专题8.1 单项式乘单项式（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题8.1 单项式乘单项式 教学目标 1. 理解单项式乘单项式的算理，掌握单项式与单项式相乘的运算法则，明确法则的推导依据（乘法交换律、结合律及同底数幂的乘法法则）； 2. 能熟练运用法则进行简单单项式乘单项式运算（不含符号错误、指数运算错误），能处理含系数、同底数幂、单独字母的单项式乘法（如3x²·5x³、-2ab·3a²b³等）； 3. 能解决单项式乘单项式相关的基础应用问题（如求单项式乘积的系数、某一字母的指数，化简简单的单项式乘积表达式），为后续学习多项式乘单项式奠定基础； 教学重难点 1.重点 （1）掌握单项式乘单项式的法则，学会运用单项式乘单项式的运算计算结果； 2.难点 （1）利用单项式乘单项式的计算法则解决实际问题； 知识点01 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则是解决此题的关键．利用单项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C ． 2．（24-25七年级下·江苏常州·月考）已知，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，利用单项式乘单项式的得出，，解出m，n的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算： ． 【答案】/ 【分析】依据单项式乘法法则，把系数与系数相乘，同底数幂相乘，对于相同的字母，按照同底数幂的乘法规则进行运算，最后将所得结果相乘． 本题主要考查了单项式乘单项式的运算法则，熟练掌握系数相乘、同底数幂相乘等运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘法： （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式； （2）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 【详解】（1）原式 （2）原式 5．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘单项式运算法则． （1）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （3）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （4）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型01 单项式乘单项式法则 【典例1】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算以及单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题的关键；直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东滨州·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·江苏南通·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题是单项式乘法运算，根据单项式乘法的法则，系数相乘，同底数幂相乘，底数不变，指数相加直接进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 题型02 单项式乘单项式的计算问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了单项式的乘法．先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解： 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方以及单项式乘多项式的运算，熟练掌握幂的运算性质和整式乘法法则是解题的关键． （1）先根据幂的乘方运算法则计算乘方，再根据同底数幂的乘法运算法则计算乘积． （2）先根据积的乘方运算法则计算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则展开计算． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是做题的关键．先计算乘方，再计算乘法，最后再合并同类项即可． 【详解】解：原式 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式； （1）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （2）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （3）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （4）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【变式4】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式法则以及积的乘方法则分别计算式子中的两部分，再将结果相减．本题主要考查了整式的混合运算，涉及单项式乘单项式、积的乘方运算．熟练掌握单项式乘单项式法则（系数相乘，同底数幂相乘）以及积的乘方法则（先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）是解题的关键． 【详解】解： ． 题型03 单项式乘单项式的求值问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏·月考）已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·月考）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 【变式2】（2025七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 【变式4】（24-25七年级下·江苏·月考）如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 题型04 单项式乘单项式中的含参问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，则 ， ． 【答案】 9 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解． 【详解】，， ， ， 解得， 故答案为：；9． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·月考）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得，即可求解． 【详解】解：∵单项式与的积为， ∴， 即， ∴． 故选：A 【变式4】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若＝－10，则m－n等于（   ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】B 【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】 ∴ ∴ 解得 ∴m－n=1-2=-1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键． 