精品解析：河北黄骅中学等校2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出即可求出. 【详解】由题意，，， ∴， ∴ 故选：A. 2. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A. 110 B. 116 C. 119 D. 122 【答案】B 【解析】 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题知 当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116. 故选：B. 3. 下列四个函数中，与表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项A不符合； 对于B，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项B不符合； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数.故选项C不符合； 对于D，函数的定义域和对应关系与都相同，是同一个函数.故选项D符合. 故选：D. 4. 若，则的化简结果是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式的运算法则直接化简即可. 【详解】，，. 故选：C. 5. 已知扇形的周长为16cm，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出． 【详解】设此扇形半径为，扇形弧长为 则，， ∴扇形的面积为 故选：A. 6. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果. 【详解】若，则等价于， 因为，在上单调递减， 所以由得； 若，则等价于， 由题知在上单调递增， 所以由得； .综上，的解集为. 故选：A. 7. 已知、、，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法可判断ABC选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若且，则，可得，A错； 对于B选项，因为，则，，， 则，即，B对； 对于C选项，因为，则， 则，即，C错； 对于D选项，因为，当时，，D错. 故选：B. 8. 已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据恒成立求出，从而得到，设， 画出在上的图象，根据题意求出的范围，由对称性即可求出答案. 【详解】时，， 即，解得， 由题意得，解得， 故，则， 当，设， 画出在上的图象，如下： 由图象可知，时，满足题意， 此时，， 即，， 故，， 两式相加得， 故. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. “”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题：，均有，则的否定：，使得 C. 设是两个数集，则“”是“”的充要条件 D. 设是两个数集，若，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】举反例可判断A选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项. 【详解】解：对于A，当时，能推出， 而由 不能推出 ，如，而， 所以 “”是“”成立的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题：，均有，则命题的否定：，使得，故B不正确； 对于C，是两个数集，则由能推出，反之，由 能推出 ， 所以 “”是“”的充要条件，故C正确； 对于D，是两个数集，若，即集合A、B存在相同的元素，则，，故D正确， 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数最小值为6 D. 函数的单调增区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由指数函数的性质分析A，由函数的定义域分析B，由复合函数的值域分析C，由复合函数的单调性分析D，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： A．函数，当，即时，，则函数的图象恒过定点，A错误，不符合题意； B．已知函数的定义域为， 对于函数，则有，解可得，即函数的定义域为，B正确，符合题意； C．设，则， 又由，结合对勾函数的性质可得在区间上递增， 则，C错误，不符合题意； D．函数，有，解可得，即函数的定义域为，； 设，则， 在区间上，为增函数，在区间上，为减函数， 由于为定义域为的减函数，故有， 故函数的单调增区间为，正确，符合题意； 故选：BD． 11. 已知函数（为自然对数底数），则（ ） A. 为奇函数 B. 方程的实数解为 C. 的图象关于轴对称 D. ，，且，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，上的增函数即可解决. 【详解】对于A，由题知，其定义域为，因为，所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，由，得，解得，故B正确； 对于C，因为是奇函数，所以图象关于原点对称，故C错误； 对于D，， 因为函数为上的增函数， 所以为上的增函数， 所以，，且，都有，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是方程的两根，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得，，再运用余弦、正弦和和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案. 【详解】解：由已知得，， . 故答案为：. 13. 若，则最小值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】，利用基本不等式可得最值． 【详解】∵， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴时取得最小值3. 故答案为：3． 14. 函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或 令，解得或 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根，，，， 即与有四个不同的交点， 交点横坐标依次为，，，， 则， 对于，，则， 可得，所以； 对于，，则，，，可得 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 得， 所以的取值范围是 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知方程的根，函数有零点，函数图象的交点求参数取值范围常用的方法和思路，（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知命题，不等式恒成立；命题，使得成立. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若为真命题，求的取值范围； （3）若命题、有且只有一个是真命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据不等式恒成立可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据题意可得出当时，由参变量分离法可得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围； （3）分真假、假真两种情况讨论，分别求出实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 对于命题，不等式恒成立，则， 即，解得， 所以，若为真命题，则实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最小值为， 若命题为真命题，则，使得成立， 可得，可得，所以，， 所以，若为真命题，则实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为命题、有且只有一个是真命题，分以下两种情况讨论： 若真假，则，可得； 若假真，则，可得. 综上所述，若命题、有且只有一个是真命题， 实数的取值范围是或. 16. 某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； （2）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 【答案】（1） （2）0.6元/kw•h 【解析】 【分析】（1）先根据题意设下调后的电价为x元/kw•h，依题意知用电量增至，得出电力部门的收益即可； （2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【小问1详解】 设下调后的电价为x元/kw•h， 依题意知用电量增至，电力部门的收益为 【小问2详解】 依题意有， 整理得， 解此不等式得， 答：当电价最低定为0.6元/kw•h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【点睛】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力． 17. 已知是定义在R上的奇函数． （1）求的值； （2）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可. （2）探讨函数的单调性，结合函数在区间上的值域，构造方程有两个不相等的正实根，再利用一元二次方程实根分布求出范围. 【小问1详解】 因为是定义在R上的奇函数，有，得， 则，因为函数定义域为R， ， 所以是奇函数，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 令， 因为在R上递增，所以在R上递减， 所以在R上递增， 因为函数在上的值域为， 所以， 所以， 因为，所以关于方程有两个不相等的正实根， 所以， 解得，即的取值范围为 18. 如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上. （1）设，求三角形木块面积； （2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值. 【答案】（1）；（2）,的面积最大值为 【解析】 【分析】（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解出； （2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值. 【详解】解：（1）过点作交于点，设交于点， 所以 ， 所以； （2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性， 所以可只分析时的情况， ， ， 所以 ， 令，， 故， ， ， ， ， ， 函数在单调递增， 所以当时，的面积最大，最大值为. 【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中与的联系等等，考查了学生综合应用能力. 19. 数学家发现：，其中．利用该公式可以得到：当时， （1）证明：当时，； （2）设，当的定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”．当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在；有唯一的“和谐区间” 【解析】 【分析】（1）根据题目中给的公式即可证明. （2）通过对 的取值进行分情况讨论，结合 的单调性以及（1）的结论，即可求得唯一的和谐区间. 【小问1详解】 由题意，得，所以， 所以当时，． 【小问2详解】 当时，有， ①若，则由，知，矛盾，故不存在“和谐区间”； ②同理时，也不存在， 下面讨论， ③若，则，故最小值为，于是， 所以， 所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意． ④若，当时，同理可得，舍去， 当时，在上单调递减， 所以，于是， 若，即，则， 故， 与矛盾； 若，同理，矛盾， 所以，即， 由（1）知当时，， 因为，所以，从而，，从而，矛盾， 综上所述，有唯一的“和谐区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A. 110 B. 116 C. 119 D. 122 3. 下列四个函数中，与表示同一个函数是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的化简结果是（   ） A. B. C. D. 5. 已知扇形的周长为16cm，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知、、，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，使得，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. “”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题：，均有，则的否定：，使得 C. 设是两个数集，则“”是“”的充要条件 D. 设两个数集，若，则， 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 已知函数定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的最小值为6 D. 函数的单调增区间为 11. 已知函数（为自然对数底数），则（ ） A. 为奇函数 B. 方程的实数解为 C. 的图象关于轴对称 D. ，，且，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是方程的两根，则_________. 13. 若，则的最小值是_____． 14. 函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知命题，不等式恒成立；命题，使得成立. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若为真命题，求的取值范围； （3）若命题、有且只有一个是真命题，求的取值范围. 16. 某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． （1）写出本年度电价下调后，电力部门收益y与实际电价x的函数关系式； （2）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 17. 已知是定义在R上的奇函数． （1）求的值； （2）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围． 18. 如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上. （1）设，求三角形木块面积； （2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值. 19. 数学家发现：，其中．利用该公式可以得到：当时， （1）证明：当时，； （2）设，当的定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”．当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $