精品解析：河南省周口市第一高级中学等校2025-2026学年高三上学期期末数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题：，，命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的性质及一元二次方程的判别式判断命题的真假，即可得到其否定命题的真假. 【详解】对于命题，，，则为真命题，为假命题； 对于命题，由于， 则方程无实数解，则为假命题，为真命题. 故选：B 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件和向量的垂直关系求出未知量即可求得，进而得. 【详解】由，，得， 由，则，解得， 则，所以. 故选：A 3. 若双曲线：的一条渐近线与直线：平行，则（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再利用平行关系求出值即可. 【详解】双曲线：的渐近线方程为， 依题意，直线与直线：平行，则. 故选：B 4. 已知等差数列的前项和为.若，，则当取得最大值时，（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题设，结合等差数列的求和公式及性质可得，，进而得到等差数列为递减数列，且时，，时，，进而求解即可. 【详解】由，即， 由，即， 所以在等差数列中，公差，为递减数列， 且时，，时，， 则取得最大值时，. 故选：C 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将给定等式两边平方，结合同角公式转化为关于的方程求解. 【详解】由，两边平方得， 整理得，即， 由，得，所以. 故选：A 6. 某班级元旦联欢会进行抽奖游戏，游戏规则如下：每人连续投掷一枚质地均匀的骰子3次，若3次骰子朝上的点数都是3，则获得一等奖.某同学投掷3次骰子，若朝上的点数之和为9，则该同学获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先写出所有朝上的点数之和为 9 的情况，再利用条件概率公式即可得到答案. 【详解】记事件为投掷3次骰子，朝上的点数都是3，事件为投掷3次骰子，朝上的点数之和为9． 因为投掷3次骰子，朝上的点数之和为9的情况包括， 所以， 则. 故选：D. 7. 已知函数的导函数为，且，.若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，结合恒成立求出范围. 【详解】令函数，求导得，函数在上单调递增， 不等式，即，则， 依题意，不等式在上恒成立，则，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 8. 一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，则棱长为3的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正四面体的结构特征求出其外接球半径，球缺的高，再代入求出体积. 【详解】如图，记正四面体的外接球球心为，半径为，外接圆圆心为， 则平面，，， ，解得，，， 所以球缺的体积为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地理考察团队在甲、乙、丙三个区域内各选取了6条河流，并对其平均含沙量（单位：）进行测量，得到如下表格数据. 区域 平均含沙量 甲 2.5，3.2，1.8，2.8，3.0，2.2 乙 1.2，0.8，0.9，1.1，0.7，1.3 丙 1.5，2.3，0.8，1.8，2.0，1.2 下列结论正确的是（ ） A. 甲区域这6条河流平均含沙量的第40百分位数为 B. 乙区域这6条河流平均含沙量的极差为 C. 丙区域这6条河流平均含沙量的平均数为 D. 这三个区域这18条河流平均含沙量的平均数大于丙区域这6条河流平均含沙量的平均数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数的定义判断A，根据极差的定义判断B，根据平均数的定义判断C、D. 【详解】对于A：甲区域这6条河流平均含沙量从小到大排列为，，，，，， 又，所以甲区域这6条河流平均含沙量的第40百分位数为，故A错误； 对于B：乙区域这6条河流平均含沙量的极差为，故B正确； 对于C：丙区域这6条河流平均含沙量的平均数为，故C正确； 对于D：甲、乙两个区域这条河流平均含沙量的平均数为 ， 所以这三个区域这18条河流平均含沙量的平均数大于丙区域这6条河流平均含沙量的平均数，故D正确. 故选：BCD 10. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 在上单调递减 C. 若在上恒成立，则的最大值为 D. 若在上恰有2个零点，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据对称轴求出的值,得到函数的表达式,再根据正弦函数的性质对选项逐一分析即可. 【详解】已知直线是对称轴,则有. 因为,所以当时,.即. 对于选项A,对称中心坐标满足,解关于的方程:, .当时,.此时, 所以点是函数图像的一个对称中心,故A正确. 对于选项B,根据正弦函数的单调性,单调递减区间为:， 解不等式， 当时,单调递减区间为. 显然,故B错误. 对于选项C,即. 则有,，解不等式: . 当时,,因为在上恒成立，所以的最大值为，故C正确. 对于选项D,令,则， 解关于的方程: . 当时,，当时,;当时, . 因为在上恰有2个零点,所以,故D错误. 故选：AC. 11. 已知是曲线：上的动点，过点作直线：的垂线，垂足为，将点绕点逆时针旋转得到点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点的运动轨迹的方程为 C. 