题型05 单项式乘法中的错看、漏看问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）小明计算一道代数式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【答案】(1)m的值为2，n的值为3． (2) 【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到、的值； （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的、的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 即， 所以解得 所以的值为2，的值为3． （2）解：原式 由（1）可知，， 所以原式． 一题多解法由（1）可知，， 所以原式 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 题型06 单项式乘法中的化简求值 【典例1】（25-26八年级上·青海西宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，240 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式1】（2025七年级上·上海·专题练习）先化简，后求值：，已知． 【答案】， 【分析】先计算单项式的乘方、单项式乘单项式，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】解：原式=， 当时， 原式= 【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·月考）化简计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及合并同类项，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，注意符号的处理，以及同类项的合并． （1）这是单项式乘单项式的运算，需要将系数相乘，同底数幂分别相乘； （2）先进行幂的运算与整式的乘法． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）先化简，再求值，其中，． 【答案】； 【分析】先算单项式乘单项式，再合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】解：； 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算．熟练掌握整式的运算法则，是解题的关键． 题型07 单项式乘单项式的实际应用 【典例1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）长方形的长为，宽为，则它的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以单项式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据长方形面积公式列出算式，再根据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：长方形的面积为， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·山东·期末）如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式的应用，设每张桌面的宽为，然后表示出小桌、中桌，大桌的长；得大长方形的长与宽，结合面积公式可得答案. 【详解】解：由题意可得，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍， 则小桌的长是，中桌的长，大桌的长，根据题意得 ， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 【答案】3ab 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 通过计算长方体的体积，并利用正方体体积公式求解棱长． 【详解】解：长方体的体积为 ， ∵ ∴则该正方体水池的棱长为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为 ．（用含x，y的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据题目中的图形和长方形的面积计算公式，可以用含、的代数式表示出它们的面积之和． 【详解】解：由图可得， 它们的面积之和为：， 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·江苏南通·月考）在个旧市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，该小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． (1)用含m、n的代数式表示该广场的面积S（图中阴影部分）； (2)若m、n满足，求该广场的面积． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题考查列代数式、单项式乘以单项式的应用，绝对值和偶次方的非负性质、代数式求值，掌握长方形的面积计算公式、绝对值和偶次方的非负性质是解题的关键． （1）利用长方形的面积公式，根据广场的面积大长方形的面积空白长方形的面积计算即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性质求出、的值，再代入的表达式并计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ，， ，， ， 该广场的面积是35． 【变式5】（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，单项式乘以多项式与图形面积． （1）如图，标注图形各顶点，，，，，再利用建立方程求解即可． （2）①结合（1）可得：，进一步分析即可； ②先表示，，，，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，标注图形各顶点， 由题意可得：， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为， ∴， 解得：． （2）解：①结合（1）可得： ， ∴（1）中的值每增加的值增加． ②∵， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为： ， ∵的值不随的值的变化而变化， ∴， 解得：． 题型08 单项式乘单项式的新定义运算 【典例1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）定义新运算：，则的运算结果为 【答案】/ 【分析】本题考查整式的运算，根据新运算的定义，将 和 分别替换为 和 ，列出算式，利用单项式乘以单项式的法则，以及合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：由定义 ，得 ， 故答案为 ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·月考）定义一种新运算：．例如：，则的结果是 ． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 【变式2】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）若定义表示，表示，则运算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义列出算式进行计算，即可得出答案． 