第十九章 二次根式 单元测试-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版新教材）

第十九章 二次根式 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 2．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的乘除和加减运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解： 选项A：与并非同类二次根式，不可合并计算，故A错误，不符合题意； 选项B：与并非同类二次根式，不可合并计算，故B错误，不符合题意； 选项C：根据二次根式的乘法法则，，且为最简二次根式，故C正确，符合题意； 选项D：根据二次根式的除法法则，，故D错误，不符合题意； 故选C． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数为整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意； B、  ，含平方因子，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 4．下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二次根式的化简，判断二次根式是否为同类，需化简为最简二次根式后比较被开方数是否相同，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，， 被开方数均为2，是同类二次根式； 选项B： 已是最简根式，， 被开方数均为7，是同类二次根式； 选项C： ，，被开方数均为3，是同类二次根式； 选项D： ， 被开方数为3；， 被开方数为6，不是同类二次根式； 故选D． 5．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．由数轴可得，，再判断，，最后化简二次根式与绝对值，再合并即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ，， ， 故选：A． 6．一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，二次根式的加减法，解题的关键是掌握对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 先将边长化简，等腰三角形可能有两种情况，分别以化简后的边长为腰或底，计算周长并验证三角形不等式． 【详解】解：∵ ，， 情况一：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为 ； 情况二：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为． ∴ 周长为或， 故选：A． 7．估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算及无理数的估算，先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴在1和2之间， 故选：B． 8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 9．如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根据取值范围化简绝对值是解题的关键． 本题由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【详解】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 故选：C． 10．已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根，实数的运算，根据题意可得，设，，其中 是整数，则可证明，，再令的值为四个选项中的数，看此时是否有满足题意的即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，，其中 是整数， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当时，则，即此时，则或，不满足，故A不符合题意； 当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（4不是一个整数的立方），故B不符合题意； 当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（2不是一个整数的立方），故C不符合题意； 当时，则，即此时，则，则时能满足题意，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．二次根式有意义的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数必须大于或等于零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，平方差公式，识别表达式符合平方差公式形式，直接应用公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．比较大小： 【答案】＜ 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，关键是利用“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先比较绝对值的大小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：． 14．若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，核心知识点是二次根式的性质，以及绝对值的化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件先确定x的值，再求y的值，最后计算即可． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得， ∴， ∴， 故答案为：2． 16．已知，化简的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，先根据判断绝对值和根号内表达式的正负，再进行化简计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：1． 17．若，则______． 【答案】15 【分析】本题考查分母有理化、代数式求值，先将分母有理化，得到，然后由得 ，整理得．利用此关系式将高次幂降次，代入多项式计算即可． 【详解】解：， 所以，两边平方，得， 则，即， ∴， ∴， ， ∴： ， 故答案为：15． 18．如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接，若，，，则 ， ． 【答案】 【分析】先证明，作于点，设，则，利用证明，推出，在中，利用勾股定理列式求得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 作于点， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，分母有理化，全等三角形的判定和性质，正确作辅助线解决问题是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）计算： 【答案】 【分析】先化简绝对值、零指数幂和二次根式，然后按照加减运算法则进行计算即可；本题考查了零指数幂，二次根式和绝对值的化简，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 20．（8分）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可． （1）将化成再进行化简； （2）将化成再进行化简； （3）将数与字母分开进行化简； （4）先将根式里面的式子整理成的形式再进行化简． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 21．（6分）计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的计算，熟练掌握实数的计算法则是解题的关键. （1）先进行去括号，然后合并同类项即可求解； （2）首先去括号，然后合并同类项即可求解； （3）先计算平方，然后去括号合并同类项即可求解. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 22．（8分）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 23．（8分）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可； （2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 原式 ． （2）解：， ， ，即， ， ． 24．（9分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)4秒 (2)不正确；理由见解析 (3)；启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论； （3）求出，代入题干计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知：当时，； 故物体从的高空落到地面的时间为4秒． （2）解：不正确． 理由：当时，． ， 她的说法不正确． （3）解：，， ， ， 所带能量， 这个小球在下落过程中所带能量有． 启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人． 25．（9分）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （）小华仿照小明的方法将化成了，则______，______； （）请运用小明的方法化简； 【拓展提升】 （）计算：． 【答案】（），；（）；（） 【分析】（）仿照小明的方法解答即可； （）仿照小明的方法解答即可； （）根据规律计算即可； 本题考查了二次根式的性质与化简，数字的规律，熟练掌握题中给出的方法是解题的关键． 【详解】解：（）， ∴， ∴， 故答案为：，； （） ； （）原式 ． 26．（12分）【给出定义】如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为这边上的“奇特三角形”，这条边称为“奇特边”． 【问题解决】（1）如图1，已知是奇特三角形，，且．（已知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ①的奇特边是 ； ②设则 ； 【方法运用】（2）如图2，是的中线，若是边上的奇特三角形，找出与之间的关系； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，对角线把它分成了两个奇特三角形，且是以为腰的等腰三角形，求等腰的底边长．    【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】（1）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判定不可能是奇特边；然后用反证法假设是奇特边，利用各边长度关系可发现此假设与条件矛盾，故不成立；所以奇特边为； ②利用奇特边的特性和勾股定理即可推导a、b、c的关系，从而求出； （2）过A作，交于点D，再利用勾股定理列式，变形计算后可得答案； （3）先利用（1）的结论求出的长，再利用“奇特三角形”的定义，分类讨论：①若腰为“奇特边”，由（2）的结论即可求出底边；②若底为“奇特边”，同上求解即可． 【详解】解：（1）①∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，不符合“奇特三角形”的定义 ∴不可能是奇特边， 假设是奇特边，作边上的中线，    ∵是奇特边， ∴， ∵直角三角形的斜边大于它的直角边， ∴， ∴，这与已知条件“”相矛盾， ∴假设不成立，即不是奇特边， ∴的奇特边是； ②作边上的中线，    ∵是奇特边， ∴，， 根据勾股定理：， ， ∴； （2）过点A作交于D，    ∵是的“奇特边” ∴， 在，和中 ，， ∴ ， 由①②变形得： ， 得：， ， ， ， 将，代入得：， ∴； （3）∵，， 由（1）的结论可得：为奇特边，且 解得：， 又∵是以为腰的等腰三角形，假设另一腰为，则为底边， ∴， ①若腰为“奇特边”，由（2）结论可知：， 解得：， ②若底为“奇特边”，由（2）结论可知：， 解得：， 综上所述：或． 【点睛】本题考查的是三角形知识的综合运用，勾股定理，三角形中线的性质，二次根式的混合运算，等腰三角形的定义，掌握“奇特边”的概念、勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 2．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 7．估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 9．如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 10．已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．二次根式有意义的条件是 ． 12．计算： ． 13．比较大小： 14．若，则化简 ． 15．若，则的值为 ． 16．已知，化简的结果是 ． 17．若，则______． 18．如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接，若，，，则 ， ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）计算： 20．（8分）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（6分）计算： (1)． (2)． (3) 22．（8分）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 23．（8分）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：． (2)若，求的值． 24．（9分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 25．（9分）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （）小华仿照小明的方法将化成了，则______，______； （）请运用小明的方法化简； 【拓展提升】 （）计算：． 26．（12分）【给出定义】如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为这边上的“奇特三角形”，这条边称为“奇特边”． 【问题解决】（1）如图1，已知是奇特三角形，，且．（已知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ①的奇特边是 ； ②设则 ； 【方法运用】（2）如图2，是的中线，若是边上的奇特三角形，找出与之间的关系； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，对角线把它分成了两个奇特三角形，且是以为腰的等腰三角形，求等腰的底边长．    1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 单元测试 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A D A A B B C D 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 12. 1 13. ＜ 14. 15. 2 16. 1 17. 15 18. ， 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分） 【答案】 【分析】先化简绝对值、零指数幂和二次根式，然后按照加减运算法则进行计算即可；本题考查了零指数幂，二次根式和绝对值的化简，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ．（6分） 20．（8分） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可． （1）将化成再进行化简； （2）将化成再进行化简； （3）将数与字母分开进行化简； （4）先将根式里面的式子整理成的形式再进行化简． 【详解】（1）解： （2分） （2）解： （4分） （3）解： （6分） （4）解： （8分） 21．（6分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的计算，熟练掌握实数的计算法则是解题的关键. （1）先进行去括号，然后合并同类项即可求解； （2）首先去括号，然后合并同类项即可求解； （3）先计算平方，然后去括号合并同类项即可求解. 【详解】（1）解：原式．（2分） （2）解：原式 ．（4分） （3）解：原式 ．（6分） 22．（8分） 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ；（4分） （2）解：， 且， ．（8分） 23．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可； （2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 原式 ．（4分） （2）解：， ， ，即， ， ．（8分） 24．（9分） 【答案】(1)4秒 (2)不正确；理由见解析 (3)；启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论； （3）求出，代入题干计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知：当时，； 故物体从的高空落到地面的时间为4秒．（3分） （2）解：不正确． 理由：当时，． ， 她的说法不正确．（6分） （3）解：，， ， ， 所带能量， 这个小球在下落过程中所带能量有． 启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人．（9分） 25．（9分） 【答案】（），；（）；（） 【分析】（）仿照小明的方法解答即可； （）仿照小明的方法解答即可； （）根据规律计算即可； 本题考查了二次根式的性质与化简，数字的规律，熟练掌握题中给出的方法是解题的关键． 【详解】解：（）， ∴， ∴， 故答案为：，；（3分） （） ；（6分） （）原式 ．（9分） 26．（12分） 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】（1）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判定不可能是奇特边；然后用反证法假设是奇特边，利用各边长度关系可发现此假设与条件矛盾，故不成立；所以奇特边为； ②利用奇特边的特性和勾股定理即可推导a、b、c的关系，从而求出； （2）过A作，交于点D，再利用勾股定理列式，变形计算后可得答案； （3）先利用（1）的结论求出的长，再利用“奇特三角形”的定义，分类讨论：①若腰为“奇特边”，由（2）的结论即可求出底边；②若底为“奇特边”，同上求解即可． 【详解】解：（1）①∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，不符合“奇特三角形”的定义 ∴不可能是奇特边， 假设是奇特边，作边上的中线，    ∵是奇特边， ∴， ∵直角三角形的斜边大于它的直角边， ∴， ∴，这与已知条件“”相矛盾， ∴假设不成立，即不是奇特边， ∴的奇特边是；（2分） ②作边上的中线，    ∵是奇特边， ∴，， 根据勾股定理：， ， ∴；（4分） （2）过点A作交于D，    ∵是的“奇特边” ∴， 在，和中 ，， ∴ ， 由①②变形得： ， 得：， ， ， ， 将，代入得：， ∴；（8分） （3）∵，， 由（1）的结论可得：为奇特边，且 解得：， 又∵是以为腰的等腰三角形，假设另一腰为，则为底边， ∴， ①若腰为“奇特边”，由（2）结论可知：， 解得：， ②若底为“奇特边”，由（2）结论可知：， 解得：， 综上所述：或．（12分） 【点睛】本题考查的是三角形知识的综合运用，勾股定理，三角形中线的性质，二次根式的混合运算，等腰三角形的定义，掌握“奇特边”的概念、勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第十九章 二次根式 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 2．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 7．估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 9．如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 10．已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．二次根式有意义的条件是 ． 12．计算： ． 13．比较大小： 14．若，则化简 ． 15．若，则的值为 ． 16．已知，化简的结果是 ． 17．若，则______． 18．如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接，若，，，则 ， ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）计算： 20．（8分）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（6分）计算： (1)． (2)． (3) 22．（8分）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 23．（8分）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：． (2)若，求的值． 24．（9分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 25．（9分）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （）小华仿照小明的方法将化成了，则______，______； （）请运用小明的方法化简； 【拓展提升】 （）计算：． 26．（12分）【给出定义】如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为这边上的“奇特三角形”，这条边称为“奇特边”． 【问题解决】（1）如图1，已知是奇特三角形，，且．（已知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ①的奇特边是 ； ②设则 ； 【方法运用】（2）如图2，是的中线，若是边上的奇特三角形，找出与之间的关系； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，对角线把它分成了两个奇特三角形，且是以为腰的等腰三角形，求等腰的底边长．    试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $