与整式乘法的关系 整式乘法：积 → 和差；因式分解：和差 → 积（互逆运算，可用乘法检验分解是否正确）。 二.必须掌握的 3 种基本方法（重点） 1. 提公因式法（最基础、优先用） 公因式确定： (1)系数：取各项系数的最大公约数； (2)字母：取各项相同字母，指数取最低次幂。 公式 / 步骤：ma+mb+mc=m(a+b+c)先看有无公因式，有公因式必先提，提完再看能否继续分解。 易错点：首项为负时，公因式带负号；某项提完剩1，不要漏写。 2. 公式法（2 个核心公式，必考） （1）平方差公式 形式：两项、异号、都能写成平方 公式：a2−b2=(a+b)(a−b) （2）完全平方公式 形式：三项式，首尾平方、中间两倍积 公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2−2ab+b2=(a−b)2 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看前方。 3. 十字相乘法（常用补充，重点拓展） 适用于：二次三项式 x2+px+q 方法：找两个数a、b，a+b=p ab=q 结果：x2+px+q=(x+a)(x+b) 三、分解步骤（固定解题流程，必记） 1.一提：优先提取公因式（数字系数 + 相同字母）； 2.二套：提完后看剩余部分能否套平方差 / 完全平方公式； 3.三分：二次三项式尝试十字相乘； 4.四查： 查是否分解到不能再分； 查结果是否为整式积； 用整式乘法回代检验是否正确。 四、高频易错点（必避坑） 1.分解不彻底（如提公因式后还能套公式，没继续分解）； 2.混淆因式分解与整式乘法，写成和差形式； 3.符号错误：提负号、完全平方中间项符号易错； 4.漏项：提公因式后某项剩 1，直接省略； 5.公式误用：平方差写成(a−b)2，完全平方少 “2 倍”。 【题型1.判断是否为因式分解】 1．把一个多项式化成_____________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，分解因式与___________互为逆变形过程． 【答案】几个整式的积，整式乘法 【分析】根据分解因式的定义即可求解． 【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，分解因式与整式乘法互为逆变形过程， 故答案为：几个整式的积，整式乘法． 【点睛】本题主要考查分解因式的概念，理解并掌握分解因式的概念是解题的关键． 2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形要恒等是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项． 【详解】解：A、右边为，是和的形式，不是积，不是因式分解，不符合题意； B、右边为，是多项式，不是积，不是因式分解，不符合题意； C、右边为，是积的形式，且等式成立，是因式分解，符合题意； D、右边，不是因式分解，不符合题意． 故选：C． 3．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（   ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算． 【详解】解：①，从左到右的变形是整式的乘法；②，从左到右的变形是因式分解； 所以①是乘法运算，②因式分解． 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义． 【题型2.由因式分解的结果求参数】 4．把分解因式得，则c的值是 ． 【答案】2 【分析】将展开即可得到c的值． 【详解】解：∵（x＋1）（x＋2）＝x2＋2x＋x＋2＝x2＋3x＋2， ∴x2＋3x＋c＝x2＋3x＋2， ∴c＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了因式分解与整式乘法．熟知因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键． 5．若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法，解题的关键是将因式分解的结果展开． 根据题意得到，可得m、n的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴，， 故选：C． 6．二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 【答案】无数 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键．先设分解的两个因式为（a，b都是整数），根据因式分解与整式的关系得与间关系，判断满足条件的a、b得结论． 【详解】解：在整数范围内可以分解成两个一次因式， 设分解的两个因式为（a，b都是整数）， ， 在整数范围内，满足两个整数的和为的a、b有无数对， 满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． 解答题 7．已知可以因式分解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值． 根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：因为可以因式分解为， 所以， 所以， 所以， 所以． 【题型3.公因式的识别与提取】 8．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式，理解公因式的定义是解题的关键． 根据公因式的定义解题即可． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： ． 9．下列各组中，没有公因式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式的公因式，熟练掌握多项式的公因式是解题的关键． 将每一组因式分解，找到公因式即可得到答案． 【详解】解：A、，，有公因式，不符合题意； B、多项式与没有公因式，符合题意； C、由，得，有公因式，不符合题意； D、，有公因式，不符合题意； 故选：B． 10．已知，则 ． 【答案】-3 【分析】先由题意将式子2b−a+3=0，进行变形，变成a-2b=3的形式，然后再将要求的式子化简，使每一项都含有因式a-2b，再代入求值即可得出. 【详解】∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是，要把整式化成含有公因式a-2b的形式，再代入求值． 解答题 11．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】前3个小题直接提取公因式即可； 后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及． 【题型4.提公因式法分解因式】 12．因式分解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．利用提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．把多项式分解因式得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用提公因式法进行多项式因式分解，先通过变形将多项式中互为相反数的因式化为相同形式，再提取公因式，最后对剩余部分继续分解因式，再分析各选项的正误即可． 【详解】解： ． 故选：A． 14．如图，一次函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了一次函数的性质，因式分解，代数式求值，掌握将点代入函数解析式得到关系式，通过因式分解简化代数式求值是解题的关键． 将点代入一次函数解析式，得到和的值，对所求代数式因式分解后代入计算． 【详解】解：一次函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 15．中，为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据除数=被除数÷商，将两个多项式化简，约分，可求出单项式M． 【详解】 故选：C． 【点睛】本题考查了被除数、除数、商，三者之间的关系以及多项式除以单项式，涉及因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键． 解答题 16．把下列各式因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）将化为，然后利用提公因式法因式分解即可； （2）将化为，然后利用提公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型5.判定能否用公式法分解因式】 17．下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可选出本题答案． 【详解】解：∵， ∴A选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵， ∴B选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵，即不符合完全平方公式， ∴C选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意； ∵， ∴D选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 18．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 19．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（         ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可． 【详解】解：A、是x2与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； B、两项的符号相同，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； C、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确； D、去括号后结果为x2，不是二项式，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点． 【题型6.平方差公式分解因式】 20．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 21．下列多项式因式分解后的结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解．根据因式分解判断各项即可． 【详解】解：A、，符合题意， B、不能分解，不符合题意； C、不能分解，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 22．课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪发现其中有一道题目出错了，出错的是第 道题（填序号）． 用平方差公式把下列各式因式分解： ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题考查平方差公式因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键； 根据平方差公式要求表达式为两个平方项相减的形式，逐一分析各选项即可判断． 【详解】解：① 可分解为 ，符合平方差公式； ② 可分解为 ，符合平方差公式； ③ 表示为 ，不是平方差形式，无法用平方差公式分解； ④ 可分解为 ，符合平方差公式． 故出错的是第③道题． 故答案为：③． 23．已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， A. ，结论错误，不符合题意； B. ，结论错误，不符合题意； C. ，结论错误，不符合题意； D. ，结论正确，符合题意． 故选：D． 【题型7.完全平方公式分解因式】 24．因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 25．多项式因式分解，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法与完全平方公式的综合应用，解题关键是先提取公因式，再对剩余部分套用公式． 先提取公因式，再应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ 故选：B． 26．已知，，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的计算，掌握配方法构造完全平方是解题的关键． 将代数式中的二次三项式分别配成完全平方形式，然后代入数值计算． 【详解】解：由完全平方公式，得 ，． 代入 ，，得 ，． 所以 ，． 因此原式 ． 故答案为：4． 27．无论，为何实数，代数式的值（   ） A．可能为零 B．最小为7 C．最小为10 D．最大为10 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解的应用，将原式化为，根据偶次幂的非负性，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴原式大于或等于，即最小为7 故选：B． 解答题 28．将下列各式因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式，利用公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先算多项式乘多项式，合并同类项后利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取负号，利用完全平方公式进行因式分解，然后再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型8.综合运用公式法分解因式】 29．计算：＝ ． 【答案】 【分析】把分子利用平方差公式分解，分母利用完全平方公式分解，约分计算即可得到结果． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用因式分解进行计算，解题关键是熟练运用公式法进行因式分解． 30．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【详解】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数． 故选：A． 31．若a2＋2ab＋b2﹣c2＝10，a＋b＋c＝5，则a＋b﹣c的值是 ． 【答案】2 【分析】根据完全平方公式以及平方差公式将a2＋2ab＋b2﹣c2＝10进行因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】解：a2＋2ab＋b2﹣c2＝10， （a＋b）2﹣c2＝10， （a＋b＋c）（a＋b﹣c）＝10， ∵a＋b＋c＝5， ∴5（a＋b﹣c）＝10， ∴a＋b﹣c＝2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查代数式化简求值、因式分解、完全平方公式和平方差公式，熟记公式，利用整体代入思想求解是解答的关键． 解答题 32．分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先把看做一个整体，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【题型9.提公因式与公式法的综合分解】 33．因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了提公因式法、完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 34．简便计算等于（   ） A．1800 B．180000 C．225000 D．100000 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式法和完全平方公式，掌握观察式子结构，提取公因式后用完全平方公式简化计算是解题的关键． 通过观察，表达式可提取公因数后应用完全平方公式简化计算． 【详解】解：∵ ， ∵ ， ∴ 原式=． 故选：B． 35．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式进行因式分解，化简后再提公因式即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 36．词牌名有固定的格式与声律，决定着词的节奏与音律．李华令，，，，，分别对应6个字：乌、月、西、江、夜、啼．现请你将因式分解，结果呈现的词牌名可能为（    ） A．乌江夜 B．啼西月 C．西江月 D．乌夜啼 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的步骤是解题的关键． 将给定的多项式因式分解，得到 ，然后根据每个因式对应的字组合成词牌名． 【详解】解：∵ ， ∴对应“乌”，对应“夜”，对应“啼”， ∴结果呈现的词牌名为“乌夜啼”， 故选：D． 【题型10.因式分解在简算中的应用】 37．如果，，那么代数式的值是 ． 【答案】-64 【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式，然后将已知整体代入求值，即可． 【详解】解：= = ∵，， ∴原式=2×(-4)×8 =-64， 故答案是：-64． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式，进行分解因式，是解题的关键． 38．若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【答案】D 【分析】将中的分子进行因式分解，再依次判断，即可求解，本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 39．计算： ． 【答案】/ 【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可． 【详解】解：原式= ， 故答案为：． 【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算． 解答题 40．利用因式分解简化计算：． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握识别完全平方公式的结构特征，用公式因式分解简化计算是解题的关键． 观察式子结构，发现其符合完全平方和公式的形式，用公式因式分解后简化计算． 【详解】解：原式 ． 【题型11.十字相乘法分解因式】 41．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】， 故答案为：． 42．多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将二次三项式因式分解，需找到两个数使其积为常数项，和为一次项系数，逐项验证即可． 【详解】解：分解条件：设分解形式为， 需满足：，， 寻找整数解：可能的因数组合为：和（和为，积为）， 验证选项：选项B：，展开得，与原式一致， 其他选项均不符合条件， 故选：B． 43．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解中的换元法与十字相乘法，解题的关键是通过换元将含多项式的二次式转化为常见的二次三项式，再利用十字相乘法分解因式． 设，则原多项式转化为二次三项式；用十字相乘法分解该二次式（寻找两个数，积为且和为，即和），得到；最后将换回，得到原多项式的因式分解结果． 【详解】解：设，则原多项式可化为： 用十字相乘法分解：寻找两个数，使其积为，和为，这两个数为和， 故： 将代回，得： 故答案为：． 解答题 44．解关于x的方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，因式分解，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【题型12.实数范围内分解因式】 45．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解即可． 本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 46．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 解答题 47．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型13.分组分解法分解因式】 48．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法，进行因式分解即可． 【详解】解： ； 故答案为： 49．下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的方法分别判断即可． 【详解】解：A．，正确； B．，正确； C．，正确； D．，原式分解不彻底，故不正确； 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 50．因式分解后，一个因式为，则另一个因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，根据一个因式为添加项凑即可得到答案； 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 解答题 51．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式； （1）把原式化为，再进一步分解因式即可； （2）把原式化为，再进一步分解因式即可； 【详解】解：（1） ； （2） ； 【题型14.因式分解的应用】 52．若，，则 ． 【答案】 【分析】先把分解因式，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是利用因式分解求解代数式的值，掌握“提公因式的方法分解因式”是解本题的关键． 53．若为任意整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ∴的值总能被4整除． 故选：B． 54．若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解的意义和代数式求值，掌握若是多项式的因式，则时多项式的值为是解题的关键． 由因式分解的意义，因式 对应根 ，代入多项式求值． 【详解】解：将 代入多项式 ， 得 ，即 ， 整理得 ． 故答案为：． 解答题 55．某公园有一块如下图所示的半径为（单位：）的圆形草坪，现要在其内修建4个半径均为（单位：）的圆形花坛．设草坪剩余部分（阴影部分）的面积为（单位：）． (1)用含，的式子表示． (2)当，时，利用因式分解的知识求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的面积计算，提公因式法和平方差公式因式分解，掌握先根据面积关系列表达式，再用因式分解简化代入计算是解题的关键． （1）用大圆面积减去4个小圆的面积，列出阴影部分面积的表达式； （2）对面积表达式先提取公因式，再用平方差公式因式分解，代入数值简化计算． 【详解】（1）解：=大圆面积−4×小圆面积， ． （2）解：． 当，时， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题08因式分解题型突破讲义 01 题型梳理 1.判断是否为因式分解 2.由因式分解的结果求参数 基础 3.公因式的识别与提取 4.提公因式法分解因式 过关题 5.判定能否用公式法分解因式 6.平方差公式法分解因式 7.完全平方公式分解因式 能力 8.综合运用公式法分解因式 9.提公因式与公式法的综合分解 提升题 10.因式分解在简算中的应用 11.十字相乘法分解因式 拓展 12.实数范围内分解因式 13.分组分解法分解因式 拔高题 14.因式分解的应用 02 重点内容 基础概念（必背） 1.因式分解定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（本质：和/差→积） 2.关键判断 结果必须是整式相乘，不能有加减、不能有分式、不能有根号。 必须分解到每个因式都不能再分解为止（在有理数范围内）。 3.与整式乘法的关系 整式乘法：积→和差；因式分解：和差→积（互逆运算，可用乘法检验分 解是否正确)。 二.必须掌握的3种基本方法（重点） 1. 提公因式法（最基础、优先用） 公因式确定： ()系数：取各项系数的最大公约数： 试卷第1页，共3页 (2)字母：取各项相同字母，指数取最低次幂 公式/步骤：ma+mb+mc=m(a+b+c)先看有无公因式，有公因式必先提，提完 再看能否继续分解。 易错点：首项为负时，公因式带负号；某项提完剩1，不要漏写。 2.公式法(2个核心公式，必考) (1)平方差公式 形式：两项、异号、都能写成平方 公式：a2-b2-(a+b(a-b) (2)完全平方公式 形式：三项式，首尾平方、中间两倍积 公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看前方。 3.十字相乘法（常用补充，重点拓展） 适用于：二次三项式x2+px+q 方法：找两个数a、b,a+b=pab=q 结果：x2+px+q=(x+a)x+b) 三、分解步骤（固定解题流程，必记） 1.一提 优先提取公因式（数字系数+相同字母）； 2.二套： 提完后看剩余部分能否套平方差/完全平方公式： 3.三分： 二次三项式尝试十字相乘； 4.四查 查是否分解到不能再分： 查结果是否为整式积： 用整式乘法回代检验是否正确。 四、高频易错点（必避坑） 1.分解不彻底（如提公因式后还能套公式，没继续分解）； 2.混淆因式分解与整式乘法，写成和差形式： 3.符号错误：提负号、完全平方中间项符号易错； 4.漏项：提公因式后某项剩1，直接省略； 试卷第1页，共3页 5.公式误用：平方差写成(a-b2,完全平方少2倍”。 基础过关题 【题型1.判断是否为因式分解】 1.把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，分解因 式与 互为逆变形过程， 2.下列各式从左到右的变形是因式分解的是() A.x2-6x+9=x(x-6+9 B.(x+1)2=x2+2x+1 C.2x2-2=2(x+1x-1 D.x2-1=(x-12 3.对于①(x+2)(x-1)=x2+x-2,②x-4y=x(1-4y),从左到右的变形，表述正确的是 () A.都是因式分解 B. 都是乘法运算 C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 【题型2.由因式分解的结果求参数】 4.把x2+3x+c分解因式得(x+1)(x+2),则c的值是」 5.若多项式x2+mx+n因式分解的结果为(x+3)(x-1,则m,的值分别为() A.-2,-3 B.-2,3 C.2,-3 D.2,3 6.二次三项式x2-12x+k在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个 解答题 7.已知x2+mx-n可以因式分解为(x+7)(x-3,求(5m-n225的值. 【题型3.公因式的识别与提取】 8.多项式3x2y2+8y3+y的公因式是 9.下列各组中，没有公因式的是() A.3a-3b与b-a B.mx+y与x+my C.(m-1与-(1-m D.a+b与-(b+a 试卷第1页，共3页 10.己知2b-a+3=0,则(a-2b)2-4a+8b=_ 解答题 11.把下列各式因式分解： (1)x(a+b)+y(a+b);(2)3a(x-y)-(x-y);(3)6(p+q)2-12(q+p): (4)a(m-2)+b(2-m);(5)2(y-x)2+3(x-y);(6)mn(m-n)-m(n-m)2. 【题型4.提公因式法分解因式】 12.因式分解a2-a= 13.把多项式mn-2)-m2(2-n分解因式得() A.mn-2)m+1 B.(n-2(m-m C.(n-2)(m+m2) D.m(n-2)(m-1 14.如图，一次函数y=-x-6的图象经过点P(a,b)和Qc,d),则ac+d)+b(c+d)的值 为 15.(x+2x-4r)÷M=-x-x2+2中，M为（) C.-2x2 D.2x2 解答题 16.把下列各式因式分解： (1)ma-3+2(3-a. (2)2x(x-y)2-4y(y-x)2. 【题型5.判定能否用公式法分解因式】 17.下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是() 试卷第1页，共3页 A.x2-2xy+y2 B.-x2+2xy-y2 C.-x2-2xy+y2 D.x2+4y2+4xy 1 18.在多项式x2+少，-y+,r-,+x+4-+2x-1,4x2+1-4中，能用 公式法分解因式的有个。 19.下列各式能用平方差公式进行因式分解的是() A.x2+1 B.-x2-1 C.-x2+1 D.1+x2)-1 【题型6.平方差公式分解因式】 20.因式分解：x2-y2= 21.下列多项式因式分解后的结果为-(2x+y)(2x-y)的是() A.-4x2+y2B.4x2+y2 C.-4x2-y2 D.4x2-y2 22.课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪发现其中有一道题目出错了，出错的 是第 道题（填序号）· 用平方差公式把下列各式因式分解： ①a2-b2；②x2-1;③-x2-y2；④4m2-25n2. 23.已知三个实数a,b,c满足a+b+c≠0，a2+b2=c2,a2=b2+c2则下列结论一定成立的是 (）. A.a+b=0 B.a+c=0 C.b+c=0 D.b2-4ac<0 【题型7.完全平方公式分解因式】 24.因式分解：4x2+4x+1= 25.多项式2m2+12m+18因式分解，正确的结果是（) A.2m2(m+3 B.2(m+3) C.2m(m+3) D.2(m2+6m+9 26.已知a=3-√2，b=2+√2，则代数式(a2-6a+9)b2-4b+4)的值为_ 27.无论x,y为何实数，代数式x2+2y2+2x-4y+10的值() 试卷第1页，共3页 A.可能为零 B.最小为7 C.最小为10 D.最大为10 解答题 28.将下列各式因式分解： (1)(x+2)(x-3)-3x+10. (2)-(x2+2+6x2+2-9. 能力提升题 【题型8.综合运用公式法分解因式】 29.计算： 20212-20202 20212+20202+2021×4040 30.如果a,b,c是三角形的三边长，那么代数式a2+b2-2ab-c2的值是() A.负数 B.正数 C.非负数 D.非正数 31,若a2+2ab十b2-c2=10,a+b十c=5,则a十b-c的值是. 解答题 32.分解因式：(m2-1-6m2-1+9 【题型9.提公因式与公式法的综合分解】 33.因式分解：3a2+6ab+3b2= 34.简便计算2×2022+4×202×98+2×982等于（) A.1800 B.180000 C.225000 D.100000 35.因式分解：(2x-y)2-(4x+3y)2= 36.词牌名有固定的格式与声律，决定着词的节奏与音律.李华令3x,x2+1,x-y, 3x+y,y,（x+y)分别对应6个字：乌、月、西、江、夜、啼.现请你将 3x3y+6x2y2+3xy3因式分解，结果呈现的词牌名可能为() A.乌江夜 B.啼西月 C.西江月 D.乌夜啼 【题型10.因式分解在简算中的应用】 37.如果x+y=-4,x-y=8,那么代数式2x2-2y2的值是 38.若算式55×17-45×1口的结果为整数，则整数n的值不可能是() 试卷第1页，共3页 A.100 B.50 C.17 D.3 9.计第：（京11-（1) 解答题 40.利用因式分解简化计算：1722+56×172+282. 【题型11.十字相乘法分解因式】 41.因式分解：x2-8x+12= 42.多项式x2-x-6因式分解的正确结果是() A.x2-x-6=xx-1-6 B.x2-x-6=(x-3(x+2 C.x2-x-6=x+3)x-2) D.x2-x-6=(x-6)(x+1 43.因式分解：（a-b)2-4(a-b)-5= 解答题 44.解关于x的方程：a2(x-2)-3a=x+1. 拓展拔高题 【题型12.实数范围内分解因式】 45.在实数范围内分解因式：x4-4y=一 46.在实数范围内分解因式：x4-9= 解答题 47.在实数范围内分解因式： (1)x2+4x+1; (2)x2-4x-2. 【题型13.分组分解法分解因式】 48.因式分解：b4-a4-b2c2-a2c2= 49.下列因式分解错误的是() A.x2-2xy+y2-4=(x2-2xy+y2）-4=(x-y)2-22=(x-y-2)(x-y+2) B.x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3) 试卷第1页，共3页 C.-4a2+9b2=(3b-2a)(2a+3b) D.x4-8x2+16=x2-4 50.x3+6x2+6x+1因式分解后，一个因式为x+1,则另一个因式是 解答题 51.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a+3ab-4-6b分解因式. 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式=(2a-4)+(3ab-6b =2(a-2)+3b(a-2 =(a-2)(2+3b) 【类比】(1)请用分组分解法将x2-a2+x+a分解因式， 【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a2-2ab-bx+b2分解因式. 【题型14.因式分解的应用】 52.若a-b=6,ab=5,则a2b-ab2= 53.若m为任意整数，则(2m+6)2-36的值总能() A.被3整除B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除 54.若多项式x2+mx+n(m,n是常数)分解因式后，有一个因式是x+1,则m-n的值为_ 解答题 55.某公园有一块如下图所示的半径为R(单位：m)的圆形草坪，现要在其内修建4个半 径均为r(单位：m)的圆形花坛，设草坪剩余部分（阴影部分）的面积为S(单位：m2)· ()用含R,r的式子表示S. (2)当R=7.5m,r=1.25m时，利用因式分解的知识求S. 试卷第1页，共3页