点到直线的距离的最小值为 D. 若点，则的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据计算；B先化简得出，再依次求出点的坐标即可求出点的运动轨迹的方程；C利用点到直线的距离公式计算，求一元二次函数的最小值即可；D利用即可求出最值. 【详解】因为，得，故A正确； 由，得， 易得，即， 将点绕点逆时针旋转得到点，则， 则点的运动轨迹的方程为，故B错误； 设点，且，则点到直线的距离为， 因为，等号成立时， 则点到直线的距离的最小值为，故C正确； 设为的焦点， 因为轴，，， 所以由抛物线的定义可得，， 则，等号成立时三点共线， 则的最小值为3，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，结合复数的意义求解. 【详解】由，得， 所以的虚部为. 故答案为： 13. 若函数在上单调递增，且是奇函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据其为奇函数变形 ，再根据其单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 则等价于． 又在上单调递增，所以，解得或． 则其解集为. 故答案为：. 14. 在中，是边上一点，且，，，则的最小值为______ 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理将边表示成关于角的形式，再利用倍角公式、两角和的余弦公式、诱导公式将表达式化简得出，再根据角的范围利用换元法和二次函数性质求出其最小值即可. 【详解】依题意，记，则，又，如下图 根据三角形内角和可得，所以， 由可得， 记，由正弦定理可得； 由可得，因此， 所以， 代入可得; 又因为 ; 所以; ; 因，所以，令 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4. 即的最小值为4. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列满足. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）降次作差得，再验证即可； （2）变形得，再裂项求和即可得到答案. 【小问1详解】 当时，． 当时，由， 可得， 则，得． 因为满足上式，所以． 【小问2详解】 由（1）可得，， 则. 16. 已知集合，从集合中任取一个非空子集，随机变量表示中最小元素的数值. （1）用列举法表示； （2）求的分布列与期望. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）根据8的约数即可得到答案； （2）首先求出的非空子集共有个，再根据组合公式即可得到所对应的概率值，最后利用期望公式即可得到答案. 【小问1详解】 由，可得，. 【小问2详解】 由（1）可知，的非空子集共有个， 其中最小元素的数值为0的子集有个， 则， 最小元素的数值为1的子集有个， 则， 最小元素的数值为3的子集有个， 则， 最小元素的数值为7的子集有个， 则， 故的分布列为 0 1 3 7 则. 17. 如图.在三棱柱中，是AC的中点，. （1）证明：平面. （2）已知点到平面的距离为1. ①求三棱柱的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：设，连接DE，则DE是的中位线， 所以. 因为平面平面， 所以平面 （2）①；②. 【解析】 【分析】(1)通过中位线证明线线平行，进而证得线面平行； (2)建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解参数，再分别计算三棱柱体积和两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接.因为为AC的中点，所以. 因为平面， 所以平面 设，则． 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 由(1)知. 设平面的法向量为，因为， 所以，令，得 所以点到平面的距离，解得. ①三棱柱的体积． ②已知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是的右焦点，是直线上的动点，且外接圆面积的最小值为. （1）求的方程. （2）过点，且不与轴重合的直线与交于，两点. （ⅰ）若的斜率为1，且的面积为，求点的坐标. （ⅱ）设直线与交于点，试判断是否在一条定直线上.若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）或；（ii）在一条定直线上，定直线方程为. 【解析】 【分析】（1）根据外接圆面积的最小值即可得到，解出，再根据关系即可得到椭圆方程； （2）（i）设的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，再利用弦长公式得的值，再根据点到直线距离得到三角形的高，从而得到关于的方程，解出即可； （ii）分别写出直线的方程，相除后，再根据韦达定理中和积关系代入计算即可. 【小问1详解】 因为，所以，则直线与没有公共点． 由题可知外接圆的圆心在轴上，且当的外接圆与直线相切时， 外接圆的半径最小． 因为外接圆面积的最小值为，所以，得， 则， 则的方程为． 【小问2详解】 （i）设的方程为． 由得，， 则． 因为的斜率为1，所以. 设，则点到的距离． 因为的面积为，所以， 解得或，则点的坐标为或． （ii）在一条定直线上，且该直线的方程为． 由题可知，则，， 则直线的方程为，直线的方程为， 两式相除得． 若的斜率存在，则由， 可得，则， 则， 即，解得. 若的斜率不存在，令，则，解得， 则设，而， ，， 则直线与的方程分别为和， 联立，解得，则两直线交点， 故在一条定直线上，且该直线的方程为． 19. 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程. （2）设在上有且仅有一个极值点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：在上单调递增. 【答案】（1） （2）（ⅰ），（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入并求导，求出切线斜率即可求得切线方程； （2）（ⅰ）将极值点个数转化成方程在仅有一个实数根的问题，构造函数并求导可知在上单调递减，再根据可得满足题意； （ⅱ）根据（ⅰ）中分析可知，只需证明即可，经分析可知满足题意. 【小问1详解】 当时，即切点为, 又， 则点处的切线方程为, 整理可得. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得 又在上有且仅有一个极值点,即在上有且仅有一个变号零点， 即方程在仅有一个实数根， 令， 则； 令，， 则，显然在上单调递减， 且，因此存在唯一使得，即； 所以时，，当时，； 因此在上单调递增，在上单调递减， 可得在处取得极大值，也是最大值； 根据对勾函数性质可知在上的值域为，因此； 所以在上恒成立，因此在上也恒成立， 即可得在上单调递减，由可得满足题意； 因此的取值范围为. （ⅱ）若要证明在上单调递增，则只需证明在上恒成立； 即证明在上恒成立； 由（ⅰ）中分析可知当时，则， 因此在上单调递增，所以，即 所以函数在上单调递减， 所以只需满足即可，又因为，即得出证明， 所以在上单调递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题：，，命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 3. 若双曲线：的一条渐近线与直线：平行，则（ ） A. 6 B. C. 3 D. 4. 已知等差数列的前项和为.若，，则当取得最大值时，（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 某班级元旦联欢会进行抽奖游戏，游戏规则如下：每人连续投掷一枚质地均匀的骰子3次，若3次骰子朝上的点数都是3，则获得一等奖.某同学投掷3次骰子，若朝上的点数之和为9，则该同学获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的导函数为，且，.若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，则棱长为3的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地理考察团队在甲、乙、丙三个区域内各选取了6条河流，并对其平均含沙量（单位：）进行测量，得到如下表格数据. 区域 平均含沙量 甲 2.5，3.2，1.8，2.8，3.0，2.2 乙 1.2，0.8，0.9，1.1，0.7，1.3 丙 1.5，2.3，0.8，1.8，2.0，1.2 下列结论正确的是（ ） A. 甲区域这6条河流平均含沙量的第40百分位数为 B. 乙区域这6条河流平均含沙量的极差为 C. 丙区域这6条河流平均含沙量的平均数为 D. 这三个区域这18条河流平均含沙量的平均数大于丙区域这6条河流平均含沙量的平均数 10. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 在上单调递减 C. 若在上恒成立，则的最大值为 D. 若在上恰有2个零点，则的取值范围为 11. 已知是曲线：上的动点，过点作直线：的垂线，垂足为，将点绕点逆时针旋转得到点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点的运动轨迹的方程为 C. 点到直线的距离的最小值为 D. 若点，则的最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则的虚部为______. 13. 若函数在上单调递增，且是奇函数，则不等式的解集为______. 14. 在中，是边上一点，且，，，则的最小值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列满足. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知集合，从集合中任取一个非空子集，随机变量表示中最小元素的数值. （1）用列举法表示； （2）求的分布列与期望. 17. 如图.在三棱柱中，是AC的中点，. （1）证明：平面. （2）已知点到平面的距离为1. ①求三棱柱的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是的右焦点，是直线上的动点，且外接圆面积的最小值为. （1）求的方程. （2）过点，且不与轴重合的直线与交于，两点. （ⅰ）若的斜率为1，且的面积为，求点的坐标. （ⅱ）设直线与交于点，试判断是否在一条定直线上.若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 19. 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程. （2）设在上有且仅有一个极值点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：在上单调递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $