第二十章 勾股定理 单元测试-2025-2026学年人教版八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第二十章 勾股定理 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 3．如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 4．如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 5．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．如图，在长方形中，，．将此长方形沿所在的直线折叠，使点D与点B重合，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 9．在中，，为的中点，为上的点，将沿着折叠，点恰好落在上点处，且．若，则的长为（   ）． A．2 B． C． D． 10．设，A为上一点，D为上一点，，C为上任一点，B是上任一点，那么折线的长最小值是（　　） A．12 B． C．8 D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．已知点A坐标为，则点A到原点的距离为 ． 12．直角三角形的斜边为，一条直角边为，则另一条直角边为 ． 13．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 14．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为 ． 15．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为 ． 16．装修工人携带一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知小明家的电梯的长、宽、高分别是，，，那么能放入电梯内的木条最长为 ．（结果保留根号，并不考虑木条的粗细） 17．如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 18．如图，在中，，，点E为边上一点，点B关于的对称点为点D，连接，延长交的延长线于点F．若，，则线段的长度为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 20．（6分）如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 21．（8分）如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 22．（8分）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 23．（8分）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边长．我们可以利用，，之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． 请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，请说明该三角形是以上哪种三角形； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，则当的值是多少时，这个三角形是直角三角形？请说明理由． 24．（9分）如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，过点D作于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 25．（10分）综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 26．（11分）如图：已知中，，，的面积是12，于点D，点M在直线上，且，动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)在上取点Q，使，连结，当与全等时，求t值； (4)在点P运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 3．如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 4．如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 5．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．如图，在长方形中，，．将此长方形沿所在的直线折叠，使点D与点B重合，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 9．在中，，为的中点，为上的点，将沿着折叠，点恰好落在上点处，且．若，则的长为（   ）． A．2 B． C． D． 10．设，A为上一点，D为上一点，，C为上任一点，B是上任一点，那么折线的长最小值是（　　） A．12 B． C．8 D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．已知点A坐标为，则点A到原点的距离为 ． 12．直角三角形的斜边为，一条直角边为，则另一条直角边为 ． 13．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 14．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为 ． 15．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为 ． 16．装修工人携带一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知小明家的电梯的长、宽、高分别是，，，那么能放入电梯内的木条最长为 ．（结果保留根号，并不考虑木条的粗细） 17．如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 18．如图，在中，，，点E为边上一点，点B关于的对称点为点D，连接，延长交的延长线于点F．若，，则线段的长度为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 20．（6分）如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 21．（8分）如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 22．（8分）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 23．（8分）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边长．我们可以利用，，之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． 请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，请说明该三角形是以上哪种三角形； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，则当的值是多少时，这个三角形是直角三角形？请说明理由． 24．（9分）如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，过点D作于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 25．（10分）综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 26．（11分）如图：已知中，，，的面积是12，于点D，点M在直线上，且，动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)在上取点Q，使，连结，当与全等时，求t值； (4)在点P运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 单元测试 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B D D D B C C A 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 12. 13. 14. 6 15. 96 16. 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【详解】（1）解：∵为直角边，为斜边，， ∴；（3分） （2）解：∵为直角边，为斜边，， ∴．（6分） 20．（6分） 【答案】的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键． 先对运用勾股定理求解，再由线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 答：的距离为．（6分） 21．（8分） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），以3,4,5为边作出直角三角形即可； 对于（2），以为边长画出直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，，则即为所求作； （4分） （2）解：如图所示，，，，可知， 所以是直角三角形． （8分） 22．（8分） 【答案】(1)5 (2)36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中， 根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解： 在中，， 由勾股定理得；（4分） （2）解：在中， 由于，即， 则是直角三角形， 因此．（8分） 23．（8分） 【答案】(1)锐角三角形 (2)的值为或，理由见详解 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中判断三角形的方法是解决问题的关键． （1）按照阅读材料中的分类及判断方法验证即可得到答案； （2）按照阅读材料中直角三角形的判断方法，分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是， ， 该三角形是锐角三角形；（4分） （2）解：的值为或， 理由如下： 一个三角形的三边长分别是，，，分两种情况： 当是最长边长时，由这个三角形是直角三角形，则， 解得； 当是最长边长时，由这个三角形是直角三角形，则， 解得； 综上所述，的值为或．（8分） 24．（9分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、勾股定理、三角形的面积，根据平行线的性质和勾股定理解答是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； （2）由（1）得，再根据平行线的性质得，然后由勾股定理求得，再利用等积法求出，最后由勾股定理求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴；（4分） （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，．（9分） 25．（10分） 【答案】(1)或 (2) (3)，，证明见解析 【分析】 本题考查了勾股定理、概率的计算、全等三角形的判定与性质，利用弦图中全等直角三角形的性质分析边长关系、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到正方形的面积为； （2）由点是中点，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到，求得正方形的面积，正方形的面积，于是得到结论； （3）根据全等三角形的性质得到，，，推出，得到，，于是得到结论． 【详解】（1） 解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：；（3分） （2）解：∵点是中点， ∴， ∴， ∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的面积，正方形的面积， ∴点落在阴影部分的概率为； 故答案为：；（6分） （3） 解：，， 证明：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴．（10分） 26．（11分） 【答案】(1)4 (2)当时，；当时， (3)或 (4)或或 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为：4．（2分） （2）解：， ， ， ∵动点从点出发，以每秒 1 个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，；（4分） （3）解：∵， ， ， ， 当点在点左侧，时，， ， 解得：； 当点在点右侧，时，， ， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等；（7分） （4）解：当时，， ， ，即点P与点B重合， ， 当，点在点左侧时，， ， ， 当点在点右侧，， ， ， 综上，或或时，是以为腰的等腰三角形．（11分） 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐一进行判定即可． 【详解】解：A．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； B．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； C．，，，故该选项是勾股数，符合题意； D．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 2．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键． 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】∵，，， ， 故选：B． 4．如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数与数轴，勾股定理． 根据勾股定理求出的长，进而作答即可． 【详解】解：由图可知， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数为． ∴点D表示的数为． 故选：D． 5．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：A、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； B、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； C、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； D、，不能用面积验证勾股定理，符合题意； 故选：D． 6．如图，在四边形中，，，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 连接，根据，用勾股定理求出的长度，再用勾股定理的逆定理，证是直角三角形，根据四边形的面积等于和面积之差，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ， 是直角三角形， 四边形的面积为． 故选：D． 7．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等． 由题目作图知，是的平分线，过点D作，则，进而求解． 【详解】解：过点D作于点H，则， 由题目作图知，是的平分线， 则， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，在长方形中，，．将此长方形沿所在的直线折叠，使点D与点B重合，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查长方形的折叠问题，利用勾股定理列方程求线段的长度；，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵长方形中，，， 设，则， 解得， 故选C． 9．在中，，为的中点，为上的点，将沿着折叠，点恰好落在上点处，且．若，则的长为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由折叠的性质可得，，结合，可判定是等边三角形．由于为的中点，因此是直角三角形，使用勾股定理计算出．结合，可证明是等腰直角三角形，则，进而求出． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． 10．设，A为上一点，D为上一点，，C为上任一点，B是上任一点，那么折线的长最小值是（　　） A．12 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】先分别作A、D关于、的对称点、点，连接、、，，，根据轴对称的性质可得，，，，则，再由勾股定理求出的长，由两点之间线段最短可得的长即为折线的长的最小值． 【详解】解：如图，分别作A、D关于、的对称点、点，连接、、，，， 则，，，， ∴， ∴当共线时，有最小值， 由轴对称的性质得，， ∴， 取的中点，连接， 则， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故折线的长的最小值为12． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题、等边三角形的性质与判定、勾股定理，利用轴对称的性质将折线的长进行转化是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．已知点A坐标为，则点A到原点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间距离公式． 利用两点间距离公式求解点A到原点的距离即可． 【详解】解：点A的坐标为，原点坐标为， ∴A到原点的距离为． 故答案为：． 12．直角三角形的斜边为，一条直角边为，则另一条直角边为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和．已知斜边和一条直角边，故根据勾股定理求另一条直角边即可． 【详解】解：另一条直角边的长度为． 故答案为：． 13．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接，根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 14．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟记相关性质定理是解题的关键．由勾股定理结合正方形的面积可知，，再结合三个正方形的面积分别为7、16、3，即可推出结果． 【详解】解：如图， 由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵三个正方形的面积分别为7、16、3， ∴， 故答案为：6． 15．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为 ． 【答案】96 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理逆定理，连接，线段垂直平分线的性质，得到，勾股定理逆定理得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：96． 16．装修工人携带一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知小明家的电梯的长、宽、高分别是，，，那么能放入电梯内的木条最长为 ．（结果保留根号，并不考虑木条的粗细） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示： 由勾股定理得：， （米； 即放入电梯内的木条的最大长度是米． 故答案为：． 17．如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 18．如图，在中，，，点E为边上一点，点B关于的对称点为点D，连接，延长交的延长线于点F．若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： 连接，等边对等角得到，对称得到，进而得到，设，倒角求出，作，三线合一，结合含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 作，则：，， ∴， ∴； 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【详解】（1）解：∵为直角边，为斜边，， ∴； （2）解：∵为直角边，为斜边，， ∴． 20．（6分）如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 【答案】的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键． 先对运用勾股定理求解，再由线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 答：的距离为． 21．（8分）如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），以3,4,5为边作出直角三角形即可； 对于（2），以为边长画出直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，，则即为所求作； （2）解：如图所示，，，，可知， 所以是直角三角形． 22．（8分）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中， 根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解： 在中，， 由勾股定理得； （2）解：在中， 由于，即， 则是直角三角形， 因此． 23．（8分）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边长．我们可以利用，，之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． 请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，请说明该三角形是以上哪种三角形； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，则当的值是多少时，这个三角形是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)锐角三角形 (2)的值为或，理由见详解 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中判断三角形的方法是解决问题的关键． （1）按照阅读材料中的分类及判断方法验证即可得到答案； （2）按照阅读材料中直角三角形的判断方法，分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是， ， 该三角形是锐角三角形； （2）解：的值为或， 理由如下： 一个三角形的三边长分别是，，，分两种情况： 当是最长边长时，由这个三角形是直角三角形，则， 解得； 当是最长边长时，由这个三角形是直角三角形，则， 解得； 综上所述，的值为或． 24．（9分）如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，过点D作于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、勾股定理、三角形的面积，根据平行线的性质和勾股定理解答是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； （2）由（1）得，再根据平行线的性质得，然后由勾股定理求得，再利用等积法求出，最后由勾股定理求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 25．（10分）综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 【答案】(1)或 (2) (3)，，证明见解析 【分析】 本题考查了勾股定理、概率的计算、全等三角形的判定与性质，利用弦图中全等直角三角形的性质分析边长关系、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到正方形的面积为； （2）由点是中点，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到，求得正方形的面积，正方形的面积，于是得到结论； （3）根据全等三角形的性质得到，，，推出，得到，，于是得到结论． 【详解】（1） 解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：； （2）解：∵点是中点， ∴， ∴， ∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的面积，正方形的面积， ∴点落在阴影部分的概率为； 故答案为：； （3） 解：，， 证明：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 26．（11分）如图：已知中，，，的面积是12，于点D，点M在直线上，且，动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)在上取点Q，使，连结，当与全等时，求t值； (4)在点P运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)当时，；当时， (3)或 (4)或或 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为：4． （2）解：， ， ， ∵动点从点出发，以每秒 1 个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ， ， ， 当点在点左侧，时，， ， 解得：； 当点在点右侧，时，， ， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，， ， ，即点P与点B重合， ， 当，点在点左侧时，， ， ， 当点在点右侧，， ， ， 综上，或或时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 2 学科网（北京）股份有限公司 $