【详解】解：根据定义得： =3×m×n×2×（-2）×m2×n3 =-12m3n4， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，根据新定义列出算式是解决问题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 【答案】(1)不是“同心有理数对” ，是“同心有理数对”，理由见详解 (2)①是② 【分析】（1）根据新定义，分别求出两数的差与两数的2倍减1的结果，进行比较，然后判断即可； （2）①根据新定义，由得即可；②先化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：，， 故不是“同心有理数对” ． ，， ， 故是“同心有理数对”； （2）解：①是“同心有理数对”， ． ， 故是“同心有理数对”， 故答案为：是； ②由得：， ， 当时， 原式 【点睛】本题主要考查了新定义，解题关键是理解新定义运算的含义，并能够根据新定义解决问题． 1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）下列计算中①；②；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，涉及积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式等，需逐一验证每个计算的正误即可 【详解】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③正确； ④，故④错误． ∴仅③正确，正确的有1个． 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·周测）在代数式中，与的值各变为原来的，则该代数式的值减少为原来的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是单项式乘单项式，列出与的值各减少原来的后的代数式是解题的关键． 和各减少到原来的，代入代数式计算新值即可. 【详解】解：在代数式中，与的值各减少原来的， ∴设 ，， ∴新值 ， ∴新代数式的值是原代数式值的. 故选：D． 3．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）设，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．根据单项式乘单项式和同底数幂乘法，左边相乘后指数相加，再与右边对比指数，列方程求解和． 【详解】解：∵， 又∵右边为， ∴且， 解方程： ∴ 解得， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级下·陕西西安·月考）单项式与单项式乘积的结果是一个9次单项式，则的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘法，单项式的次数，熟练掌握单项式的乘法法则和单项式次数的定义是解题的关键．根据单项式的乘法法则，两个单项式的次数的和就是积的次数，即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，， ， 故选：D． 5．（24-25七年级上·上海·期中）如果A、B都是关于x的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次多项式，那么的次数（   ） A．一定是四次 B．一定是七次 C．一定是三次 D．不大于四次 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，单项式乘单项式，利用单项式乘单项式，单项式的加减运算来判断即可． 【详解】解：是一个七次单项式， ∴单项式、次数之和是 ∵是一个四次多项式， ∴单项式、有一个是四次单项式， 单项式、一个是四次单项式，一个是三次单项式， ∴的次数是四次． 故选：A． 6．已知第一个有序单项式串：1，x，y，将该单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，可以得到第二个单项式串：1，x，x，，y，对得到的新单项式串重复这样的操作……以此类推，关于操作后的单项式串．给出下列说法：①第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为5；②若x，y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，那么满足条件的x，y一共有7种；③若y=1，第2025个单项式串中，有4049个x和4046个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律类，单项的次数，单项式乘单项式等知识，掌握数字规律是解题的关键． 由规律得出每个单项式串次数最高的单项式的次数是前两次操作的最高次数之和，可判断①，由第二个单项式串的和等于5，得，，为整数时，，那么满足条件的x，y一共有8种；可判断②，写出前几个单项式串，总结出规律可判断③．即可得解． 【详解】解：①第1个单项式串：1，x，y，(最高次数为1)， 第2个单项式串：1，x，x，，y，(最高次数为2)， 第3个单项式串1，x，x，，x，，，，y， (最高次数为3)， 第4次个单项式串：1，x，x，，x，，，，x，，，，，，，，y， (最高次数为5)； 由上可知，每次操作后次数最高的单项式的次数是前两次操作的最高次数之和，第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为：5，故①符合题意， ②若x，y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，则，，，为整数时，，那么满足条件的x，y一共有8种；故②不符合题意， 第1个单项式串：1，x，1，(1个x和0个)， 第2个单项式串：1，x，x，x，1，(3个x和0个)， 第3个单项式串1，x，x，，x，，x，x，1， (5个x和2个)， 第4个单项式串：1，x，x，，x，，，，x，，，，x，，x，x，1，（7个x和4个）； 由上可知，第n个单项式串：个x和个， 第2025个单项式串中，有个x和个． 故③符合题意， 综上．符合颗意的有①③．共2个， 故答案为：C． 7．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·北京·开学考试）若，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式得，由可求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知与的积与是同类项，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘单项式，用到的知识点是单项式乘单项式和同类项的定义，单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．根据题意可得，进而求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵与的积与是同类项， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 10．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．根据二阶行列式的运算法则求解即可； 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算； （1）先计算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式进行计算即可求解； （2）先计算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式进行计算即可求解． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． 12．如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为 ．（结果保留）      【答案】 【分析】本题主要考查了不规则图形面积的计算方法，单项式的乘法，其中利用了“分割法”将此不规则图形分割成一个长方形和一个半圆，再根据长方形的面积公式和半圆的面积公式进行计算，掌握面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：这个拱形门的面积为， 故答案为：． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘单项式，直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案，正确掌握积的乘方运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 ． 14．（24-25七年级上·全国·假期作业）表示，表示，求． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 15．（24-25八年级上·湖南衡阳·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先根据单项式乘单项式计算各项，再合并同类项，即可解题． 【详解】解：   ． 16．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可； （3）先根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，再根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可； （4）先根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，再根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘； （2）单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘； （3）先进行积的乘方，再利用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘； （4）先进行积的乘方，再利用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查的是单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键． 18．对于一个三位自然数，如果首尾两项和等于中间项的2倍，则称其为等差数．如：123，，则123为等差数；125，，则125不是等差数． （1）试判断246，777是否为等差数； （2）求能被15整除的所有三位等差数的个数，并说明理由． 【答案】（1）246是等差数；777是等差数；（2）有9个：210，420，630，840，135，345，555，765，975；理由见解析 【分析】（1）根据新定义“等差数”的定义判断即可； （2）设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，等差数为，则a+c=2b，所以a+b+c=3b为3的倍数，进而得出则能被5整除，从而确定个位数c=0或5，然后分类讨论即可得出结果． 【详解】解：（1）∵2+6=2×4， ∴246是等差数； ∵7+7=2×7， ∴777是等差数； （2）设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，等差数为， 则a+c=2b， ∴a+b+c=3b为3的倍数，要使能被15整除， 则能被5整除，即c=0或5， 当c=0时，a=2b，则=210，420，630，840； 当c=5时，a+5=2b， ∴， ，，，， ∴综上所述，能被15整除的等差数有9个：210，420，630，840，135，345，555，765，975． 【点睛】本题主要考查了对整除的理解，理清新定义“等差数”是解答本题的关键． 19．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，长方形长为，宽为，现从四个角割去四个边长为的小正形，然后折叠成一个无盖的长方体． （1）求长方体的体积（用含有m的代数式表示） （2）当时，求此时长方体体积． 【答案】（1）      （2）2 【分析】（1）先求出长方体的长、宽、高，然后由体积公式即可求出答案； （2）把代入计算，即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意， 长方体的长为：， 长方体的宽为：， 长方体的高为：， ∴长方体的体积为：； （2）根据题意， 当时，则 此时长方体体积为：． 【点睛】本题考查了用代数式表示长方体的体积，需熟记公式，且认真观察图形，得出等量关系是解题的关键． 20．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的甬路，剩余部分种草．（提示：取3） （1）甬路的面积为________平方米；种花的面积为_______平方米； （2）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积； （3）在（2）的条件下，种花的费用为每平方米30元，种草的费用为每平方米20元，甬路的费用为每平方米10元．那么美化这块空地共需要资金多少元？ 【答案】（1）ab；3a2；（2）28平方米；（3）1120元 【分析】（1）利用长方形面积公式和圆的面积公式计算即可； （2）用总面积减去甬路和花圃面积即可； （3）表示出甬路、花圃、草地的面积，再求出各自的花费即可． 【详解】解：（1）甬路的面积：（3a-a-a）•b=ab（平方米）， 种花的面积：π•a2≈3a2（平方米）， 故答案为：ab；3a2； （2）种草的面积：3a•b-ab-πa2=2ab-3a2， 当a=2，b=10时， 原式≈2×2×10-3×22=40-12=28（平方米）， 答：长方形场地上种草的面积为28平方米； （3）3×22×30+28×20+2×10×10 =360+560+200 =1120（元） 答：美化这块空地共需要资金1120元． 【点睛】此题主要考查了列代数式和代数式求值，关键是掌握四个花圃拼在一起组成圆形． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 单项式乘单项式 教学目标 1. 理解单项式乘单项式的算理，掌握单项式与单项式相乘的运算法则，明确法则的推导依据（乘法交换律、结合律及同底数幂的乘法法则）； 2. 能熟练运用法则进行简单单项式乘单项式运算（不含符号错误、指数运算错误），能处理含系数、同底数幂、单独字母的单项式乘法（如3x²·5x³、-2ab·3a²b³等）； 3. 能解决单项式乘单项式相关的基础应用问题（如求单项式乘积的系数、某一字母的指数，化简简单的单项式乘积表达式），为后续学习多项式乘单项式奠定基础； 教学重难点 1.重点 （1）掌握单项式乘单项式的法则，学会运用单项式乘单项式的运算计算结果； 2.难点 （1）利用单项式乘单项式的计算法则解决实际问题； 知识点01 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏常州·月考）已知，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算： ． 4．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型01 单项式乘单项式法则 【典例1】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算 ． 【变式3】（25-26八年级上·山东滨州·月考）计算： ． 【变式4】（24-25七年级下·江苏南通·月考）计算： ． 题型02 单项式乘单项式的计算问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）计算：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算： 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： 题型03 单项式乘单项式的求值问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏·月考）已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·月考）若，则的值为 ． 【变式2】（2025七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若，则 ． 【变式4】（24-25七年级下·江苏·月考）如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 题型04 单项式乘单项式中的含参问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，则 ， ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·月考）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若＝－10，则m－n等于（   ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 题型05 单项式乘法中的错看、漏看问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）小明计算一道代数式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 题型06 单项式乘法中的化简求值 【典例1】（25-26八年级上·青海西宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（2025七年级上·上海·专题练习）先化简，后求值：，已知． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·月考）化简计算： (1)． (2)． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）先化简，再求值，其中，． 题型07 单项式乘单项式的实际应用 【典例1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）长方形的长为，宽为，则它的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山东·期末）如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为 ．（用含x，y的式子表示） 【变式4】（24-25七年级下·江苏南通·月考）在个旧市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，该小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． (1)用含m、n的代数式表示该广场的面积S（图中阴影部分）； (2)若m、n满足，求该广场的面积． 【变式5】（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 题型08 单项式乘单项式的新定义运算 【典例1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）定义新运算：，则的运算结果为 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·月考）定义一种新运算：．例如：，则的结果是 ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）若定义表示，表示，则运算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）下列计算中①；②；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·全国·周测）在代数式中，与的值各变为原来的，则该代数式的值减少为原来的（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）设，则的值为（） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西西安·月考）单项式与单项式乘积的结果是一个9次单项式，则的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（24-25七年级上·上海·期中）如果A、B都是关于x的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次多项式，那么的次数（   ） A．一定是四次 B．一定是七次 C．一定是三次 D．不大于四次 6．已知第一个有序单项式串：1，x，y，将该单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，可以得到第二个单项式串：1，x，x，，y，对得到的新单项式串重复这样的操作……以此类推，关于操作后的单项式串．给出下列说法：①第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为5；②若x，y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，那么满足条件的x，y一共有7种；③若y=1，第2025个单项式串中，有4049个x和4046个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则 ． 8．（25-26八年级上·北京·开学考试）若，则 . 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知与的积与是同类项，则的值为 ． 10．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算 ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 12．如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为 ．（结果保留）      13．（2025七年级下·全国·专题练习）． 14．（24-25七年级上·全国·假期作业）表示，表示，求． 15．（24-25八年级上·湖南衡阳·月考）计算： 16．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．对于一个三位自然数，如果首尾两项和等于中间项的2倍，则称其为等差数．如：123，，则123为等差数；125，，则125不是等差数． （1）试判断246，777是否为等差数； （2）求能被15整除的所有三位等差数的个数，并说明理由． 19．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，长方形长为，宽为，现从四个角割去四个边长为的小正形，然后折叠成一个无盖的长方体． （1）求长方体的体积（用含有m的代数式表示） （2）当时，求此时长方体体积． 20．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的甬路，剩余部分种草．（提示：取3） （1）甬路的面积为________平方米；种花的面积为_______平方米； （2）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积； （3）在（2）的条件下，种花的费用为每平方米30元，种草的费用为每平方米20元，甬路的费用为每平方米10元．那么美化这块空地共需要资金多少元？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $