第十九章 二次根式题型过关专练 -2025-2026学年人教版八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】

第十九章 二次根式 思维导图 【类型一】二次根式的定义 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知，则 ． 【类型二】二次根式有意义 1．使有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 2．若式子在实数范围内有意义，则，的取值范围分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知x，y均为实数，，则的值为 ； 【类型三】二次根式的值 1．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．当时，二次根式的值为 ． 【类型四】二次根式的乘法及化简 1．计算的结果为（    ） A．11 B． C．30 D． 2．计算： ． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【类型五】二次根式的除法及化简 1．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．化简： (1) (2) (3) (4) (5)（其中） (6)（其中） 【类型六】二次根式的加减混合运算 1．的结果是（   ） A．2 B． C． D． 2．计算的结果为 ． 3．化简： (1) (2) 【类型七】二次根式的四则混合运算 1．计算：． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【类型一】二次根式的性质化简 1．已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 2．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 3．若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 【类型二】最简、同类二次根式结合 1．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ． 3．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【类型三】二次根式的大小比较 1．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．比较下列两个数的大小： ． 3．【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【类型四】二次根式的实际应用 1．为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 2．现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为 ． 3．如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 【类型五】整数部分与小数部分 1．我们都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是因为，因此我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分，若的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 3．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是 ． (2)若a是的整数部分，b是的小数部分．求的值． (3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的立方根． 【类型一】二次根式求证 1．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 3．已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 【类型二】二次根式的最值问题 1．已知代数式，下列说法不正确的是（   ） A．代数式有最大值 B．代数式有最小值 C．代数式值随a的增大而增大 D．代数式值不可能为0 2．对于任意正实数、， ， ，只有当时，等号成立． 由此我们得到结论：任意正实数、，有． 依此结论我们有 （1）的最小值 ； （2）的最小值 ． 3．阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵ ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (4)如图，四边形的对角线，相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【类型三】估算二次根式 1．估算的值在（      ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 2．若n为正整数，且满足估算，则n的值为 ． 3．（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． (1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； (2)结合图中思路，解释该方法的合理性． 【类型四】海伦——秦九韶公式 1．海伦—秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为（    ） A． B．30 C． D．45 2．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 3．综合与应用 【阅读材料】小东和小明在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小东找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积计算公式（秦九韶公式）为： ． 小明找到的资料如下： 古希腊几何学家海伦（Heron），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积计算公式（海伦公式）为：． 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为5，6，7． 若利用小明提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出和的值； ②请利用小东提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）请你试用秦九韶给出的三角形面积公式推导出海伦公式． 【类型五】二次根式的规律 1．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行                       1   第二行                   2     第三行               3       第四行          4         …… 根据数阵规律，第八行倒数第四个数是（   ） A． B． C． D． 2．观察下列各式： ； ； ； ······． 你能发现什么规律？请用含有自然数n的式子将你发现的规律表示出来，并注明n的取值范围 ． 3．小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． (3)应用运算规律化简： 【类型六】二次根式有理化 1．在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化： ；； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简___________，___________； (2)化简：； (3)化简：． 2．小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 3．阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： (1)与___________互为有理化因式； (2)比大小：___________（直接填或中的一种）； (3)已知是正整数，，求． 【类型七】二次根式的新定义 1．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 2．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值； (3)若分式的“巧整式”为，①求整式A； ②当时，求整式A的值的整数部分． 3．定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”．因为（＋）（－）＝（）2 －（）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（＋）和（－）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如＝＝3＋2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出＋的对偶式_________； (2)已知m＝，n＝，求的值； (3)利用“对偶式”相关知识解方程：－＝2，其中x≤4． 【类型八】复合二次根式化简 1．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 2．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 3．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 1．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·重庆铜梁·月考）估计的值应在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 4．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： ． 6．（25-26八年级上·上海黄浦·月考）化简： ． 7．（25-26八年级上·北京顺义·月考）已知，化简 ． 8．（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算： (1)． (2)； 9．（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）在中，令，，则． (1)化简：． (2)推广： ．（只填结果） 10．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列运算与的结果相同的是（        ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（   ） A． B．7 C． D．10 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）若，则的平方根为 ． 6．（25-26八年级上·四川成都·期中）设，，则 ； ． 7．（25-26八年级上·湖南永州·期中）设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 8．（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 9．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 10．（24-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 1．（25-26八年级上·北京平谷·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆·期末）估计的值应在（    ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 4．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中， 则的长为（   ） A． B． C．2 D． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）化简： ． 6．（25-26九年级上·重庆巫山·期末）若n为正整数，且满足，则 7．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当 时，有最小值，最小值为 ． 8．（25-26七年级上·山东烟台·期末）计算 (1) (2) 9．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 10．（25-26八年级上·山东济南·期末）【问题背景】 学习三角形一章之后，八（）班各学习小组打算用两个不同的等腰直角三角形设计本组的标志，小明在设计标志的过程中发现如果两个等腰直角三角形共直角顶点摆放，某些线段和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且． 【初步探究】 （）如图，当点在边上时，连接，线段与的数量关系是______，______； 【深入探究】 （）如图，当点在外时，连接，请探究线段的关系，并说明理由； 【拓展探究】 （）如图，当点在外时，若，，则______（直接写出结果） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 思维导图 【类型一】二次根式的定义 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；     B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；     C．是二次根式，故符合题意；     D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选C． 2．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质．根据二次根式和绝对值的非负性求出x、y的值，即可代入原式计算． 【详解】解：∵， ∴要使，则， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【类型二】二次根式有意义 1．使有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2．若式子在实数范围内有意义，则，的取值范围分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为零． 分别确定式子中二次根式a​、分式有意义的条件，结合这两个条件得到的取值范围，再逐一判断选项． 【详解】解：∵ 式子 在实数范围内有意义， ∴ 有意义要求 ， 有意义要求 ， ∴ 且 ． 故选：B． 3．已知x，y均为实数，，则的值为 ； 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和零指数幂，根据二次根式有意义的条件，确定x的值，进而求出y的值，最后计算的值． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，解得， 代入得， 所以， 故答案为：1． 【类型三】二次根式的值 1．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 2．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 3．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 【类型四】二次根式的乘法及化简 1．计算的结果为（    ） A．11 B． C．30 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键． 利用二次根式的乘法运算法则，将被开方数分别开方后相乘即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 2 【分析】利用平方根的乘法性质，将两个平方根合并为一个平方根，再计算根号内的表达式． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式乘法法则是解决关键． 【详解】解：根据平方根的性质，， 所以 ， 计算 ， 因此 ． 故答案为：2． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)45 (2)15 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握相应的运算法则是关键． （1）可根据二次根式的乘法法则进行化简； （2）将转化为，再根据二次根式的乘法法则进行化简； （3）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，再进行分母有理化； （4）将转化为，再根据二次根式的乘法法则进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【类型五】二次根式的除法及化简 1．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式各项利用二次根式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：∵ 在实数范围内，平方根的被开方数必须大于等于0. A、，成立，符合题意； B、，但右边无意义，不成立，不符合题意； C、和无意义，不成立，不符合题意； D、，不成立，不符合题意； 故选：A. 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．化简： (1) (2) (3) (4) (5)（其中） (6)（其中） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的运算、分母有理化等知识点，掌握二次根式的性质化简即可． （1）先逆用二次根式乘法法则，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先逆用二次根式除法法则，再利用二次根式的性质化简即可； （3）先将被开方数化成分数，再用二次根式除法法则化简以及二次根式的性质化简即可； （4）利用二次根式除法法则化简以及二次根式的性质化简即可； （5）先利用二次根式乘法法则变形，再利用二次根式的性质化简即可； （6）先说明，利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：∵，且， ∴， ∴． 【类型六】二次根式的加减混合运算 1．的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简及减法运算，先化简二次根式，再相减即可． 【详解】解：． 故选：D． 2．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式． 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 3．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减混合运算，解题的关键是正确化简二次根式． （1）分别计算算术平方根、立方根、绝对值，再进行加减计算； （2）先化简二次根式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【类型七】二次根式的四则混合运算 1．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的运算，先利用二次根式除法，平方差公式进行化简，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了零次幂，绝对值，二次根式的性质，二次根式的加减运算，完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）先化简二次根式，零次幂，绝对值，再进行加减运算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质、二次根式混合运算、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先用二次根式的性质化简，然后再计算即可； （3）先用平方差公式和完全平方公式展开，然后再合并同类二次根式即可． （4）先用二次根式的性质、绝对值、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【类型一】二次根式的性质化简 1．已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，由已知可得，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴， 故选：． 2．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3．若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系与二次根式的化简，掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，及的化简规则是解题的关键． 先利用三角形三边关系求出第三条边的取值范围，再将根号内的式子化为完全平方式，结合的范围判断根号内式子的正负，去掉根号后进行化简． 【详解】解：由三角形的三边关系，得， ，， 原式 ． 【类型二】最简、同类二次根式结合 1．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同．先将化为最简形式，从而确定被开方数为2，即，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵，且最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的概念，解题关键是明确“只有同类二次根式才能合并”，从而确定被开方数相等，建立方程求解． 先将化为最简二次根式，根据同类二次根式才能合并，可知与​的最简形式是同类二次根式，进而建立等式求解． 【详解】解：． ∵最简二次根式能与另一个二次根式合并得到， ∴​是的同类二次根式，且是最简二次根式，因此有： ． 故答案为：． 3．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，由已知求得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 【类型三】二次根式的大小比较 1．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 2．比较下列两个数的大小： ． 【答案】 【分析】通过平方去掉根号，再比较大小．因为两个数都是正数，平方大的原数也大． 【详解】解：分别对两个数进行平方： ； ． ∵，且两个数都是正数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和平方比较法．解题关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过平方将根式比较转化为有理数比较． 3．【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方法和分子有理化比较实数的大小． ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()可利用分子有理化比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ， ∵ ∴， 即：， ∵，， ∴； （3）∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【类型四】二次根式的实际应用 1．为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式分别求得正方形和正方形的边长，进而得出长方形的长和宽，最终可求得总面积． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为， 正方形的边长为， ∴长方形的长为，宽为， ∴， 故选：B． 2．现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了正方形及长方形的面积公式、二次根式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 先求出正方形的边长，再根据缩短后的对边长度计算长方形的面积． 【详解】解：正方形的面积为，故边长为 = cm． 将一组对边缩短 cm， 则缩短后的对边长度为 = cm． 另一组对边长度不变，仍为 cm． 因此长方形的面积为 = = = cm²． 故答案为：60． 3．如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据算术平方根的定义解答即可求解； （）求出大正方形的边长，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可； （）求出和的近似值，进而即可求解； 本题考查了算术平方根的应用，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴裁去的两块正方形木料的边长分别为和， 故答案为：，； （2）解：由（）可得，大正方形的边长为， ∴剩余木料（阴影部分）的面积； （3）解：∵，， ∵，， ∴最多可以裁出块这样的木条， 故答案为：． 【类型五】整数部分与小数部分 1．我们都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是因为，因此我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分，若的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法运算，解题的关键在于正确求解无理数的整数与小数部分．先求出的整数部分，即a的值，再求出的小数部分，即的值，再利用二次根式乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入，即可求解，本题考查了完全平方公式，根式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式． 【详解】， ， ，整数部分为， ， ， ， ，整数部分为， ， ， 故答案为：． 3．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是 ． (2)若a是的整数部分，b是的小数部分．求的值． (3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平方根，算术平方根以及估算无理数的大小，解题的关键是理解平方根，算术平方根的定义，确定，，，y的值． （）根据算术平方根的定义估算无理数； （）根据算术平方根的定义估算无理数和，进而确定，的值，代入求值即可； （）估算、的值，确定，的值，代入求值后，即可求出立方根即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为：， ∴的小数部分为：， 故答案为：； （2）∵，即， ∴的整数部分， 又∵， ∴的整数部分为，的小数部分， ∴； （3）∵， ∴， ∵x是的整数部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵y是的小数部分， ∴， ∴， ∴27的立方根为3， ∴的立方根为3． 【类型一】二次根式求证 1．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 2．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 3．已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 【类型二】二次根式的最值问题 1．已知代数式，下列说法不正确的是（   ） A．代数式有最大值 B．代数式有最小值 C．代数式值随a的增大而增大 D．代数式值不可能为0 【答案】D 【分析】该题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是求出a的取值范围； 根据二次根式的非负性即可求出，即可判断； 【详解】代数式， ， 即， 故当时，有最小值， 当时，有最大值， 当时，，解得， 故时，代数式值为0； a越大越大，越小，则越大， 故选：D． 2．对于任意正实数、， ， ，只有当时，等号成立． 由此我们得到结论：任意正实数、，有． 依此结论我们有 （1）的最小值 ； （2）的最小值 ． 【答案】 【分析】（1）根据，对代数式进行化简，即可求解； （2）根据，将代数式化为 【详解】（1）∵， ∴的最小值为2， 故答案为：． （2）∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，二次根式的性质化简，熟练掌握是解题的关键． 3．阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵ ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (4)如图，四边形的对角线，相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)2 (2)当时，有最小值，为8 (3)当时，有最小值，为4 (4)25 【分析】本题考查了配方法在二次根式，分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可； （3）将原式变形为，可利用公式计算的形式，计算即可； （4）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为 2 ； （2）解：∵， ， 而， 当时，即时，等号成立， ∴， ∴当时，有最小值，为8 ． （3）解：∵， ， 而， 当时，即时，等号成立， ∴， ∴当时，有最小值，为4． （4）解：设， ∵与同高，与同高， ， 由题知， ， ， ， ， ， ∴四边形面积的最小值为 25 ， 故答案为：25 ． 【类型三】估算二次根式 1．估算的值在（      ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先计算得，估算出，再进一步计算出结果即可． 【详解】解：， ， ， ， 的值在1和2之间， 故选：A． 2．若n为正整数，且满足估算，则n的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算．先计算二次根式的混合运算，再估算该运算结果的范围，从而确定n的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：20． 3．（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． (1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； (2)结合图中思路，解释该方法的合理性． 【答案】(1)6.6 (2)见解析 【分析】本题考查的是无理数的估算，新定义的含义，完全平方公式的应用，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据新定义的法则进行估算即可． （2）设，其中，再变形，结合完全平方公式可得结论． 【详解】（1）解：由新定义可得： ； （2）解：设，其中． 则． 将两边平方，得． ∵ ， ∴  的值会更接近于0，不妨近似为0． ∴  ． ∴ ， 即． 【类型四】海伦——秦九韶公式 1．海伦—秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为（    ） A． B．30 C． D．45 【答案】A 【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦秦九韶公式计算的面积即可． 【详解】解：∵、、， ∴， ∴的面积， 故选：A． 【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算以及化简二次根式． 2．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可． 先计算半周长，再代入公式求面积S，最后估算的整数部分并求小数部分． 【详解】解： 由题意，， ， 由于， 所以S的整数部分为，小数部分或． 故答案为：或． 3．综合与应用 【阅读材料】小东和小明在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小东找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积计算公式（秦九韶公式）为： ． 小明找到的资料如下： 古希腊几何学家海伦（Heron），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积计算公式（海伦公式）为：． 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为5，6，7． 若利用小明提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出和的值； ②请利用小东提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）请你试用秦九韶给出的三角形面积公式推导出海伦公式． 【答案】（1）①和的值分别为9和；②；（2）推导见解析 【分析】本题考查代数式代入求值，二次根式的运算，因式分解，掌握相关知识是解决问题即可． （1）①运用海伦公式代入数据计算即可；②运用秦九韶公式代入数据计算即可； （2）对秦九韶公式利用完全平方公式，平方差公式进行因式分解，然后将代入变形即可． 【详解】解（1）①， ； ② ； （2） ． 【类型五】二次根式的规律 1．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行                       1   第二行                   2     第三行               3       第四行          4         …… 根据数阵规律，第八行倒数第四个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数阵规律，每行被开方数为连续自然数，第n行最后一个数的被开方数为，第八行最后一个数为，倒数第四个数即第13个数，对应被开方数为，解答即可． 本题考查了规律问题，正确发现被开方数的规律是解题的关键． 【详解】解：1. 确定每行最后一个数的规律： 第1行：； 第2行：； 第3行：； 第8行：； 2. 计算第八行的被开方数范围： 第八行最后一个数为，共有16个数（每行有个数），被开方数从上一行最后一个数+1开始，即57到72． 3. 定位倒数第四个数： 倒数第一个数为第16个（），倒数第四个数为第13个．被开方数为，故该数为． 因此，第八行倒数第四个数为， 故选：D． 2．观察下列各式： ； ； ； ······． 你能发现什么规律？请用含有自然数n的式子将你发现的规律表示出来，并注明n的取值范围 ． 【答案】（且n为整数） 【分析】本题是对二次根式化简的考查，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键． 根据各式计算得到结果，得出的规律写出即可． 【详解】∵； ； ； ······． ∴（且n为整数）． 故答案为：（且n为整数）． 3．小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． (3)应用运算规律化简： 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律. （1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：特例1： 特例2： 特例3： 用含n的式子表示为：， 故答案为：； （3）解：． 【类型六】二次根式有理化 1．在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化： ；； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简___________，___________； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质以及分母有理化，是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）分子，分母同乘，再利用平方差公式和约分，化简即可； （3）分母有理化后，分母都是2，分子相加，进而即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解： ． 2．小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)2022 (3)3 【分析】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键． （1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得. 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 3．阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： (1)与___________互为有理化因式； (2)比大小：___________（直接填或中的一种）； (3)已知是正整数，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理化因式的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据有理化因式的定义，进行求解即可； （2）逆用有理化因式，进行判断即可； （3）求出的值，整体代入法，进行求解即可． 【详解】（1）解： 与互为有理化因式； 故答案为：； （2）解：∵， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：， ， ∴，， ∵， ∴， 解得． 【类型七】二次根式的新定义 1．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，分母有理化，平方差公式，并会用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值． 【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （2）解：∵与是关于26的共轭二次根式， ∴， ∴， ∴． 2．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值； (3)若分式的“巧整式”为，①求整式A； ②当时，求整式A的值的整数部分． 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②，5 【分析】（1）根据“巧分式”的定义逐个判断即可解答； （2）根据“巧分式”的定义列式计算即可； （3）①根据“巧分式”的定义列式计算即求得A；②将整体代入A，然后再确定其整数部分即可 【详解】（1）解：①是“巧整式”； ②不是“巧整式”； ③是“巧整式” 故答案是①③ （2）解：∵的“巧整式”为， ∴． ∴． （3）解：①由题意知， ∴． ②当时， ． ∵， ∴， ∴整式A的值的整数部分为5． 【点睛】本题主要考查了分式的化简、分式的混合运算等知识点．弄清楚“巧整式”的定义是解决本题的关键． 3．定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”．因为（＋）（－）＝（）2 －（）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（＋）和（－）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如＝＝3＋2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出＋的对偶式_________； (2)已知m＝，n＝，求的值； (3)利用“对偶式”相关知识解方程：－＝2，其中x≤4． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由定义直接可得答案； （2）先化简m、n，求出m+n、m-n，mn，再将所求式子变形，代入即可算得答案； （3）方程的两边同时乘以，得到，两式相加即可求解． 【详解】（1）解：＋的对偶式是， 故答案为：； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：∵①， ∴， ∴， ①+②得： 20-x=25， ∴x=-5， 经检验，x=-5是原方程的解， ∴原方程的解是x=-5． 【点睛】本题考查二次根式的及相关的运算，涉及新定义，无理方程等知识，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则． 【类型八】复合二次根式化简 1．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)当 时，最小值为 【分析】本题为新定义问题，考查了完全平方公式的变形，分式的计算，二次根式的化简等知识，难度较大． （1）把变形为即可求解； （2）把变形为即可求解； （3）把变形为即可求解； （4）把变形为，进而变形为，根据“均值不等式”结论得到，进而得到，从而得到当且仅当即时，等号成立，原式的最小值为3． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：； （3）解：； 故答案为： （4）解：条件可得， ∴ ∵， ∴ ， ∴当且仅当即时，等号成立， ∴原式的最小值为3． 2．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 3．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）新正方形花圃的边长为米；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）得到新正方形花圃面积为，根据题意计算边长即可； （3）将转化为，计算即可解答． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：；； （2）由题可知，新正方形花圃面积为（平方米）， ， 则新正方形花圃的边长为米； （3）∵， ∴， ∴， ∴． ， ∴的值为． 1．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则计算每个选项中的算式，判断其正确性． 【详解】解：选项A：，故A正确，不符合题意； 选项B：， B正确，不符合题意； 选项C：，C错误，符合题意； 选项D：，D正确，不符合题意， 故选：C． 3．（25-26九年级上·重庆铜梁·月考）估计的值应在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的混合运算，先根据二次根式的运算法则化简式子，再利用无理数的估算即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在2到3之间． 故选：B． 4．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值． 【详解】解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 故选：C． 5．（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法，利用二次根式的乘法法则，将和相乘后化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海黄浦·月考）化简： ． 【答案】 / 【分析】利用算术平方根的性质 ，判断 的符号后去绝对值即可． 本题考查二次根式的基本性质，掌握二次根式的概念进行化简是解题关键． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 7．（25-26八年级上·北京顺义·月考）已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题． 【详解】解：， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算： (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分别算出立方根，二次根式，绝对值的值，最后算加减即可． （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 9．（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）在中，令，，则． (1)化简：． (2)推广： ．（只填结果） 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，观察式子找到规律是解题的关键． （1）仔细阅读，发现规律，然后仿照规律计算即可求解； （2）根据规律写出结果，找出部分互为相反数的特点，然后计算即可． 【详解】（1）解：∵， ，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了实数的新定义以及二次根式的加减混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据若，则称x和y是关于3的平衡数，直接列式作答即可； （2）先得，根据题意结果为，可求出，再结合“3的平衡数”的定义进行分析，即可作答． （3）先得，则，再根据，可求出，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴3与是关于3的平衡数； ∵， ∴与是关于3的平衡数， 故答案为：0，； （2）解：由题意得， ∴和， 解得， ∴ ， ∴二者是关于3的平衡数； （3）解：∵与是关于3的平衡数， ∴ ， 由题意得， ， 又∵， ∴，， ∴， ∴ 解得， ∴ ， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； B、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：∵ A. 被开方数含有分母，不是最简二次根式； B. 被开方数含有分母，不是最简二次根式； C. ，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式； D. 被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 故选：D． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列运算与的结果相同的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．运用分配律和根式乘法规则计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：C． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（   ） A． B．7 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出．根据题意得出，得出正方形的面积为． 【详解】解：顶点在数轴上表示的数为1，，点所表示的数为， ， 正方形的面积为， 故选：． 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，平方根定义，根据二次根式的被开方数非负的性质，确定x的取值范围，进而求出x和y的值，然后计算的值，最后求其平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 将代入原式得：， ∴， 16的平方根为． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·四川成都·期中）设，，则 ； ． 【答案】 15 【分析】本题考查二次根式的计算：通过有理化分母化简a和b的值，然后分别计算和． 【详解】解：， ， ； ， ， ， ． 故答案为：；15． 7．（25-26八年级上·湖南永州·期中）设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，化简得出的整数部分为，小数部分为，代入计算即可求出值． 将 化简为 ，确定整数部分 和小数部分 ，再代入表达式计算 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ， 故答案为：5． 8．（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键． 根据二次根式的运算法则运算即可． 【详解】解：原式 ． 9．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 10．（24-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）根据平方差公式计算，即可得出规律； （2）根据题意给出规律，比较它们倒数的大小即可求出答案； （3）根据题意给出的规律进行化简后即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意：第8个等式， 故答案为：； （2）解：∵， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 1．（25-26八年级上·北京平谷·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的加减乘除运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·重庆·期末）估计的值应在（    ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算和估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键． 先化简表达式为，再估算的取值范围，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质． 由得，两边平方整理可得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中， 则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的运用．熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，作辅助线，是解题的关键． 过点A作于点D，则得到两个直角三角形，设，则，得，，结合，建立方程，解方程即得． 【详解】解：过点A作于点D， 则， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：C ． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的减法运算，先分别化简每个平方根，将化为，将化为，然后合并同类项． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·重庆巫山·期末）若n为正整数，且满足，则 【答案】3 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的性质，把 整理得，又因为，则，因为n为正整数，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵， ∴， 即， ∵，且n为正整数， ∴， 解得， 故答案为：3． 7．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当 时，有最小值，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算和平方的非负性，将给定分式化简为，仿照材料中的例子，利用配方法求的最小值，进而得到整个表达式的最小值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 当且仅当，即时最小值，最小值为， 则， 那么，， 故当时，原式取得最小值． 8．（25-26七年级上·山东烟台·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，零次幂，立方根，算术平方根，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算零次幂，立方根，以及运用二次根式的性质进行化简，再运算加减法，即可作答． （2）先运算平方差公式，零次幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 9．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)不能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴ ∴不能围成这两个正方形． 10．（25-26八年级上·山东济南·期末）【问题背景】 学习三角形一章之后，八（）班各学习小组打算用两个不同的等腰直角三角形设计本组的标志，小明在设计标志的过程中发现如果两个等腰直角三角形共直角顶点摆放，某些线段和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且． 【初步探究】 （）如图，当点在边上时，连接，线段与的数量关系是______，______； 【深入探究】 （）如图，当点在外时，连接，请探究线段的关系，并说明理由； 【拓展探究】 （）如图，当点在外时，若，，则______（直接写出结果） 【答案】（），；（），，理由见解析；（）或 【分析】（）证明，可得，，即得，即可求解； （）延长，交于点，可证，可得， ，即得，即得到，进而得到，即可求解； （）分点在的右侧和左侧两种情况，分别画出图形，根据全等三角形的 判定和性质、勾股定理解答即可求解． 【详解】解：（）∵和都是等腰直角三角形，且， ∴，，， 即， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，； （），，理由如下： 如图，延长，交于点， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，； （）如图，当点在的右侧时，过点作的延长线于点，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在的左侧时，过点作于点，则， 设， ∵，， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $