专题8.3 多项式乘多项式（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题8.3 多项式乘多项式 教学目标 1. 理解多项式乘多项式的算理，掌握多项式与多项式相乘的运算法则，明确法则的推导依据是乘法分配律和单项式乘多项式法则，衔接前期整式运算知识，建立完整的整式乘法知识关联； 2. 能熟练运用法则进行多项式乘多项式运算，准确处理负系数、不同次数多项式（一次、二次）的乘法运算（如(x+2)(3x-5)、(2a²-3b)(a+b²)等），杜绝漏乘、符号错误、同类项未合并及指数运算错误； 3. 能解决多项式乘多项式相关基础应用问题，包括化简表达式、求乘积中某一项的系数与指数、合并同类项，为后续学习整式混合运算、因式分解奠定坚实基础。 教学重难点 1.重点 （1）掌握多项式乘多项式的计算法则； （2）学会运用多项式乘多项式法则进行化简求值； （3）掌握多项式乘法与几何图形的关系。 2.难点 （1）掌握多项式乘多项式中的求参问题； （2）掌握多项式乘多项式的实际应用。 知识点01 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，通过多项式乘法展开，然后合并同类项得到结果． 【详解】解： 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知 ，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．14 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，利用恒等式的特点，求出m的值即可． 【详解】解：∵，， ， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，型多项式乘法，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将等式左边展开，与右边多项式对比系数，求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解： ． 因为， 所以 所以，常数项． 故， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用多项式乘多项式、单项式乘多项式计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握单项式乘多项式法则和合并同类项法则．先根据提取公因式，再合并同类项即可化简原式，继而将的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型01 多项式乘多项式法则 【典例1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期末）已知，则m的值为（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的乘法化简、同类项的判断，整式的乘法化简是解题的关键． 首先利用整式的乘法化简展开左边，与右边比较同类项即可求解m的值． 【详解】解：， ∵， ∴ ， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据多项式乘法的运算法则，将两个多项式的每一项分别相乘，再合并同类项即可． 【详解】解：； 故答案为． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期末）若，则的值为 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查多项式乘多项式；展开左边多项式，利用等式两边对应项系数相等，求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 对比系数得，，即， ∴． 故答案为：17． 【变式4】（24-25七年级下·江苏南通·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法的运算，根据分配律展开两个二项式的乘积，并合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 题型02 多项式乘多项式的计算问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法与整式加减运算．首先分别计算两个括号内的乘积，使用单项式与多项式相乘的法则展开，再进行去括号和合并同类项，注意符号处理，尤其是减号后面的括号需变号． 【详解】解：原式 【变式1】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则及合并同类项法则是解决问题的关键． 利用多项式乘多项式的法则，合并同类项法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解： ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键，根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式4】（24-25七年级下·江苏常州·月考）（1）计算下列式子： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． （2）从上面的计算中总结出规律：___________ （3）运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）①；②；③；④ 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据多项式乘以多项式的法则求解即可； （2）由（1）中的运算总结出规律即可； （3）由（2）总结出的规律求解即可； 【详解】解：①； ②． ③； ④． （2）从上面的计算中总结出规律：； （3）①； ②． ③； ④． 题型03 多项式乘多项式的化简求值 【典例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）先化简后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先将题目中的式子化简，然后将的值代入化简后的式子计算即可，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：    其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式； 当，时， 原式． 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；4 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式及零次幂，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可根据多项式乘以多项式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·开学考试）先化简，再求值：，其中,． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式运算，整式加减运算中的化简求值，正确计算是解题的关键． 先根据多项式乘以多项式运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当,时，原式． 题型04 多项式乘多项式的含参问题 【典例1】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）若等式成立，m，n，p为常数，则的值为（　 　） A．22 B．14 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据多项式与多项式的乘法法则把左边化简，并比较等式两边对应项的系数，求出m、n、p的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）若展开后不含的一次项，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，结合展开式中不含，令项的系数为0，解答即可． 本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， ∵展开式中不含， ∴， 解得． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·广东惠州·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，求出b和c的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知时，关于x的多项式能被整除，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，根据题意设，然后展开后比较求解即可． 【详解】解：∵时，关于x的多项式能被整除， ∴设 ∴ ∴， ∴， ∴． 【变式4】（25-26八年级上·江西上饶·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 请回答下列问题： (1)总结公式：； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为6或 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 对于（1），根据上述过程解答； 对于（2），根据（1）可得，再根据讨论a，b的取值可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵， 由（1）得：， ∵a，b，m均为整数， ∴有以下四种情况： ①；②；③；④， ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 综上所述：m的值为6或． 题型05 多项式乘多项式中不含某一项的计算问题 【典例1】（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． 【详解】（1）解：当时， 则原式为 ． （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． 【变式1】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）多项式的乘积不含的一次项，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式的乘法，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 首先利用多项式乘多项式的计算方法进行乘法运算，再根据乘积中不含x的一次项，使含x的一次项的系数之和等于0即可． 【详解】解：， 乘积不含的一次项， ， 解得． 【变式2】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）关于x的代数式化简后不含的项和常数项．分别求m、n的值； 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据不含有项和常数项得到，解之即可得到答案． 【详解】解： ， ∵关于的代数式化简后不含有项和常数项， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知计算的结果中不含项． (1)求的值． (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于的方程，解之即可求解； （2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入值计算即可； 【详解】（1）解：， ， ， 的结果中不含项， ， 解得，； （2）解：， ， ， 当时，原式． 【变式4】（24-25七年级下·江苏南京·月考）在学习多项式乘多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)所得多项式的一次项系数是______； (2)计算所得多项式的一次项系数； (3)如果计算所得多项式不含一次项，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式运算，涉及解一元一次方程，读懂题意，理解材料中求多项式乘以多项式后一次项系数的方法是解决问题的关键． （1）读懂题意，按照题中解题方法从中选、从选相乘；再从选、从选相乘，两者求和即可得到一次项，即可得到答案； （2）读懂题意，按照题中解题方法从选、从选、从选相乘；从选、从选、从选相乘；从选、从选、从选相乘；三者求和即可得到一次项，即可得到答案； （3）读懂题意，类比（2）题中解题方法求解得到一次项系数为，进而列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数是， 故答案为：； （2）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数为； （3）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数为， 多项式不含一次项， ，解得． 题型06 多项式乘多项式与图形问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 【详解】解：∵拼成的长方形的长为：、宽为：， ∴长方形的面积为： ， ∴需要B类卡片的张数为（张）． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形面积的计算及代数式的应用，先分别求出长和宽变化后的长度，再根据长方形面积公式计算扩大后的草坪面积． 【详解】解：原来长方形草坪长为，加长了，则扩大后草坪的长为， 原来长方形草坪宽为，加宽了，则扩大后草坪的宽为， ∴扩大后的草坪面积为， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，计算出的结果，结果中项的系数即为所求答案． 【详解】解： ， ∴要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为9， 故答案为：9． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 【答案】(1) (2)475平方米 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值，解题的关键是正确列式． （1）用大长方形的面积减去两个小正方形的面积列式即可； （2）将米，米代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵米，米， ∴（平方米）． 【变式4】（24-25七年级下·江苏·月考）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，如图①，可以得到． (1)写出图②所表示的数学等式： ； (2)利用（1）中所得的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)如图③，有若干张边长为和边长为的小正方形纸片，还有若干张长为、宽为的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学等式：（画出示意图即可）． 【答案】(1) (2) (3)作图见详解 【分析】本题考查等式的几何意义，涉及代数式求值，数形结合是解决问题的关键． （1）对于图形②，通过不同的方法计算图形的面积，即可得到数学等式； （2）由（1）中，将，代入计算即可得到答案； （3）由题中所给基本图形，结合数学等式：可知里面含有边长为的小正方形纸片3个、边长为的小正方形纸片2个，长为、宽为的长方形纸片7个，即可画出图形． 【详解】（1）解：如图所示： ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， 当，时，， ； （3）解：如图所示： 图中拼出的几何图形，使得计算它的面积能得到数学等式：． 题型07 多项式乘多项式中的实际应用 【典例1】（24-25七年级下·江苏·开学考试）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，图两种方式放置长方形内（图，图中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边、的长度分别为、．设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为．当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出和，再计算，结合化简求值．本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形（），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则下列说法正确的是（   ） A．长方形的面积可表示为：，结果为 B．长方形的面积可表示为：，结果为 C．长方形的面积可表示为：，结果为17 D．长方形的面积可表示为：，结果为15 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，根据题意，求出长方形的长和宽，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：由图可知：长方形的宽为：，长为：， ∴长方形的面积可表示为：，结果为：， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块长为2x，宽为的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是 （用含x，y的代数式表示） 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式；根据大长方形的面积减去小长方形的面积列出代数式，利用多项式乘多项式法则，及去括号合并同类项即可得出结果． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）若将边长相差3的两个正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，已知测得盒子底部长方形长比宽多5，若小正方形的边长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，若小正方形的边长为，则大正方形的边长为，长方形的长为，宽为，再表示出、，作差即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：若小正方形的边长为，则大正方形的边长为，长方形的长为， ∵测得盒子底部长方形长比宽多5， ∴长方形的宽为， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题 (1)由边长分别为的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形如图1所示，可得等式= (2)由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形如图2所示，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，采用数形结合的思想是解题的关键； （1）利用整体观察和分割观察的方法分别求大长方形的面积，即可求解； （2）利用整体观察和分割观察的方法分别求大正方形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：根据利用不同方法求大长方形的面积可得， ， 故答案为：； （2）解：∵由整体观察大正方形的面积为：； 由分割观察大正方形的面积为：； ∴得到的等式为， 故答案为：． 题型08 多项式乘多项式中的整体性求值 【典例1】（24-25七年级下·江苏·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)58 【分析】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·月考）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到：．再利用单项式与多项式相乘的法则，得：． 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： （1）___________________； （2）___________________； （3）___________________； （4）___________________． 【任务2】由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释． 【任务3】如果其中，，均为整数，求的值． 【答案】任务1：（1）；（2）；（3）；（4）；任务2：，，；任务3：或 【分析】本题考查多项式相乘，解题关键在于利用长方形面积进行证明． 任务1∶直接根据多项式乘多项式计算即可，由面积不同的表示方法，可得等式； 任务2∶画一个长为、宽为的长方形即可求解； （3）由（2）的结论可求解． 【详解】解∶任务1∶ （1）； （2）； （3）； （4） 故答案为∶（1）；（2）；（3）；（4）； 任务2：如图所示， ， 故答案为：，，； 任务3：由任务2知：， 又， ∴，， 又，，均为整数， ∴或或或或或或或， 综上，或． 【变式2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得： 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 【任务3】如果其中m，p，q均为整数，求m的值． 【答案】任务一：，，，；任务二：，；任务三： 【分析】此题考查多项式相乘，解题关键在于利用长方形面积进行证明． （1）直接根据多项式乘多项式计算即可，由面积不同的表示方法，可得等式； （2）画一个长为、宽为的长方形即可求解； （3）由（2）的结论可求解． 【详解】任务1： 任务2：由图可知： 任务3：由任务2可知：， 又∵， ∴，， 又∵m，p，q均为整数，， ∴或，或， 综上所述：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏常州·期中） 我们在学习“整式的乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，得到一些代数恒等式．比如从整体来看，图是边长为的正方形，可得图的面积为；从部分来看，图是由个边长为的正方形、个边长为的正方形以及个长为，宽为的长方形组成，可得图的面积为因此可以得到完全平方公式 (1)由图可得等式： ； (2)已知， ， 求的值； (3)图中给出了若干个边长为和边长的小正方形纸片，若干个长为，宽为的长方形纸片，请设计一个示意图说明等式 成立． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 【分析】本题考查完全平方式，多项式乘多项式， （1）如图2，由图形面积的两种不同表示方法可得等式； （2）由等式利用代入法即可求解； （3）根据等式，可确定所需卡片的类型与张数，做出相应的图形即可； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 从整体来看，该图是边长为的正方形，可得图的面积为， 从部分来看，该图是是由个边长为的正方形、个边长为的正方形、个边长为的正方形、个长为，宽为的长方形、个长为，宽为的长方形以及个长为，宽为的长方形组成，可得图的面积为， ∴可得等式：， 故答案为：； （2）∵， ， ∴ ， ∴的值为； （3）如图， 从整体来看，该图是长为，宽为的长方形，可得该图的面积为， 从部分来看，该图是是由个边长为的正方形、个边长为的正方形以及个长为，宽为的长方形组成，可得图的面积为， ∴可得等式． 【变式4】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用整体思想解决下列问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把提出了进行计算即可得； （2），把代入进行计算即可得； （3），把，，代入进行计算即可得． 【详解】（1）解：． （2）解：， 把代入得，原式． （3）解： 把，，代入得， 原式． 【点睛】本题考查了多项式的变形和整体代入的思想，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 题型09 降次求多项式乘多项式的值 【典例1】（24-25七年级上·辽宁·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先由得出，再代入进行计算，即可作答． （2）先由得出，再代入进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ． 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）【阅读理解】：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式.规则为：将二次多项式的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式的一次项系数，二次多项式的一次项系数作为一次多项式的常数项，二次多项式的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 【理解应用】： (1)若，经过小魔方后的多项式__________． (2)若，经过小魔方后的多项式记为，若的结果中不含一次项，求常数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式： （1）根据题目的定义即可； （2）根据题目的定义求出，计算得到，根据一次项的系数为求出． 【详解】（1）解：的二次项系数为，二次项的指数为，一次项的系数为，常数项为， 根据小魔方的规则：一次多项式的一次项系数是的二次项指数与二次项系数相乘，的常数项是的一次项系数， 一次多项式的一次项系数是，常数项是， ． 故答案为：． （2）解：， 的二次项系数为，二次项的指数为，一次项的系数为，常数项为， 一次多项式的一次项系数是，常数项是， 即：， ， 的结果中不含一次项， ， 解得：． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期末）先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有“逐步降次法”和“整体代入法”两种做法．例如：已知，求多项式的值． 方法一：∵，∴，∴原式． 方法二：∵，∴，∴原式． (1)应用：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）； (2)拓展：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）用整体代入法进行计算； （2）用逐步降次法进行计算． 【详解】（1）∵， ∴， ∴原式 ； （2）∵， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了求代数式的值，关键是正确应用“逐步降次法”和“整体代入法”两种方法进行解答． 【变式4】（24-25七年级下·江苏南通·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴原式，∴． 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为______； (2)若，求代数式的值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)1 (3)见解析 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题目中所给的例子进行计算即可； （2）根据题目中所给的例子进行计算即可； （3）根据题目中所给的例子进行计算，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴原式得证． 题型10 多项式乘法中的规律计算问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，项的系数是（    ） A．15 B．10 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法运算中的规律．根据“杨辉三角”，找到展开式中的系数与前面关联项的系数特点即可得到答案． 【详解】解：“杨辉三角”中， 系数为第1项的系数是1， 系数为第2项的系数是2， 系数为第3项的系数是3， 系数为第4项的系数是4， 系数为第5项的系数是5， ∴的展开式中，项的系数是． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期末）我国南宋时期数学家杨辉于年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为时，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查展开式的系数规律，根据题意得到是解决问题的关键． 先由图表给出了展开式的系数规律得到，进而得到，最后根据题意列方程求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 代数式的值为， ， 则，解得， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·江苏·期末）观察下列各式：；；；…… 根据前面各式的规律可得到 ． 【答案】 【分析】本题考查整式找规律和多项式乘多项式，理解题意，对比多个式子找到规律是关键． 通过观察给定等式，发现左边是 乘以一个从 的 次方开始降幂排列直到 的多项式，右边结果是 的 次方减 ，因此可归纳出一般形式． 【详解】解：根据等式， ， ， 可推知 ． 故答案为： ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般。如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）观察以上各等式并猜想： ①______； ②______； 【应用】（2）请运用上面的结论，解决下列问题： 计算． 【答案】（1）①②（2） 【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法中的规律性问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①认真研究题干过程，即可作答； ②认真研究题干过程，即可作答； （2）结合，则，即可作答． 【详解】解：（1）观察以上各等式可得， ①； ②； （2）结合（1）中的， 则， ∴． 【变式4】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）（1）【观察】 ①_____； ②______； ③______；… （2）【猜想】由此可得： ______； （3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 【答案】（1）①；②；③；（2）；（3） 【分析】本题考查了多形式与多项式的乘法的规律问题，灵活运用规律求解是解答本题的关键． （1）根据多项式乘以多项式解答即可； （2）根据已知等式找出规律解答即可； （3）根据（2）规律解答即可． 【详解】解：（1）①； 故答案为： ②； 故答案为： ③； 故答案为： （2）由此可得：； 故答案为：； （3）原式 ． 题型11 多项式乘多项式的新定义计算问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏·月考）定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及整式的乘法运算： （1）根据有理数的运算法则计算即可； （2）根据整式乘法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式和整式加减，恒等式的问题．先根据中二次项系数为4，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键． 【详解】解： ∵中二次项系数为4， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：C 【变式2】（24-25七年级下·安徽六安·月考）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【答案】 9 【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，． （2）由，得，故．由当时，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【详解】解：（1），， ，． ，． ，． 所以． （2）∵，， ∴． ． 若当时，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：9，． 【变式3】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”，求的值． 【答案】(1)是的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义； （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据是的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解：是的“友好多项式” 理由如下： ，， ， ∴满足的项数比的项数多1， 是的“友好多项式”； （2） ， 是的“特别友好多项式”， 且， 解得． 【变式4】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值 (2)若的代数式中不含的一次项，求的值 (3)若的满足，且的值，求的值 【答案】(1)6 (2)2 (3) 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，即可求解； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：若，则 ， 即， 解得， 则的值为6； （2） ， 若的代数式中不含的一次项， 则， 解得， 即的值为2； （3）， ， 解得， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题主要考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，整式的乘法的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小． 【详解】解：∵，， ∴ ， 因为，即， 所以 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含的一次项，即含的一次项的系数为进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵计算结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25七年级下·广西来宾·期末）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 5．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知（，，是整数），则可能的值的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解答本题的关键． 根据多项式乘多项式的法则求得，，再进行分类讨论，从而得解． 【详解】解：， ，， 又，，是整数， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 故可能的值为个， 故选：C． 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）我国南宋数学家杨辉所著《九章算术》一书中，用如图的三角形解释了展开式的系数规律，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方两数之和，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．下列说法：①展开式各项系数之和为32：②展开式各项中，系数最大的项是第八项和第九项：③展开式中（按的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190；④展开式中含的项的系数是2022．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，数字的变化类，根据展开式的系数规律进行判断即可． 【详解】解：由展开式的系数规律可知，展开式的系数依次为1，5，10，10，5，1，因此各项系数的和为，所以①正确； 由展开式的系数规律可知，展开式各项中，系数最大的项是第八项和第九项，因此②正确； 展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190，故③正确； 展开式中含的项，即展开式中的第2项，由展开式的系数规律可知，第2项的系数是2023．因此④不正确； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C． 7．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示，运算结果为．图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知，根据图2中现有数据进行推断，一定正确的是（   ） A． B． C．这个两位数为 D．运算结果小于 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．根据题意得出或，或，即可判断A，B，由第二行可得：，即可判断C选项，进而判断D选项，即可求解． 【详解】解：依题意，如图所示， ∴或，或，故A，B不一定正确； 由第二行可得： ∴ ∴这个两位数为，故C该选项正确，符合题意， ∵，故D错误， 故选：C． 8．若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的底边为，底边上的高为， ∴该三角形的面积为 ． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将代数式，去括号合并得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ； ， ． 把代入，得 ． 所以，代数式的值为4． 故答案为：4． 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类、多项式乘多项式、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意找到规律，然后代入，进而得出答案． 【详解】解：由题中规律可得，当时， ， 即， 即， 即， 即． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 12．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则 （用含m的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．设，得出，，再求出，将代入求值即可． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（21-22七年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： 则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，由题意总结出规律是解题的关键． 将原式写成后，根据题干中的规律，进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， ∴ ， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式与多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，，再利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中A种纸片为边长为a的正方形，B种纸片为边长为b的正方形，C种纸片为长为a、宽为b的长方形，现要拼出一个长为宽为 的长方形，则需要A、B、C三种卡片共 张． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∵A种纸片为边长为a的正方形，B种纸片为边长为b的正方形，C种纸片为长为a、宽为b的长方形， ∴要拼出一个长为宽为 的长方形需要A卡片2张，B卡片9张，C卡片9张， ∴一共需要张卡片， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·福建漳州·期中）若成立，且、、均为整数，则满足条件的的值有 个． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键将已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，根据多项式相等的条件求出的值即可． 【详解】， 因为， 可得：， 因为、、为整数， 所以满足条件的的值为，， 即满足条件的的值为，，，共个， 故答案为： 17．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．根据多项式乘多项式法则展开，然后合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， ． 18．（24-25七年级下·山东聊城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，积的乘方计算，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案； （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)9 (3)999999 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0求解即可； （2）先计算出的结果，再根据（1）所求代值计算即可； （3）根据（2）所求可得原式，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵的结果中不含项， ∴ ∴； （2）解： ； （3）解：由（2）可得， ∴ ． 20．（24-25七年级下·江苏·期末）“小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查整式的乘法的实际应用，代数式求值． （1）种植青椒区域的面积等于长方形菜园面积减去正方形区域的面积，运用整式的乘法进行计算即可； （2）把a，b的值代入求值即可． 【详解】（1）解：种植青椒区域的面积为 （平方米） 故答案为： （2）解：当，时， ， ∴种植青椒区域的面积为11平方米． 故答案为：11． 21．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)该同学若按原题正确计算了，则结果为________． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先根据题意列出抄错的式子计算，得到A即可； （2）把（1）中的结果代入原式计算得到正确答案即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， （2）解：由（1）知： ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了整式的加减和整式的乘除，解决此题的关键是先根据题意算出A，再把A代入原式子得到正确答案，解决此题的关键是读懂题意，正确算出A的式子． 22．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【详解】（1）不是 它们不是“和谐多项式群”． （2）① ，，为“和谐多项式群” ②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为 （3）①当时 ， ，（舍） ②当时 ， 解得 ． 23．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)或6 【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或或或， 综上，的值为或6． 24．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式． 又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于的代数式为对称式（为常数）． (1)求的值； (2)已知，若，求对称式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键． （1）先求出，交换a、b的位置得出，根据对称式的定义得出，得出，求解即可； （2）就，，得出，，把代入即可求解． 【详解】（1）解：， 交换a、b的位置， ∵代数式为对称式， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； （2）解：∵，， ∴， 即， ∴，， 把代入得： ． 25．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ； ； ； … (1)猜想： ； (2)利用（1）中的猜想计算：_______； (3)计算； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法的规律、有理数的乘方的运算，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干中所给式子即可得出结论； （2）根据（1）中的规律可得，计算即可得解； （3）先根据规律计算出、的值，作差即可得解； （4）由规律可得，求出或，再分别计算即可得解． 【详解】（1）解：∵； ； ； … ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵ ， ， ∴ ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意，此时． 26．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 【答案】(1)多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为； (2)； (3)9 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算的应用，理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据和谐多项式的概念，计算即可验证； （2）根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中和的系数都为０，即可解答； （3）根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中和的系数都为０，即可解答； 【详解】（1）解：， ， ， 故多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为 （2）解： ， ， 多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式， ； （3）解： 多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式， ， 解得， ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 多项式乘多项式 教学目标 1. 理解多项式乘多项式的算理，掌握多项式与多项式相乘的运算法则，明确法则的推导依据是乘法分配律和单项式乘多项式法则，衔接前期整式运算知识，建立完整的整式乘法知识关联； 2. 能熟练运用法则进行多项式乘多项式运算，准确处理负系数、不同次数多项式（一次、二次）的乘法运算（如(x+2)(3x-5)、(2a²-3b)(a+b²)等），杜绝漏乘、符号错误、同类项未合并及指数运算错误； 3. 能解决多项式乘多项式相关基础应用问题，包括化简表达式、求乘积中某一项的系数与指数、合并同类项，为后续学习整式混合运算、因式分解奠定坚实基础。 教学重难点 1.重点 （1）掌握多项式乘多项式的计算法则； （2）学会运用多项式乘多项式法则进行化简求值； （3）掌握多项式乘法与几何图形的关系。 2.难点 （1）掌握多项式乘多项式中的求参问题； （2）掌握多项式乘多项式的实际应用。 知识点01 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知 ，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．14 3．（24-25七年级下·江苏·期末）若，则 ． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）计算：． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中． 题型01 多项式乘多项式法则 【典例1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期末）已知，则m的值为（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）计算： ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期末）若，则的值为 ． 【变式4】（24-25七年级下·江苏南通·月考）计算： ． 题型02 多项式乘多项式的计算问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）计算： 【变式2】（24-25七年级下·江苏·期中）计算：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）计算：． 【变式4】（24-25七年级下·江苏常州·月考）（1）计算下列式子： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． （2）从上面的计算中总结出规律：___________ （3）运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． 题型03 多项式乘多项式的化简求值 【典例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）先化简后求值：，其中． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：    其中． 【变式2】24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）先化简，再求值：，其中，． 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·开学考试）先化简，再求值：，其中,． 题型04 多项式乘多项式的含参问题 【典例1】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）若等式成立，m，n，p为常数，则的值为（　 　） A．22 B．14 C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）若展开后不含的一次项，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广东惠州·期末）若，则的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知时，关于x的多项式能被整除，求m的值． 【变式4】（25-26八年级上·江西上饶·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 请回答下列问题： (1)总结公式：； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值． 题型05 多项式乘多项式中不含某一项的计算问题 【典例1】（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【变式1】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）多项式的乘积不含的一次项，求的值． 【变式2】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）关于x的代数式化简后不含的项和常数项．分别求m、n的值； 【变式3】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知计算的结果中不含项． (1)求的值． (2)在（1）的条件下，求的值． 【变式4】（24-25七年级下·江苏南京·月考）在学习多项式乘多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)所得多项式的一次项系数是______； (2)计算所得多项式的一次项系数； (3)如果计算所得多项式不含一次项，求的值． 题型06 多项式乘多项式与图形问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 【变式4】（24-25七年级下·江苏·月考）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，如图①，可以得到． (1)写出图②所表示的数学等式： ； (2)利用（1）中所得的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)如图③，有若干张边长为和边长为的小正方形纸片，还有若干张长为、宽为的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学等式：（画出示意图即可）． 题型07 多项式乘多项式中的实际应用 【典例1】（24-25七年级下·江苏·开学考试）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，图两种方式放置长方形内（图，图中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边、的长度分别为、．设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为．当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形（），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则下列说法正确的是（   ） A．长方形的面积可表示为：，结果为 B．长方形的面积可表示为：，结果为 C．长方形的面积可表示为：，结果为17 D．长方形的面积可表示为：，结果为15 【变式2】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块长为2x，宽为的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是 （用含x，y的代数式表示） 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）若将边长相差3的两个正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，已知测得盒子底部长方形长比宽多5，若小正方形的边长为，则的值为 ． 【变式4】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题 (1)由边长分别为的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形如图1所示，可得等式= (2)由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形如图2所示，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 题型08 多项式乘多项式中的整体性求值 【典例1】（24-25七年级下·江苏·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·月考）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到：．再利用单项式与多项式相乘的法则，得：． 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： （1）___________________； （2）___________________； （3）___________________； （4）___________________． 【任务2】由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释． 【任务3】如果其中，，均为整数，求的值． 【变式2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得： 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 【任务3】如果其中m，p，q均为整数，求m的值． 【变式3】（24-25七年级下·江苏常州·期中） 我们在学习“整式的乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，得到一些代数恒等式．比如从整体来看，图是边长为的正方形，可得图的面积为；从部分来看，图是由个边长为的正方形、个边长为的正方形以及个长为，宽为的长方形组成，可得图的面积为因此可以得到完全平方公式 (1)由图可得等式： ； (2)已知， ， 求的值； (3)图中给出了若干个边长为和边长的小正方形纸片，若干个长为，宽为的长方形纸片，请设计一个示意图说明等式 成立． 【变式4】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用整体思想解决下列问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 题型09 降次求多项式乘多项式的值 【典例1】（24-25七年级上·辽宁·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）【阅读理解】：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式.规则为：将二次多项式的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式的一次项系数，二次多项式的一次项系数作为一次多项式的常数项，二次多项式的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 【理解应用】： (1)若，经过小魔方后的多项式__________． (2)若，经过小魔方后的多项式记为，若的结果中不含一次项，求常数的值； 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期末）先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有“逐步降次法”和“整体代入法”两种做法．例如：已知，求多项式的值． 方法一：∵，∴，∴原式． 方法二：∵，∴，∴原式． (1)应用：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）； (2)拓展：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）． 【变式4】（24-25七年级下·江苏南通·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴原式，∴． 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为______； (2)若，求代数式的值； (3)若，求证：． 题型10 多项式乘法中的规律计算问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，项的系数是（    ） A．15 B．10 C．5 D．4 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期末）我国南宋时期数学家杨辉于年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为时，则值为 ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏·期末）观察下列各式：；；；…… 根据前面各式的规律可得到 ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般。如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）观察以上各等式并猜想： ①______； ②______； 【应用】（2）请运用上面的结论，解决下列问题： 计算． 【变式4】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）（1）【观察】 ①_____； ②______； ③______；… （2）【猜想】由此可得： ______； （3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 题型11 多项式乘多项式的新定义计算问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏·月考）定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 【变式2】（24-25七年级下·安徽六安·月考）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【变式3】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”，求的值． 【变式4】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值 (2)若的代数式中不含的一次项，求的值 (3)若的满足，且的值，求的值 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 2．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广西来宾·期末）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 5．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知（，，是整数），则可能的值的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）我国南宋数学家杨辉所著《九章算术》一书中，用如图的三角形解释了展开式的系数规律，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方两数之和，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．下列说法：①展开式各项系数之和为32：②展开式各项中，系数最大的项是第八项和第九项：③展开式中（按的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190；④展开式中含的项的系数是2022．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示，运算结果为．图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知，根据图2中现有数据进行推断，一定正确的是（   ） A． B． C．这个两位数为 D．运算结果小于 8．若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为 ． 9．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则代数式的值为 ． 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 11．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 12．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则 （用含m的代数式表示）． 13．（21-22七年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： 则的结果为 ． 14．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为： （填“”、“”或“”）． 15．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中A种纸片为边长为a的正方形，B种纸片为边长为b的正方形，C种纸片为长为a、宽为b的长方形，现要拼出一个长为宽为 的长方形，则需要A、B、C三种卡片共 张． 16．（24-25七年级下·福建漳州·期中）若成立，且、、均为整数，则满足条件的的值有 个． 17．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）先化简，再求值：，其中． 18．（24-25七年级下·山东聊城·期末）计算： (1)； (2)． 19．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 20．（24-25七年级下·江苏·期末）“小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 21．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)该同学若按原题正确计算了，则结果为________． 22．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 23．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 24．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式． 又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于的代数式为对称式（为常数）． (1)求的值； (2)已知，若，求对称式的值． 25．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ； ； ； … (1)猜想： ； (2)利用（1）中的猜想计算：_______； (3)计算； (4)若，求的值． 26．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $