专题8.4 乘法公式（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题8.4 乘法公式 教学目标 1. 理解平方差公式、完全平方公式（和的平方、差的平方）的推导算理，掌握两个乘法公式的结构特征、字母含义，明确公式的推导依据是多项式乘多项式法则，衔接前期整式乘法知识，建立知识关联； 2. 能熟练运用两个乘法公式进行简单运算，准确处理含负系数、不同字母组合的公式运算（如(a+3)(a-3)、(2x+y)²、(3m-4n)²等），杜绝公式混淆、符号错误、漏项（完全平方公式）及系数运算错误； 3. 能解决乘法公式相关基础应用问题，包括利用公式化简表达式、求值、判断多项式能否用公式分解，区分公式适用场景，为后续因式分解、整式混合运算、分式化简奠定坚实基础。 教学重难点 1.重点 （1）掌握完全平方公式的计算，并学会用完全平方公式的变形求值； （2）掌握完全平方公式与几何图形的关联； （3）掌握平方公式的计算及其几何背景。 2.难点 （1）掌握完全平方式的变形求值； （2）掌握完全平方式的几何背景。 知识点01 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了完全平方公式．直接利用完全平方公式化简即可得出答案． 【详解】解：． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为平方差公式，不符合题意； B、，为平方差公式，不符合题意； C、，可用完全平方公式计算，符合题意； D、，为平方差公式，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式的变形，通过计算与的差得到，进而求出的值，即可作答． 【详解】解：，． 将两式相减，得， 即， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若 是完全平方式，则m的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方式． 根据完全平方公式，表达式为完全平方式时，常数项16的平方根为，中间项系数2(m-3)应等于2倍平方根或其相反数，从而求解m． 【详解】解：∵是完全平方式， 完全平方式形式为， ∴， ∴或， 当时，中间项系数或， 解得：或； 当时，中间项系数或， 解得：或， 综上，或， 故答案为：或． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）（2）（3）（4）直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 知识点02 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 【即学即练】 6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是掌握完全平方公式． 图中最大的正方形的边长为，则其面积为，而边长为的正方形面积又等于两个较小的正方形面积加上两个长方形面积，据此求解即可． 【详解】解：图中最大的正方形的边长为，则其面积为， 而边长为的正方形面积， ∴， 故选：D． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将四个小正方形用两种不同方法放在大正方形的四个顶点处，则图2中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，先求小正方形的边长，再利用面积公式求解即可． 【详解】小正方形的边长为： 则阴影部分的面积可以看成一个边长为正方形和四三个长为，宽为的长方形的和 即： 故选：A． 8．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若的面积为4，阴影部分的面积为38，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先根据三角形的面积得出，再根据阴影部分的面积为​，求出，根据完全平方公式变形为，求出，进而可得出答案． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为a，b，的面积为4， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为​， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：10． 9．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）小明同学用四张长为a、宽为b的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图（任两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． (1)图中小正方形的边长是 ； (2)通过计算小正方形面积，可推出三者之间的等量关系式为 ； (3)运用（2）中的结论，当时，求小正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据题意可知小正方形的边长等于长方形的长减去长方形的宽，据此可得答案； （2）小正方形的面积等于其边长的平方，小正方形的面积等于边长为的正方形面积减去4个长方形的面积，据此分别表示出小正方形的面积即可得到结论； （3）根据（2）所求可求出的值，进而可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得，图中小正方形的边长是； （2）解：图中小正方形的边长是，则其面积为， 图中小正方形的面积等于边长为的正方形面积减去4个长方形的面积，则其面积为， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的边长为4． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用了如图①所示的三种不同的矩形纸片拼成了如图②所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示出图②中阴影部分的面积； 方法1：            方法2： (2)拓展应用： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2)①3；②2023 【分析】本题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题． （1）方法一：阴影部分面积为两个小正方形面积之和，分别求出两个小正方形面积然后相加即可；方法二：阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，分别求出面积然后进行计算即可； （2）①根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案； ②根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案. 【详解】（1）解：（1）方法1：由题意可知阴影部分面积为两个小正方形面积之和 即：， 方法2：由阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积 ； （2）①∵，，， ∴， 解得； ②由（1）得， 可得， ∵， ∴ ． 知识点03 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 【即学即练】 11．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）下列各式中能用平方差公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式，平方差公式是，根据平方差公式判断即可． 【详解】解：A. ，不能用平方差公式计算，故该选项不正确，不符合题意； B. ，不能用平方差公式计算，故该选项不正确，不符合题意； C. ，能用平方差公式计算，故该选项正确，符合题意； D. ，不能用平方差公式计算，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列式中，能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式的特点是解决问题的关键．利用平方差公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，符合平方差公式； B、，不符合平方差公式； C、，不符合平方差公式； D、，不符合平方差公式； 故选：A． 13．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）已知，，则的值为（    ） A．2 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的变形应用是解题的关键． 利用平方差公式将已知条件转化为关于的方程，然后求解． 【详解】解：∵，且 ， ∴， ∴． 故选：B． 14．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）若，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查平方差公式，整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平方差公式将已知条件转换，代入求解即可． 【详解】解： ． 已知 ，， ∴ ， ∴． 故答案为 ：5． 15．（24-25七年级下·江苏·期中）利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将写成，写成，再利用平方差公式计算即可； （2）将写成，写成，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 知识点04 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 【即学即练】 16．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴验证的等式为， 故选∶C． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）有一块边长为米的正方形土地，若把这块地的一边长增加1米，另一边长减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（   ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了整式乘法的应用．求出原正方形面积，变化后长方形的面积，比较后即可判断． 【详解】解：∵原正方形面积为，变化后长方形面积为， ∴， 即面积变小了． 故选：C． 18．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键． 设正方形，正方形的边长分别为，根据面积之差为51，可得，结合，可得，即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， ∵两正方形面积之差为51， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：3 19．（24-25七年级下·江苏·期中）（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查平方差公式与几何图形，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据等积法可进行求解； （2）①由题意易得，然后代入进行求解即可； ②根据平方差公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为； （2）①， ， ， ； ② ． 20．（24-25七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式分解因式，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，将前后两个图形的阴影面积表示出来即可； （2）由，可得，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：， ∴图1 的阴影部分面积为：， 图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：， ∴图2长方形的面积为：， ∴验证的等式是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 题型01 完全平方公式 1．（25-26八年级上·甘肃·期末）已知，则a的值为（    ） A．4 B．±4 C．2 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 根据完全平方式把左边展开，并比较等式两边对应项的系数，建立方程求解a的值． 【详解】∵， 且给定， ∴． 比较x项系数：， ∴； 验证常数项：，符合． ∴a的值为2． 故选C． 2．（25-26八年级上·河北唐山·月考）运用简便方法计算正确的是（   ） A．103×103 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．可以表示为，利用完全平方公式展开即可简便计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：D． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【详解】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 4．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查完全平方公式，整体代入思想，熟练掌握完全平方公式的计算法则是解题的关键． 直接利用完全平方公式计算，合并同类项后，整体代入即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 题型02 利用完全平方公式进行简便计算 6．（25-26七年级上·全国·阶段练习）利用乘法公式简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用． （1）运用完全平方公式计算即可． （2）运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）解：原式 ， ， 7．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）用简便方法计算． (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子，再运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． （2）结合完全平方公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．（25-26八年级上·全国·课前预习）运用完全平方公式进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式直接求解即可． （2）利用完全平方公式直接求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（24-25七年级下·广东茂名·期中）应用完全平方公式进行简便计算：． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式直接计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ， ， ． 10．（24-25八年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)996004； (2)； (3)1 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）把原式变为，利用完全平方公式计算； （2）把原式变为，利用完全平方公式计算 （3）把原式变为，逆用完全平方公式计算； 【详解】（1） （2） （3） 题型03 已知完全平方式求字母的值 11．（25-26八年级上·天津北辰·月考）若是一个完全平方式，那么的值是（） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查完全平方式的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方式的定义，表达式应能写成二项式的平方形式，通过比较系数求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式，且， 完全平方式为， ∴对比中间项，得， 即， 解得． 故选A． 12．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若是一个完全平方式，则a的值为（   ） A． B． C．或5 D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的系数，根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴一次项为， ∴， ∴或， 故选：D． 13．（25-26八年级上·全国·期末）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得答案． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式，且， ∴， ∴． 故答案为： 14．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，根据即可求解． 【详解】解：是一个完全平方式，， 解得． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·四川雅安·月考）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【答案】(1)6 (2)5或 (3)60 【分析】本题考查完全平方公式的应用，包括完全平方公式的展开与变形，完全平方公式的结构特征，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式将展开式，利用已知条件即可求出； （2）根据完全平方公式的形式，将整理成的形式，即可求解k的值； （3）先求出的值，再使用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 解得； 故答案为：6； （2）解：∵是一个完全平方式， ∴即， 即， 当，解得， 当，解得， ∴k的值为5或； 故答案为：5或； （3）解：∵， ∵， 又∵， 即， ∴， 解得． 题型04 通过对完全平方公式变形求值 16．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．设，，则，，利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴ ． 故选：C． 17．（25-26八年级上·云南昆明·月考）已知，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式变形求值，是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件平方后展开，即可求解． 【详解】∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 18．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：22． 19．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 20．（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 题型05 完全平方公式与几何图形 21．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用几何图形验证完全平方公式，解决本题的关键是用不同的方式表示正方形的面积． 【详解】解：大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 大正方形是由两个边长分别为、的正方形和个长为宽为的矩形组成， 大正方形的面积还可以表示为， ． 故选：B． 22．（25-26八年级上·全国·周测）如图，一个小正方形的边长为．若它的边长增加，面积就增加，则a的值为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 设正方形的边长是，根据面积相应地增加了，即可列方程求解． 【详解】解：设正方形的边长是， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：. 23．（24-25七年级下·江苏南京·月考）有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为 ． 【答案】95 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，设两个正方形的边长分别为，图1和图2中阴影部分的面积分别为和，进而求出，则，即可得解． 【详解】解：设两个正方形的边长分别为， 由图1可得：， ， 由图2可得：， ， ， ， 图2中大正方形的面积为， 故答案为：95． 24．（25-26八年级上·河南信阳·月考）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 【答案】(1) (2)；② 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析即可． （1）理解每个代数式的意义，根据不同方法表示的阴影部分的面积相同列式即可； （2）根据（1）的结论代入进行计算即可． 【详解】（1）解： 观察图②可知为大正方形的面积，为小正方形的面积，为一个长方形面积；根据不同方法表示的阴影部分的面积相同得； （2）解：① 25．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）综合与实践 主题：从形的角度探究数量关系． 活动：如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2，阴影部分是一个小正方形)． 任务1：用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积S，完成下面的填空(列式即可)：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得 ；由正方形的面积公式可得 ； 任务2：写出三个代数式之间的等量关系式 ． 任务3： 已知， 请利用发现的结论， 求的值． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 对于任务1，根据面积公式计算可得答案； 对于任务2，根据面积相等可得答案； 对于任务3，将数值代入计算即可得出答案． 【详解】解：任务1：大正方形的面积减去4个小长方形的面积；正方形的面积； 故答案为：；； 任务2：根据面积相等得； 故答案为：； 任务3：由上面的结论可知， ∵， ∴原式， ．     所以． 题型06 完全平方公式的规律探究问题 26．（2025·安徽安庆·一模）设表示两位数，如：当时，表示82；数学兴趣小组研究的平方规律，依次计算发现个位上数字是2的两位数平方的规律： 第1个等式， 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照以上规律，完成下列问题： (1)写出第5个等式：________． (2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知的平方等于乘以的积加上4，据此写出第5个等式即可 （2）根据（1）的规律写出第n个等式，再利用完全平方公式把等式左边展开，利用单项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可证明结论． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为 （2）解：猜想，证明如下： ∵左边， 又∵右边， ∴左边右边， ∴． 27．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）发现规律：已知两个正整数，那么这两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数． 特例验证：假设这两个正整数是2和1，则这两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和为： 即结果是偶数，所以“发现规律”中的结论在这个特例中成立 一般探究：假设这两个正整数为m，n，请说明“发现规律”中的结论正确 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用完全平方公式．利用完全平方公式可变形为，即可． 【详解】解： 因为m，n为正整数， 所以是正整数， 所以是偶数， 所以“发现规律”中的结论正确． 28．（24-25七年级下·陕西榆林·月考）观察下列等式： ； ； ； ； ； … (1)根据以上规律可得____________； (2)用含有字母n（且n为整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律； (3)相邻两整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】(1)101，99 (2)见解析 (3)结果为奇数，不是4的倍数． 【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案； （2）利用整式的运算法则即可验证； （3）根据题意列出式子即可求证． 【详解】（1）解：由题意可知：， 故答案为：101，99； （2）解：由题意可知：， 证明：右边左边； （3）解：设相邻的两个整数分别：， 根据题意可知：， 化简结果为奇数，故不是4的倍数． 【点睛】本题考查了数字的变化类，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律． 29．（24-25七年级下·江苏常州·期中）观察下列等式： 第1个算式： 第2个算式： 第3个算式： 第个算式： 请结合上述三个算式的规律，回答下列问题： (1)写出第5个算式：________； (2)根据你发现的规律，写出第（为正整数）个算式：________________； (3)我们可以用所学知识证明这个结论．请对（2）中的算式进行代数推理． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】本题考查了整式的混合运算和整式规律探究，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题中算式找出规律，再求解； （2）根据题中算式找出规律，再写出一般表达式； （3）先计算出左边，再与等式右边比较即可证明． 【详解】（1）解： 第5个算式为：， 故答案为：； （2）解： 第（为正整数）个算式：， 故答案为：； （3）证明：， ， 结论正确． 30．（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： 按照以上规律，解决问题： (1)写出第5个等式： (2)写出第个等式（用含的式子表示），并通过计算说明你写出的等式的正确性； (3)利用上述规律，计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数混合运算的数字类规律探索， （1）根据规律直接写出第5个等式即可； （2）根据规律直接写出第n个等式，并验证即可； （3）利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； （2）解：第个等式（用含的式子表示）：， 等式成立理由如下：左边右边 所以，等式左边=右边，等式成立． （3）解：原式 ． 题型07 利用完全平方公式的非负性求值 31．（25-26八年级上·广西钦州·月考）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质和完全平方公式的应用．由绝对值和平方的非负性，可得且，进而求出和的值，再利用完全平方公式求． 【详解】解：， ，． ，． ． 故选：A． 32．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）已知分别是的三边长，若，则的周长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据题意可得，则根据完全平方公式可推出，据此求出c的值，进而求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 33．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）21．已知：a、b、c为的三条边，，求的周长？ 【答案】 【分析】此题考查完全平方公式，解题关键在于利用运算公式进行变形． 把已知条件写成三个完全平方式的和的形式，再由非负数的性质求得三边，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即 ∵，， ∴，，， ∴，，， ∴周长为：． 34．（24-25九年级上·广东韶关·月考）【阅读材料】配方法在证明恒等式、利用求代数式最值等问题中都有广泛应用． 如：． ，，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法将多项式化成的形式为__________； (2)求证：无论，取任何实数，代数式的值恒为正数； (3)若a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)等腰三角形 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据配方法变形即可； （2）先将代数式配方，根据非负性即可得证； （3）先将配方，进一步可得，，即可判定的形状． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴无论、取任何实数，代数式的值恒为正数； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 即， ∴，， 解得：， ∴是等腰三角形． 35．（25-26九年级上·安徽阜阳·开学考试）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是所以所以当时，的值最小，最小值是所以的最小值是     依据上述方法，解决下列问题： (1)多项式有最______填“大”或“小”值，该多项式的最值是 ； (2)已知三角形的三边长都是正整数，且满足，求当时，三角形的周长． 【答案】(1)大， (2)9 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）仿照题干的方法，结合完全平方的非负性，进行求解即可； （2）将转化为两个完全平方的和等于0的形式，非负性求出的值，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴多项式有最大值，该多项式的最值是22； （2）解：， ， ， ∴，， ，， ， 的周长． 题型08 利用完全平方公式求最值 36．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）代数式的所有值中，最小的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解决问题的关键．根据完全平方公式将变形，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ， ， ∴原式最小值为1． 故选：C． 37．（25-26八年级上·海南海口·月考）巧用乘法公式解决最值问题 课堂上老师要求运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， 即当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： 求当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ 【答案】当时，该代数式有最小值，最小值为3 【分析】本题考查了利用完全平方公式的应用，将化为，仿照已知方法求解即可．会仿照已知方法进行配方，利用完全平方公式的性质进行求最值是解题关键． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴当时，该代数式有最小值，最小值为3． 38．（24-25八年级上·福建漳州·期中）在学习乘法公式的运用时，我们常利用完全平方公式求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料利用完全平方公式解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)当时，最小值是17 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正确掌握公式的结构特点是解题的关键． （1）先整理，因为，则，即可作答． （2）先整理，因为，所以，即可作答． （3）先整理，因为，所以，即可作答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时的最小值是1； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值是5； （3）解： ∵， ∴， ∴当时，的最小值是17． 39．（24-25七年级下·四川成都·月考）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， 因为，所以当时，的值最小，最小值是． 所以．所以当时，的值最小，最小值是． 所以的最小值是． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最 （填“大”或“小”）值，该值为 ． (2)已知的三边长分别为，，，且满足，求的周长． 【答案】(1)，大， (2)见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）将化成完全平方公式的形式计算即可； （2）将化成完全平方公式的形式计算，求出，，的值，根据三角形三边关系判断其可以构成三角形，即可求周长． 【详解】（1）解：， ， 当时，的值最小，为， ， 当时，有最小值，该值为． 故答案为：，大，． （2）解：， ， ，，， 边长为，，能构成三角形， 的周长为． 40．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)求多项式的最大值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了乘法公式的应用． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：当时，的值最小，最小值是， 此时． 故答案为：，； （2）解： 因为， 所以当时，的最大值是0． 所以． 所以当时，的值最大，最大值是． 所以的最大值是． 题型09 完全平方公式的新定义问题 41．（24-25七年级下·全国·阶段练习）对于任意有理数A，B，现用“☆”定义一种运算：．根据这个定义，代数式可以化简为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据题目中给出的定义利用完全平方公式化简计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 42．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式：，，（，，都是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据方方同学给出的定义，判断是不是平衡多项式？说明理由． (2)已知是平衡多项式，求平衡因子． 【答案】(1)不是平衡多项式 (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，理解平衡多项式的定义，列出算式是解题关键． （1）根据平衡多项式定义，计算即可判断； （2）根据平衡多项式定义分三种情况分别计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴由定义可知，不是平衡多项式 （2）解：∵是平衡多项式， 分三种情况： 当时， ∴， ∵是一个常数，即取值与无关， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵是一个常数，即取值与无关， ∴， ∴与，，都是非零常数相矛盾，不合题意舍去； 当时， ∴， ∵是一个常数，即取值与无关， ∴， ∴， ∴； 综上所述，平衡因子． 43．（25-26八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于____________对称； (2)若关于的多项式关于对称，则的值为_________； (3)整式关于____________对称． 【答案】(1) 3 (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式的配方以及根据新定义判断多项式的对称轴，解题的关键在于将多项式通过配方转化为完全平方式的形式，再根据定义确定对称轴． （1）首先对多项式进行配方，化成完全平方的形式，求解对称轴即可． （2）先对多项式进行配方，在根据多项式关于对称，求解的值即可． （3）先对整式中的两个多项式分别进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式关于对称 故答案为：3； （2）解：∵， ∴关于对称， ∵关于对称， ∴， ； 故答案为：； （3）解：， ， ∴原式， ∵当取相反数时，相等，故原式值相等， ∴关于对称． 故答案为：． 44．（24-25八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或-1时，的值均为6．于是小明给出一个定义： 对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于__________对称； （2）若关于的多项式关于对称，求的值； （3）整式关于___________对称． 【答案】（1）2；（2）；（3）． 【分析】（1）先利用完全平方公式进行变形，再根据题中所给的定义即可得； （2）利用完全平方公式进行变形即可得； （3）先利用完全平方公式将两个括号中的多项式进行变形，再根据定义即可得． 【详解】解：（1）， 则多项式关于对称， 故答案为：2； （2）， 则关于的多项式关于对称， 因为关于的多项式关于对称， 所以，即； （3）， ， ， ， 则整式关于对称， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键． 45．（24-25八年级上·四川巴中·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为；当，即或时，的值均为． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称；若关于的多项式关于对称，则______； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为，求时，多项式的值． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（）对多项式进行配方，即可求出关于对称，求出的对称轴，由关于对称，即可求解； （）对多项式进行配方，根据新定义判定，然后代入求值即可； 本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键． 【详解】（1）解：由， 则是关于对称， 由，关于对称， 由题意得， 故答案为：，； （2）由， ∵关于的多项式关于对称， ∴，解得， ∵当时，多项式的值为， ∴，解得， ∴关于的多项式为， ∴当时，． 题型10 运用平方差公式进行计算 46．（25-26八年级上·天津南开·期末）两个连续奇数的平方差一定是（    ） A．5的倍数 B．6的倍数 C．7的倍数 D．8的倍数 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．设两个连续奇数为和（n为整数），计算其平方差并化简，判断倍数关系． 【详解】解：设两个连续奇数为和（n为整数），则平方差为 ． 为整数， 两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． 故选：D． 47．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式可以利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式适用于形式为的表达式，即两项中一项相同，另一项互为相反数，据此特点逐一判断即可． 【详解】解：A、，无相同项和相反项，不可用平方差公式计算，不符合题意； B、，不符合题意平方差公式的特点，不可用平方差公式计算，不符合题意； C、，不符合题意平方差公式的特点，不可用平方差公式计算，不符合题意； D、，相同项为和，相反项为和，可用平方差公式计算，符合题意． 故选：D． 48．（25-26八年级上·广东广州·期末）已知，，则计算的结果为（   ）． A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，利用平方差公式进行化简是解题的关键． 首先利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 故选：D． 49．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）若，，则的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】该题考查了平方差公式，利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得， 代入已知条件和， 得， ∴， 故答案为：． 50．（25-26八年级上·山东济宁·周测）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3)2499 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据平方差公式直接进行计算即可； （2）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型11 利用平方差公式进行简便计算 51．（25-26七年级上·上海闵行·期末）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式将原式转化为两数差与两数和的乘积． 【详解】解：． 故答案为：． 52．（24-25七年级下·广东深圳·期中）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式的运用．利用平方差公式变形求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 53．（24-25七年级下·四川达州·月考）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷，相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算． 解： ① ② ． (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用______（填乘法公式的名称）； (2)用简便方法计算：． 【答案】(1)平方差公式 (2)1 【分析】（1）根据平方差公式解答即可； （2）仿照例题，根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：第②步变形是利用平方差公式． 故答案为：平方差公式； （2）解： ． 【点睛】本题考查利用平方差公式简便计算．掌握平方差公式是解题关键． 54．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）运用乘法公式简便计算： (1)； (2) 【答案】(1)9991 (2)10000 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 55．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）计算：用简便方法计算． 解： ① ② ． (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用_______（填乘法公式的名称）； (2)用简便方法计算：． (3)计算：． (4)【拓展】计算：． 【答案】(1)平方差公式； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握相关公式特征是解题的关键． （1）由题意观察例题的求解过程，利用乘法公式进行判断匹配即可； （2）将化为，进一步利用平方差公式求解； （3）先将式子变形为，进一步利用平方差公式和完全平方差公式进行计算； （4）给式子前乘以，进一步利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解：例题的求解过程中，第②步变形是利用平方差公式； 故答案为：平方差公式． （2） ． （3） ． （4） ． 题型12 运用平方差公式化简求值 56．（25-26八年级上·河南周口·月考）（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题考查了整式的混合运算，同底数幂的乘法、完全平方公式，平方差公式，代数式求值，正确计算是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值； （2）先通过完全平方公式，平方差公式进行化简，在合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：（1） ， ， 当时，原式． （2）原式， ， ， 当时，原式． 57．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）化简求值：先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 先根据平方差公式，单项式乘以多项式，完全平方公式计算，再代入求值即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 58．（24-25七年级下·广东深圳·期中）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式    第一步     第二步         第三步 任务： (1)运算从第______步开始出错，出现错误的原因是______． (2)请把正确的化简步骤写一遍，并求值． 【答案】(1)一；少了要改成 (2)， 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式和多项式除以单项式，解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则． （1）根据完全平方公式，平方差公式和多项式除以单项式运算法则判断即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式和多项式除以单项式运算法则计算即可． 【详解】（1）解：运算从第一步开始出错，出现错误的原因是少了，要改成； （2）解：原式 ， 当时，原式． 59．（24-25七年级下·四川成都·期末）（1）先化简，再求值：，其中； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答； （2）先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：（1） ， 当时，原式 ； （2） ， 当，时，原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，解题的关键是熟练地进行计算． 60．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值： ，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务一： ①第一步运算中用到的乘法公式为________（用含字母，的式子表示） ②以上步骤第________步出现了错误，错误的具体原因是________________________________ 任务二：请写出正确的解答过程． 任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出一条建议． 【答案】任务一：①；②一 ，的展开式在去括号时符号错误；任务二：过程见解析；任务三：见解析． 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，平方差公式和完全平方公式． 任务一：①根据完全平方公式即可得出答案；②根据去括号法则即可得出答案； 任务二：根据整式的混合运算顺序解答即可； 任务三：在使用乘法公式展开化简时要注意前面为负号时，展开后要记得先加括号 【详解】解：任务一：①第一步运算中用到的乘法公式为； ②以上步骤第一步出现了错误，错误的具体原因是：的展开式在去括号时符号错误； 故答案为：一 ；的展开式在去括号时符号错误； 任务二： ． 当，时，原式． 任务三：在使用乘法公式展开化简时要注意前面为负号时，展开后要记得先加括号（答案不唯一）． 题型13 利用平方差公式进行多个因式相乘 61．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方,同底数幂的乘法．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键．由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解： …… ， ∵， ∴每4个为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 62．（24-25七年级下·江西鹰潭·月考）若，则的个位数字为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是平方差公式，能够将原式乘以，凑出平方差公式的形式是解题的关键．将原式乘以凑出平方差公式的形式，按照平方差公式进行计算即可得出答案． 【详解】解： ， 又∵， ∴指数每4个个位数字重复一次， ， ∴个位数字为6， 故选：C． 63．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知：，…，设，则A的个位上数字是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，乘方， 先将A根据平方差公式整理，再根据乘方得出数字变化规律，可得答案． 【详解】解： ， ∵，…， 可知，个位数字分别为2，4，8，6，…，以4为周期循环，而， ∴的个位数字为6， ∴A的个位上数字是6． 故选：B． 64．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）观察：， ． ， 据此规律，求的个位数字是（    ） A．5 B．6 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据材料找出规律是解答本题的关键．根据题目规律得出计算结果为，然后确定个位数字的规律解答即可． 【详解】解：根据题意可得规律：， ∴， ∵的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 而 ∴的个位数字是； 故选：A． 65．（2025七年级下·辽宁·专题练习）计算结果的个位数字为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是重复运用平方差公式，根据结果得出规律，先把化为的形式，与式子构成平方差公式，再运用平方差公式对式子进行化简，得出原式，再研究出，得出的个位数呈现：循环，结合，即可作答． 【详解】解： ， ∵ ∴可知的个位数呈现：循环， ∵， ∴的个位数是， ∴的个位数是0， 故答案为：0． 题型14 利用平方差公式解决整除问题 66．（2025·河南郑州·一模）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式的运用是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的加减运算得到，结合为任意整数，得到是整数，由此即可求解． 【详解】解： ， ∵为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被5整除， 故选：C． 67．（24-25七年级下·全国·阶段练习）若为正整数，则的结果（   ） A．一定能被6整除 B．一定能被8整除 C．一定能被10整除 D．一定能被12整除 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式．原式利用完全平方公式和单项式乘多项式去括号，再合并计算即可判断． 【详解】解： ， ∵为正整数， ∴结果一定能被8整除． 故选：B． 68．（24-25八年级上·河南南阳·期中）小明说：“对于大于0的任意整数，代数式都能被8整除”，你同意他的说法吗？说明你的理由． 【答案】同意小明的说法．理由见解析 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，根据整式乘法运算法则得出，即可得出答案． 【详解】解：同意小明的说法． 理由如下： ， 当为大于0的任意整数时，原式一定是8的倍数． 69．（24-25八年级上·福建厦门·期中）认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题： ①，②， ③，④ … (1)请写出：算式⑤___________；算式⑥___________； (2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，请说明这个规律是成立的； (3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由． 【答案】(1)， ； (2)见解析 (3)不成立，理由见解析 【分析】（1）根据题意得出⑤；⑥； （2）由平方差公式得出，即可得出两个连续奇数的平方差能被8整除； （3）举反例，如，即可判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法错误． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， 为整数， ∴两个连续奇数的平方差能被8整除； （3）解：不成立，理由如下： 举反例，如， ∵12不是8的倍数， ∴这个说法不成立． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，将数进行合理的分解是解决整除问题的关键，对不成立的原因，举反例是行之有效的办法． 70．（25-26八年级上·吉林·期末）已知是正整数，求证：能被4整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项，得出，根据是正整数即可得结论． 【详解】证明： ． 是正整数， 能被4整除． 能被4整除． 题型15 平方差公式的规律探究问题 71．（2025·安徽·一模）【观察思考】 观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得________（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了平方差公式，多项式乘法的规律问题． （1）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可； （2）根据所给式子的规律，把x换为5即可求解； （3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果； 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； （3）解：①由可得： ， ∴； ②由可得： 原式 ． 72．（24-25八年级上·河南安阳·期末）观察下面各式，你发现有什么规律？将你发现的规律用等式表示出来并证明． (1)观察与发现： ； ； ； ； …… 那么 ； ；（直接写出答案） (2)猜想与验证：请用字母m，n（m，n均为正整数）表示出来你发现的规律，并举例验证你的猜想． 规律： ； 例如：当 ， 时， 则： ； (3)请证明（2）中的规律成立． 证明： 【答案】(1)1600；40000 (2)；；； (3)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的运算，平方差公式，完全平方公式等知识， （1）根据题干给出的规律计算即可； （2）根据（1）的规律作答即可； （3）运用完全平方公式证明即可． 【详解】（1）， 即； ， 即； ， 即； ， 即； …… 则有： ， ， 故答案为：1600，40000； （2） 例如：， 则． （3）证明：∵ ， ∴成立． 73．（24-25八年级上·四川泸州·期末）（1）请计算下列各式的值，你发现结果有什么规律？ ，，，… （2）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； （3）利用你发现的规律计算：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1 【分析】本题考查了整式的乘法．根据整式的乘法运算即可求解． 【详解】解：（1）∵，，，… ∴； （2）； （3）由（2）知． 74．（24-25七年级下·山东济南·月考）观察下列各式． ， ， ， ， ...... (1)根据以上规律：则 ． (2)你能由此推出一般规律： ． (3)根据以上规律：的值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）仿照已知等式求出所求原式的值即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ......， ∴， 故答案为：； （2）解：总结题中规律得：； 故答案为：； （3）解：根据以上规律： ． 【点睛】此题考查了平方差公式，规律型：数字的变化类，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 75．（24-25八年级下·广东佛山·期中）观察下面算式的规律，解决问题； ①；②；③；④． (1)根据以上规律写出第⑤个等式： ； (2)通过上面的算式，小明得出了一个结论：两个相差2的奇数的平方差一定是8的倍数．请你证明这个结论． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了数字规律探索，整式乘法混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据题目中给出的式子，总结规律，得出第⑤个等式即可； （2）设两个连续的奇数为，根据平方差公式进行运算，得出，再进行判断即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③；④， ∴第⑤个等式为：； （2）证明：设两个连续的奇数为，则： ， 为整数， 两个连续奇数的平方差是8的倍数． 题型16 平方差公式与几何图形 76．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． ​ (1)通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______________； (2)利用上述乘法公式计算：； 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查乘法公式的探究，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）计算两个图形的面积，利用面积相等得到等式，从而得到公式． （2）利用乘法公式拆分平方差计算，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵两个图形的面积相等，右侧等腰梯形的高为大小正方形边长之差， ∴左侧图形面积为大小正方形面积之差，即； 右侧等腰梯形面积为， ∴． （2）解： ． 77．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是______．若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它的面积是_____． （2）由（1）可以得到一个公式_______． （3）利用你得到的公式计算：． 【答案】（1）图①阴影部分的面积为；图②长方形的面积为；（2）；（3）1 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何应用，利用面积建立等量关系是解答此题的关键．（1）利用正方形的面积公式，图①阴影部分的面积为大正方形的面积-小正方形的面积，图②长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论； （2）由（1）建立等量关系即可； （3）根据平方差公式即可解答． 【详解】（1）图①阴影部分的面积为：， 图②长方形的长为，宽为， 所以面积为：； （2）由（1）可以得到一个公式：； （3） ． 78．（24-25七年级下·山西大同·期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____． A．        B．        C． (2)请你运用从（1）中得到的等式，进行简便计算：． 【答案】(1)B (2) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，运用平方差公式计算,掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）根据平方差公式变形为进而计算，即得答案． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ． 故选：B． （2）解： 79．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 【答案】（1）；（2）3；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； （3） ； （4） ． 80．（25-26八年级上·山东济宁·期末）【教材重现】如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________； (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中B，C，G三点在同一条直线上，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）根据（1）的结论代入计算即可； （3）延长，，交于一点，根据阴影部分的面积等于梯形减去两个三角形的面积即可进行计算． 本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：图1的阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差， 则， 图2的长为，宽为，则面积为 故答案为：； （2）解：，且， （3）解：如图，延长，，交于一点 四边形是正方形 ，， ； 题型17 平方差公式的新定义问题 81．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）定义一种新运算： 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，整式的运算． 根据新定义，将和代入公式，然后利用整式的乘法公式和合并同类项进行化简 【详解】解：由新运算定义，， 则 ． 故答案为：． 82．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是 ． 【答案】65 【分析】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， m，n为正整数， ∴， ， 当时，由产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，…… 当时，由产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，…… 当时，由产生的智慧优数为：48，60，72，84，…… 当时，由产生的智慧优数为：63，77，91，…… 当时，由产生的智慧优数为：80，96，…… 综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，…… ∴第27个智慧优数是65， 故答案为：65． 83．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，9就是一个“智慧数”． （1）若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ； （2）在小于100的正整数中，共有 个“智慧数”． 【答案】 7 49 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，根据“智慧数”的定义，利用平方差公式推导出智慧数的表达式，进而求解第3个智慧数和小于100的智慧数个数。 【详解】解：设满足条件的两个正整数为 和 ，且 ， 则智慧数为 ． 又 ，代入得智慧数 ，其中 为正整数． 因此，智慧数为从 3 开始的奇正整数． （1）第 3 个智慧数对应，即 ， 故答案为：7. （2）根据题意可知，解得， 由于n为正整数， 故n取49， 故答案为：49． 84．（25-26八年级上·河南焦作·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)5000 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解： ， 阴影面积为5000． 85．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ． (1)填空：_____；_____． (2)计算（需写出计算过程）： ； ． 【答案】(1)，． (2)；． 【分析】本题主要考查虚数单位的运算，以及整式乘法公式（平方差公式、完全平方公式 ）在虚数运算中的应用．熟练掌握，并能灵活运用整式乘法公式进行虚数运算，是解题的关键． （1）利用，通过对、进行变形，结合乘方运算规则来计算． （2）①把类比整式乘法的平方差公式，再代入计算． ②将类比整式乘法的完全平方公式展开，然后代入化简 ． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：① ； ② ． 1．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 【答案】A 【分析】此题主要考查了完全平方公式的几何应用．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A，B的面积之和为，依题意得图1中阴影部分的面积，则，再根据图2中阴影部分的面积，得，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为， 如图所示： 在正方形中，， ∴，， ∴图1中阴影部分的面积为：， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为43． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：①；②；③；④．其中正确的表示方法有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】此题主要考查平方差公式、多项式乘法的几何背景，掌握组合图形的拼接方法与面积的计算方法是解决问题的关键． 利用割补的方法将原图形进行转化，结合面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图①，图①中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以整个图形的面积为； 如图②，一个长方形的面积是，另一个长方形的面积是，所以整个图形的面积为； 如图③，在图③中，拼成一个长方形，长为，宽为，则面积为． 综上所述：“L”形的图形的面积为①；②；③；共3种方法正确． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，有两个正方形，，其边长分别表示为，现将放置在的内部得到图甲，将，并列放置，以正方形与正方形的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，平方差公式的应用，根据图形可得图甲阴影部分面积为，即可判定选项；根据图乙阴影部分的面积为，可得，进而由完全平方公式得，即可判定；利用平方差公式可得，即可判定；由完全平方公式得，即可判定，综上即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：图甲中阴影部分是边长为的正方形， ∴图甲阴影部分面积为，故选项符合题意； 图乙整体上是边长为的正方形，面积为， ∴图乙阴影部分的面积为，即， ，故选项不合题意； 由可得，由可得， ，故选项不合题意； ，即， ，故选项不合题意． 故选：． 4．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）下列算式： ①；②；③；④； 其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】此题主要考查了负整数指数幂、积的乘方、平方差公式、完全平方公式，关键是熟练掌握课本基础知识．根据负整数指数幂的计算公式可得①错误；根据积的乘方的计算公式可得②错误；根据平方差公式可得③错误；根据完全平方公式可得④错误． 【详解】解：①故原题计算错误； ②故原题计算错误； ③，故原题计算错误； ④，故原题计算错误； 故选：A ． 5．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）若a、b满足，则代数式的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是非负数的性质，不等式的解法，由可得，结合题干可得，即可得，进一步可得答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 当取最大值时， ∴的最小值为； 故选：D 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）算式计算结果的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式． 通过平方差公式将原式化简为，再分析2的幂次个位数的循环规律求解． 【详解】解： ， ∵，，，，，…… ∴的个位数字周期为4，以2，4，8，6为一周期， ∵余0，对应周期末位， ∴的个位数字为6． 故选：B． 7．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】本题考查整式化简求值，先利用多项式乘以多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后结合已知条件代入求值即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ∵， ∴原式． 故选：A． 8．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，熟练掌握多项式的乘法运算和数字的变化规律是解题关键．根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ， ． ，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环． ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为． 故选：B． 9．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知，，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式． 通过两个等式相减消去参数a，利用平方差公式和因式分解，得到的值，进而求解所求表达式． 【详解】解；由和， 两式相减得， 即， 由于，即， 两边除以得， 则． 故答案为：16． 10．（24-25七年级下·江苏·期末）若，则= ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．将已知等式变形为，然后进行配方得，可求出的值，代入要求值的代数式即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若恒成立，则 ． 【答案】 【分析】先将等式右边的式子展开并整理，然后根据等式恒成立时对应项系数相等，求出、的值，进而计算．本题主要考查等式恒成立的条件及多项式相等的性质，熟练掌握“等式恒成立时对应项系数相等”是解题的关键． 【详解】解： ∴， ∴ 解得，． ． 故答案为： ． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片各10张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的种数为 ． 【答案】 【分析】此题考查完全平方公式的运用，熟记公式内容是此题关键．根据各种纸片数量，不超过张，写出完全平方公式． 【详解】①，即可以用、正方形纸片各张，长方形纸片张拼成一个边长为的正方形； ②，即可以用正方形纸片张，纸片张，长方形纸片张拼成一个边长为的正方形： ③，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形； ④，即可以用正方形纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形； ⑤，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形； ⑥，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形． 综上所述，共有种不同的正方形． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算：的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，解题的关键是将原式变形为平方差的形式． 在原式前乘以，再根据平方差公式进行求解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在大正方形内放置两个边长为的小正方形“”，且每个小正方形“”的一条边分别在大正方形的一组对边上，已知，设图中阴影部分的面积为，大正方形内空白部分的面积为，若，则一个小正方形“”的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算及合并同类项，分别表示出空白部分和阴影部分的面积以及熟练运用整式乘法的运算法则及完全平方公式是解决本题的关键．设，则，分别表示出空白部分的面积和阴影部分的面积，根据可得出，即可得答案． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即一个小正方形“”的面积为． 故答案为： 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若m，n，k满足，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题的考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键，根据，代入，得，根据，得，要想取得最小值取最小值即可解答． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ， ， 当取得最小值0时，取得最小值8， 即取得最小值8， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若，则值是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的算术平方根，先求出的值， 进而利用完全平方公式求出的值，据此可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：17． 17．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，熟练掌握乘法公式、准确计算是解题的关键．先根据完全平方、平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算展开，再代值计算． 【详解】解： ， 当，时，原式． 18．（25-26八年级上·江苏南通·期中）（）填空： ； ； ； （）猜想： （其中为正整数，且）； （）利用猜想的结论计算：． 【答案】（）；；；（）；（） 【分析】（）根据平方差公式、多项式乘以多项式法则逐个计算即可求解； （）根据（）的结果进行猜想即可求解； （）将算式转化为，再利用（）的猜想计算即可求解； 本题考查了平方差公式，多项式乘以多项式，熟练掌握整式的运算法则，并归纳类推出一般规律是解题的关键． 【详解】解：（）； ， 即； ， 即； 故答案为：；；； （）猜想：（其中为正整数，且）， 故答案为：； （） ． 19．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知有下列等式： ； ； ； … 根据以上等式的规律完成下列问题： (1)依次往下排列，第5个等式为___________，第n个等式为___________： (2)根据以上知识判断： 对于任意两个连续偶数的平方差，一定可以被______（4或8）整除； (3)证明（2）中你的结论． 【答案】(1)， (2)4 (3)证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索、平方差公式，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据前面四个等式表明，两个连续奇数的平方差依次等于，，，，据此归纳类推出一般规律即可得； （2）由（1）可得对于任意两个连续奇数的平方差，一定可以被8整除，据此判断出对于任意两个连续偶数的平方差，一定可以被4整除； （3）设这两个连续偶数分别为、（为正整数），利用平方差公式计算即可得证． 【详解】（1）解：由等式规律可知，第5个等式为， 第1个等式为，即， 第2个等式为，即， 第3个等式为，即， 第4个等式为，即， 归纳类推得：第个等式为， 故答案为：，． （2）解：对于任意两个连续偶数的平方差，一定可以被4整除， 故答案为：4． （3）证明：设这两个连续偶数分别为、（为正整数）， 所以 ． 所以对于任意两个连续偶数的平方差，一定可以被4整除． 20．（2023七年级下·江苏南京·竞赛）我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式＂＂变形成或等形式， 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答；设，则， 又：． 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． 【答案】(1)120 (2)2024 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握题目所给的变形方式并正确应用是关键． （1）设，，再求的值，然后借助完全平方公式求值； （2）设，，再求出的值，然后借助完全平方公式求值． 【详解】（1）解：设，， 则，， 所以， ； （2）解：设，， 则， ∵， ∴， 由得： ， 所以， ． 21．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）我们知道，通过两种不同的方法计算图形的面积时可以得到一些代数恒等式．例如，如图1，可以得到一个代数恒等式． (1)仔细观察图2，可以得到一个代数恒等式：__________________； (2)仔细观察图3，可以得到一个代数恒等式：__________________； (3)现有边长为a的正方形、边长为b的正方形和宽、长分别为a、b的长方形纸片若干张，用它们可以拼成一个长方形，该长方形的面积满足代数恒等式，请在方框中画出该长方形(标出相应纸片边长)． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，利用面积法列出等式是解题的关键． （1）根据两种方法表示出长方形的面积，即可求解； （2）根据两种方法表示出正方形的面积，即可求解； （3）根据画出边长分别为和的长方形即可． 【详解】（1）解：正方形的面积， 正方形的面积=各个四边形的面积之和， ∴． 故答案为：． （2）长方形的面积， 长方形的面积=各个四边形的面积之和， ∴， 故答案为：． （3）如图： 22．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）（1）用不同的方法计算如图1中阴影部分的面积得到的等式： ； （2）如图2是两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； （3）根据上面两个结论，解决下面问题：若如图3中，直角三边a、、c， ①满足，，求的值； ②若，，且，则的值是 ． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②10 【分析】本题考查了完全平方公式及勾股定理的几何背景及其应用，以及割补法求图形的面积，熟练掌握完全平方公式及勾股定理是解答本题的关键． （1）阴影部分的面积等于大阴影正方形的面积小阴影正方形的面积，也等于大正方形的面积两个长方形的面积； （2）一种方法是根据梯形的面积公式计算，另一种方法是三个直角三角形的面积和； （3）①利用完全平方公式的变形求出的值，再利用即可求出的值；②根据题意得出，然后可求出c值． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积：， ， ， ． （3）①当 ， 时， ， ， ∵， ∴， ∴（负值舍去）； ② ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 23．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）； (2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题： ①若，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）直接根据图形列出代数式即可； （2）两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （3）利用（2）中结论进行作答即可． 【详解】（1）解：由图②可知：小正方形的边长为； 故答案为：； （2）由图②可知，小正方形的面积可以表示为和； 故； （3）①由（2）得：， ， ； ②， ． 24．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将完全平方公式：进行适当的变形解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空①若，则______； ②若，则______． (3)如图，在长方形中，，，、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）将两边同时平方并利用完全平方公式展开，再将已知数值代入计算即可； （2）①设，则，，利用完全平方公式求得的值即可；②设，，则，，利用完全平方公式求得的值即可； （3）由题意易得，，则，设，，那么，，利用完全平方公式求得的值即可． 本题主要考查了完全平方公式的灵活应用，熟练掌握完全平方公式的变形（如、等），并能结合题目条件准确代入计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：①设，则，， ∴， ， ， ， 即， 故答案为：； ②设，，则，， ∴， ， ， ， 即， 故答案为：； （3）解：，，， ，， ， 设，， 那么，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积和为． 25．（25-26八年级上·江苏南通·期中）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：___________； 【解决问题】 （2）若，且，则___________； 【实际应用】 （3）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 【拓展提升】 （4）已知，求的值． 【答案】（）；（）；（）；（）． 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键． （1）根据大正方形的面积减去个长方形的面积等于小正方形的面积，列出等量关系即可； （2）利用（1）所得的等量关系解得即可； （3）设，，可得，，再利用完全平方公式计算即可求解； （4）根据完全平方公式得到，根据求出，即，进入求出，根据求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，长方形的面积为， 由图可知，大正方形的面积减去个长方形的面积等于小正方形的面积， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵无人机和机器人表演区域的面积和为平方米， ∴， ∴， ∴， ∴主舞台和观众区的面积和为； （4）解： ， ∵， ∴， （负值舍去） ∵， ∴， 即， ∴ ∵ ， ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.4 乘法公式 教学目标 1. 理解平方差公式、完全平方公式（和的平方、差的平方）的推导算理，掌握两个乘法公式的结构特征、字母含义，明确公式的推导依据是多项式乘多项式法则，衔接前期整式乘法知识，建立知识关联； 2. 能熟练运用两个乘法公式进行简单运算，准确处理含负系数、不同字母组合的公式运算（如(a+3)(a-3)、(2x+y)²、(3m-4n)²等），杜绝公式混淆、符号错误、漏项（完全平方公式）及系数运算错误； 3. 能解决乘法公式相关基础应用问题，包括利用公式化简表达式、求值、判断多项式能否用公式分解，区分公式适用场景，为后续因式分解、整式混合运算、分式化简奠定坚实基础。 教学重难点 1.重点 （1）掌握完全平方公式的计算，并学会用完全平方公式的变形求值； （2）掌握完全平方公式与几何图形的关联； （3）掌握平方公式的计算及其几何背景。 2.难点 （1）掌握完全平方式的变形求值； （2）掌握完全平方式的几何背景。 知识点01 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，，那么的值为 ． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若 是完全平方式，则m的值等于 ． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 知识点02 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 【即学即练】 6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将四个小正方形用两种不同方法放在大正方形的四个顶点处，则图2中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若的面积为4，阴影部分的面积为38，则 ． 9．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）小明同学用四张长为a、宽为b的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图（任两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． (1)图中小正方形的边长是 ； (2)通过计算小正方形面积，可推出三者之间的等量关系式为 ； (3)运用（2）中的结论，当时，求小正方形的边长． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用了如图①所示的三种不同的矩形纸片拼成了如图②所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示出图②中阴影部分的面积； 方法1：            方法2： (2)拓展应用： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 知识点03 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 【即学即练】 11．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）下列各式中能用平方差公式是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列式中，能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）已知，，则的值为（    ） A．2 B．8 C．16 D．32 14．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）若，，则的值为 ． 15．（24-25七年级下·江苏·期中）利用平方差公式计算： (1)； (2)． 知识点04 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 【即学即练】 16．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）有一块边长为米的正方形土地，若把这块地的一边长增加1米，另一边长减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（   ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 18．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为 ． 19．（24-25七年级下·江苏·期中）（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 20．（24-25七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 题型01 完全平方公式 1．（25-26八年级上·甘肃·期末）已知，则a的值为（    ） A．4 B．±4 C．2 D．12 2．（25-26八年级上·河北唐山·月考）运用简便方法计算正确的是（   ） A．103×103 B． C． D． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）计算： ． 5．（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知，求的值． 题型02 利用完全平方公式进行简便计算 6．（25-26七年级上·全国·阶段练习）利用乘法公式简便计算： (1)； (2) 7．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）用简便方法计算． (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·全国·课前预习）运用完全平方公式进行简便计算： (1)； (2)． 9．（24-25七年级下·广东茂名·期中）应用完全平方公式进行简便计算：． 10．（24-25八年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 题型03 已知完全平方式求字母的值 11．（25-26八年级上·天津北辰·月考）若是一个完全平方式，那么的值是（） A． B． C． D．6 12．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若是一个完全平方式，则a的值为（   ） A． B． C．或5 D．3或 13．（25-26八年级上·全国·期末）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 14．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 15．（24-25七年级下·四川雅安·月考）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 题型04 通过对完全平方公式变形求值 16．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 17．（25-26八年级上·云南昆明·月考）已知，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 18．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）已知，，则的值为 ． 19．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值； 20．（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 题型05 完全平方公式与几何图形 21．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（    ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·全国·周测）如图，一个小正方形的边长为．若它的边长增加，面积就增加，则a的值为 ． 23．（24-25七年级下·江苏南京·月考）有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为 ． 24．（25-26八年级上·河南信阳·月考）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 25．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）综合与实践 主题：从形的角度探究数量关系． 活动：如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2，阴影部分是一个小正方形)． 任务1：用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积S，完成下面的填空(列式即可)：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得 ；由正方形的面积公式可得 ； 任务2：写出三个代数式之间的等量关系式 ． 任务3： 已知， 请利用发现的结论， 求的值． 题型06 完全平方公式的规律探究问题 26．（2025·安徽安庆·一模）设表示两位数，如：当时，表示82；数学兴趣小组研究的平方规律，依次计算发现个位上数字是2的两位数平方的规律： 第1个等式， 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照以上规律，完成下列问题： (1)写出第5个等式：________． (2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明． 27．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）发现规律：已知两个正整数，那么这两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数． 特例验证：假设这两个正整数是2和1，则这两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和为： 即结果是偶数，所以“发现规律”中的结论在这个特例中成立 一般探究：假设这两个正整数为m，n，请说明“发现规律”中的结论正确 28．（24-25七年级下·陕西榆林·月考）观察下列等式： ； ； ； ； ； … (1)根据以上规律可得____________； (2)用含有字母n（且n为整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律； (3)相邻两整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由． 29．（24-25七年级下·江苏常州·期中）观察下列等式： 第1个算式： 第2个算式： 第3个算式： 第个算式： 请结合上述三个算式的规律，回答下列问题： (1)写出第5个算式：________； (2)根据你发现的规律，写出第（为正整数）个算式：________________； (3)我们可以用所学知识证明这个结论．请对（2）中的算式进行代数推理． 30．（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： 按照以上规律，解决问题： (1)写出第5个等式： (2)写出第个等式（用含的式子表示），并通过计算说明你写出的等式的正确性； (3)利用上述规律，计算： 题型07 利用完全平方公式的非负性求值 31．（25-26八年级上·广西钦州·月考）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）已知分别是的三边长，若，则的周长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 33．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）21．已知：a、b、c为的三条边，，求的周长？ 34．（24-25九年级上·广东韶关·月考）【阅读材料】配方法在证明恒等式、利用求代数式最值等问题中都有广泛应用． 如：． ，，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法将多项式化成的形式为__________； (2)求证：无论，取任何实数，代数式的值恒为正数； (3)若a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 35．（25-26九年级上·安徽阜阳·开学考试）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是所以所以当时，的值最小，最小值是所以的最小值是     依据上述方法，解决下列问题： (1)多项式有最______填“大”或“小”值，该多项式的最值是 ； (2)已知三角形的三边长都是正整数，且满足，求当时，三角形的周长． 题型08 利用完全平方公式求最值 36．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）代数式的所有值中，最小的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 37．（25-26八年级上·海南海口·月考）巧用乘法公式解决最值问题 课堂上老师要求运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， 即当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： 求当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ 38．（24-25八年级上·福建漳州·期中）在学习乘法公式的运用时，我们常利用完全平方公式求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料利用完全平方公式解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 39．（24-25七年级下·四川成都·月考）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， 因为，所以当时，的值最小，最小值是． 所以．所以当时，的值最小，最小值是． 所以的最小值是． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最 （填“大”或“小”）值，该值为 ． (2)已知的三边长分别为，，，且满足，求的周长． 40．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)求多项式的最大值． 题型09 完全平方公式的新定义问题 41．（24-25七年级下·全国·阶段练习）对于任意有理数A，B，现用“☆”定义一种运算：．根据这个定义，代数式可以化简为（　　） A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式：，，（，，都是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据方方同学给出的定义，判断是不是平衡多项式？说明理由． (2)已知是平衡多项式，求平衡因子． 43．（25-26八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于____________对称； (2)若关于的多项式关于对称，则的值为_________； (3)整式关于____________对称． 44．（24-25八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或-1时，的值均为6．于是小明给出一个定义： 对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于__________对称； （2）若关于的多项式关于对称，求的值； （3）整式关于___________对称． 45．（24-25八年级上·四川巴中·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为；当，即或时，的值均为． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称；若关于的多项式关于对称，则______； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为，求时，多项式的值． 题型10 运用平方差公式进行计算 46．（25-26八年级上·天津南开·期末）两个连续奇数的平方差一定是（    ） A．5的倍数 B．6的倍数 C．7的倍数 D．8的倍数 47．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式可以利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 48．（25-26八年级上·广东广州·期末）已知，，则计算的结果为（   ）． A． B．1 C．5 D．6 49．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）若，，则的值为 ． 50．（25-26八年级上·山东济宁·周测）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 题型11 利用平方差公式进行简便计算 51．（25-26七年级上·上海闵行·期末）用简便方法计算： ． 52．（24-25七年级下·广东深圳·期中）用简便方法计算： ． 53．（24-25七年级下·四川达州·月考）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷，相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算． 解： ① ② ． (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用______（填乘法公式的名称）； (2)用简便方法计算：． 54．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）运用乘法公式简便计算： (1)； (2) 55．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）计算：用简便方法计算． 解： ① ② ． (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用_______（填乘法公式的名称）； (2)用简便方法计算：． (3)计算：． (4)【拓展】计算：． 题型12 运用平方差公式化简求值 56．（25-26八年级上·河南周口·月考）（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中 57．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）化简求值：先化简，再求值：，其中 58．（24-25七年级下·广东深圳·期中）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式    第一步     第二步         第三步 任务： (1)运算从第______步开始出错，出现错误的原因是______． (2)请把正确的化简步骤写一遍，并求值． 59．（24-25七年级下·四川成都·期末）（1）先化简，再求值：，其中； （2）先化简，再求值：，其中，． 60．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值： ，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务一： ①第一步运算中用到的乘法公式为________（用含字母，的式子表示） ②以上步骤第________步出现了错误，错误的具体原因是________________________________ 任务二：请写出正确的解答过程． 任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出一条建议． 题型13 利用平方差公式进行多个因式相乘 61．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 62．（24-25七年级下·江西鹰潭·月考）若，则的个位数字为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 63．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知：，…，设，则A的个位上数字是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 64．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）观察：， ． ， 据此规律，求的个位数字是（    ） A．5 B．6 C．1 D．3 65．（2025七年级下·辽宁·专题练习）计算结果的个位数字为 ． 题型14 利用平方差公式解决整除问题 66．（2025·河南郑州·一模）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 67．（24-25七年级下·全国·阶段练习）若为正整数，则的结果（   ） A．一定能被6整除 B．一定能被8整除 C．一定能被10整除 D．一定能被12整除 68．（24-25八年级上·河南南阳·期中）小明说：“对于大于0的任意整数，代数式都能被8整除”，你同意他的说法吗？说明你的理由． 69．（24-25八年级上·福建厦门·期中）认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题： ①，②， ③，④ … (1)请写出：算式⑤___________；算式⑥___________； (2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，请说明这个规律是成立的； (3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由． 70．（25-26八年级上·吉林·期末）已知是正整数，求证：能被4整除． 题型15 平方差公式的规律探究问题 71．（2025·安徽·一模）【观察思考】 观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得________（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 72．（24-25八年级上·河南安阳·期末）观察下面各式，你发现有什么规律？将你发现的规律用等式表示出来并证明． (1)观察与发现： ； ； ； ； …… 那么 ； ；（直接写出答案） (2)猜想与验证：请用字母m，n（m，n均为正整数）表示出来你发现的规律，并举例验证你的猜想． 规律： ； 例如：当 ， 时， 则： ； (3)请证明（2）中的规律成立． 证明： 73．（24-25八年级上·四川泸州·期末）（1）请计算下列各式的值，你发现结果有什么规律？ ，，，… （2）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； （3）利用你发现的规律计算：． 74．（24-25七年级下·山东济南·月考）观察下列各式． ， ， ， ， ...... (1)根据以上规律：则 ． (2)你能由此推出一般规律： ． (3)根据以上规律：的值． 75．（24-25八年级下·广东佛山·期中）观察下面算式的规律，解决问题； ①；②；③；④． (1)根据以上规律写出第⑤个等式： ； (2)通过上面的算式，小明得出了一个结论：两个相差2的奇数的平方差一定是8的倍数．请你证明这个结论． 题型16 平方差公式与几何图形 76．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． ​ (1)通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______________； (2)利用上述乘法公式计算：； 77．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是______．若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它的面积是_____． （2）由（1）可以得到一个公式_______． （3）利用你得到的公式计算：． 78．（24-25七年级下·山西大同·期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____． A．        B．        C． (2)请你运用从（1）中得到的等式，进行简便计算：． 79．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 80．（25-26八年级上·山东济宁·期末）【教材重现】如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________； (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中B，C，G三点在同一条直线上，若，，求阴影部分的面积． 题型17 平方差公式的新定义问题 81．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）定义一种新运算： 则 ． 82．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是 ． 83．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，9就是一个“智慧数”． （1）若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ； （2）在小于100的正整数中，共有 个“智慧数”． 84．（25-26八年级上·河南焦作·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 85．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ． (1)填空：_____；_____． (2)计算（需写出计算过程）： ； ． 1．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：①；②；③；④．其中正确的表示方法有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 3．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，有两个正方形，，其边长分别表示为，现将放置在的内部得到图甲，将，并列放置，以正方形与正方形的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）下列算式： ①；②；③；④； 其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）若a、b满足，则代数式的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）算式计算结果的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 8．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 9．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知，，，则的值为 ． 10．（24-25七年级下·江苏·期末）若，则= ． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若恒成立，则 ． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片各10张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的种数为 ． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算：的值为 ． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在大正方形内放置两个边长为的小正方形“”，且每个小正方形“”的一条边分别在大正方形的一组对边上，已知，设图中阴影部分的面积为，大正方形内空白部分的面积为，若，则一个小正方形“”的面积为 ． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若m，n，k满足，则的最小值为 ． 16．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若，则值是 ． 17．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中，． 18．（25-26八年级上·江苏南通·期中）（）填空： ； ； ； （）猜想： （其中为正整数，且）； （）利用猜想的结论计算：． 19．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知有下列等式： ； ； ； … 根据以上等式的规律完成下列问题： (1)依次往下排列，第5个等式为___________，第n个等式为___________： (2)根据以上知识判断： 对于任意两个连续偶数的平方差，一定可以被______（4或8）整除； (3)证明（2）中你的结论． 20．（2023七年级下·江苏南京·竞赛）我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式＂＂变形成或等形式， 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答；设，则， 又：． 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． 21．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）我们知道，通过两种不同的方法计算图形的面积时可以得到一些代数恒等式．例如，如图1，可以得到一个代数恒等式． (1)仔细观察图2，可以得到一个代数恒等式：__________________； (2)仔细观察图3，可以得到一个代数恒等式：__________________； (3)现有边长为a的正方形、边长为b的正方形和宽、长分别为a、b的长方形纸片若干张，用它们可以拼成一个长方形，该长方形的面积满足代数恒等式，请在方框中画出该长方形(标出相应纸片边长)． 22．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）（1）用不同的方法计算如图1中阴影部分的面积得到的等式： ； （2）如图2是两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； （3）根据上面两个结论，解决下面问题：若如图3中，直角三边a、、c， ①满足，，求的值； ②若，，且，则的值是 ． 23．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）； (2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题： ①若，求的值； ②若，求的值． 24．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将完全平方公式：进行适当的变形解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空①若，则______； ②若，则______． (3)如图，在长方形中，，，、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 25．（25-26八年级上·江苏南通·期中）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：___________； 【解决问题】 （2）若，且，则___________； 【实际应用】 （3）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 【拓展提升】 （4）已知，求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $