第8章 整式乘法（提高卷）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册章节复习自测卷

2025-2026学年苏科版数学七年级下册数学单元自测 第八章 整式乘法•能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．4或 D．4 2．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知式子的结果中不含项，则a的值为（   ） A．0 B． C． D．2 3．（25-26八年级下·全国·周测）王老师让同学们从两个盒子中各抽取一张卡片，李华抽到的两张卡片上分别是，，要使这两个整式相等，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．知，则的值为（   ） A．3 B．9 C．49 D．100 5．已知，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知，，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 8．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 9．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知实数均满足，则代数式的最小值为（    ） A．2023 B．2024 C．2026 D．2028 10．（24-25七年级下·重庆·期中）已知整式，其中，，，，都是正整数、且满足和，下列说法： ①由题可知的最大值为8； ②若，则满足条件的整式A共有5个； ③存在，，，，使得A可以写成的形式，其中p，q均为有理数． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·北京·期中）已知，则 ． 12．（25-26八年级上·天津北辰·月考）若，则 ． 13．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号） 14．4个数，，，排列成，规定它的运算法则为： ．若 ，则 ． 15．（2024八年级下·广东江门·竞赛）设．若，则的值是 ． 16．（2024八年级下·广东江门·竞赛）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如：记；．已知：，则的值是 ． 17．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ． 18．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，现有边长分别为a、b的正方形卡片（）各10张，长为a、宽为b的长方形卡片15张，从这三种卡片中分别取若干张直接拼成一个正方形，当拼成的正方形面积最大时，正方形边长为 ． 三、解答题（共8小题，共64分） 19．（本题6分）（23-24七年级下·江西九江·期中）利用公式计算： (1) (2) 20．（本题6分）（24-25七年级下·陕西西安·月考）某中学为了帮助在校师生妥善安放篮球，在一块长为米、宽为米的小篮球场的边缘修建长方形的篮筐和一个正方形的安全督察岗，其余面积（阴影面积）进行塑胶场地的修复． (1)请用m、n表示阴影面积．（结果化为最简） (2)如果修复费用为200元/平方米，已知米，米，那么修复完毕的塑胶场地需要费用多少元？ 21．（本题8分）（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形总面积（用含的代数式表示出来）． (2)如果图中的满足，，求的值． (3)已知，求的值． 22．（本题8分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图①，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①； ②； ③． (2)如图②，长、宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． (3)将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为，时，求图中阴影部分的面积． 23．（本题8分）（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）； 方法1______；方法2______． (2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请你将该示意图画在答题卡上； (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 24．（本题8分）（25-26八年级上·北京海淀·期中）阅读与思考 请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式： 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为_____①______，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是______②_____． (1)任务一：补全上面小丽的解答过程：_______①_______：________②__________ (2)任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关． ①请直接写出：652=___________； ②请用代数式表示小丽发现的这一规律：___________ (3)任务三：类比小丽的探索思路，观察：，，，．．．的计算结果，请用代数式表示你发现的规律：___________ 25．（本题10分）（25-26八年级上·四川达州·开学考试）【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 26．（本题10分）（25-26八年级上·山东日照·月考）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．        1 1  1            1  2  1          1  3  3  1      1  4  6  4  1    1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版数学七年级下册数学单元自测 第八章 整式乘法•能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．4或 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查完全平方式，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义得到，进而计算即可． 【完整解答】解：∵是一个完全平方式， ∴， 整理得， 即 解得：或． 故选：C． 2．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知式子的结果中不含项，则a的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【思路引导】本题考查多项式乘多项式的运算，掌握知识点是解题的关键． 先将式子展开，再根据结果中不含项，令项的系数为零求解即可． 【完整解答】∵ ， ∵式子的结果中不含项， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级下·全国·周测）王老师让同学们从两个盒子中各抽取一张卡片，李华抽到的两张卡片上分别是，，要使这两个整式相等，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【思路引导】本题考查了多项式相等的条件，完全平方公式，掌握多项式相等时对应项系数相等是解题的关键． 根据多项式相等的条件，对应项系数相等，列出方程求解． 【完整解答】解：∵ , ∴ , , 解得 , , ∴ 故选：B． 4．已知，则的值为（   ） A．3 B．9 C．49 D．100 【答案】B 【思路引导】本题考查了完全平方公式变形求值． 利用完全平方公式求的值，再根据选项判断． 【完整解答】解：∵，， ∴． 故选：B． 5．已知，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式的运用，掌握完全平方公式是解题的关键． 直接利用完全平方公式求解即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用，根据平方差公式计算各选项中的式子即可得到答案． 【完整解答】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 7．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知，，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查代数式的化简求值．本题可先根据已知条件求出的值，再将代数式进行变形，最后代入求值． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴原式； 故选：A． 8．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小． 【完整解答】解：∵，， ∴ ， 因为，即， 所以 故选：C． 9．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知实数均满足，则代数式的最小值为（    ） A．2023 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【思路引导】本题考查求代数式的最小值，利用完全平方公式进行变形是关键；由条件 得 ，代入代数式化简为关于 的代数式，进而求最小值 【完整解答】解：∵ ， ∴ . 令 ，则 ； ∴ 在 时最小值为 时的对应值， ∴ 当 时，最小值为 ， 故选B 10．（24-25七年级下·重庆·期中）已知整式，其中，，，，都是正整数、且满足和，下列说法： ①由题可知的最大值为8； ②若，则满足条件的整式A共有5个； ③存在，，，，使得A可以写成的形式，其中p，q均为有理数． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【思路引导】本题考查整式的混合运算，先根据两式求出，然后得到，即可得到的最大值判断①；去绝对值得到，即可得到，正整数解的个数判断②；根据和的值得到关于p，q的等式判断③解答即可． 【完整解答】解：两式相减得，即， 又∵，，，，都是正整数， ∴， 代入第一个等式得， 又∵，都是正整数， ∴，故①错误， ∵， ∴，即， 解得，，，，，， ∴，共有6对不同的正整数解，故②错误； 当时，，即， 当时，，即， ∴p，q不能同时为有理数，故③错误； 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·北京·期中）已知，则 ． 【答案】2026 【思路引导】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【完整解答】解：由，得． 则． 所以． 故答案为：2026 12．（25-26八年级上·天津北辰·月考）若，则 ． 【答案】16 【思路引导】本题考查完全平方公式的应用，掌握知识点是解题的关键． 将已知等式左边用完全平方公式展开，得到关于的表达式，再通过代数运算求解即可． 【完整解答】解：， ， ， ∴． 故答案为：16． 13．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号） 【答案】①② 【思路引导】本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【完整解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：（，不可以验证平方差公式． 故答案为：①②． 14.4个数，，，排列成，规定它的运算法则为： ．若 ，则 ． 【答案】 【思路引导】根据题目给定的新运算法则，将所给行列式转化为方程，然后通过展开、化简方程求解的值．本题主要考查了新定义运算以及完全平方公式的应用，熟练掌握新定义的运算法则是解题的关键． 【完整解答】解：利用题中新定义得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 15．（2024八年级下·广东江门·竞赛）设．若，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】先将、用含的式子表示出来（或者将、、都用表示，然后建立、与. 的关系），再根据列出关于的方程，进而求解的值．本题主要考查了完全平方公式的应用以及整体代换思想，熟练掌握完全平方公式，并能根据已知条件进行合理的代换是解题的关键． 【完整解答】解：设，，，则，． ∵ ∴ 故答案为：． 16．（2024八年级下·广东江门·竞赛）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如：记；．已知：，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】依据多项式乘法法则，将展开，再按照求和符号的定义进行求和运算，最后通过对比等式两边的式子来确定的值．本题主要考查了多项式乘法、求和符号的运用以及代数式恒等式的应用．熟练掌握多项式乘法法则、准确理解求和符号的含义，以及通过对比等式两边对应项系数来求解未知数，是解题的关键． 【完整解答】解：当时， ∵， ∴对比可得． 故答案为：． 17．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ． 【答案】16 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用以及通过图形面积关系求解差值，解题的关键是明确与两个正方形面积的关系，再结合已知条件计算． 根据图形可知为边长为m的正方形面积减去重叠部分面积，为边长为n的正方形面积减去重叠部分面积，故等于两个正方形面积之差；利用平方差公式结合已知和计算差值． 【完整解答】解：由图形可知，，． 则． 根据平方差公式 已知 所以． 故答案为：． 18．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，现有边长分别为a、b的正方形卡片（）各10张，长为a、宽为b的长方形卡片15张，从这三种卡片中分别取若干张直接拼成一个正方形，当拼成的正方形面积最大时，正方形边长为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查完全平方公式的应用，设拼成的正方形的边长为，则拼成的正方形的面积为：，结合，，，求出m和n的取值，即可求解． 【完整解答】解：边长为a的正方形卡片面积为，边长为b的正方形卡片面积为，长为a、宽为b的长方形卡片面积为， 设拼成的正方形的边长为， 则拼成的正方形的面积为：， 需要个边长为a的正方形卡片，个边长为b的正方形卡片，个长为a、宽为b的长方形卡片， 边长分别为a、b的正方形卡片（）各10张，长为a、宽为b的长方形卡片15张， ，，， m可能取的值为1，2，3，n可能取的值为1，2，3， 当时，，不合题意； ， 为了让拼成的正方形的面积最大，取，，此时，符合题意； 当拼成的正方形面积最大时，正方形边长为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共64分） 19．（本题6分）（23-24七年级下·江西九江·期中）利用公式计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 20．（本题6分）（24-25七年级下·陕西西安·月考）某中学为了帮助在校师生妥善安放篮球，在一块长为米、宽为米的小篮球场的边缘修建长方形的篮筐和一个正方形的安全督察岗，其余面积（阴影面积）进行塑胶场地的修复． (1)请用m、n表示阴影面积．（结果化为最简） (2)如果修复费用为200元/平方米，已知米，米，那么修复完毕的塑胶场地需要费用多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)修复完毕的塑胶场地需要费用66000元 【思路引导】本题考查多项式乘多项式的实际应用，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）利用大长方形的面积减去2块空白部分的面积即可； （2）将已知数值代入（1）中所得代数式中计算，然后再与200相乘即可． 【完整解答】（1）解： （平方米）， 即阴影面积为平方米； （2）解：当，时， ， 则（元）， 答：修复完毕的塑胶场地需要费用66000元． 21．（本题8分）（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形总面积（用含的代数式表示出来）． (2)如果图中的满足，，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】本题考查了完全平方公式的几何背景，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． （1）依据正方形的面积公式以及大正方形的各个组成部分，即可得到该图形的总面积； （2）由（1）可得，即可得出的值； （3）设，，则，，再根据，即可得到的值． 【完整解答】（1）解：方法1，图中大正方形的边长为，所以面积为； 方法2，拼成大正方形的四个部分的面积和为． （2）解：由（1）得， ，， ． （3）解：设，， 则，， 由，得， ， 即的值为28． 22．（本题8分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图①，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①； ②； ③． (2)如图②，长、宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． (3)将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)① (2) (3)16 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，熟练掌握完全平方公式的变形及“以形助数”的思想是解题的关键． （1）观察图①的面积关系，匹配对应的代数公式； （2）先根据长方形的周长和面积求出与的值，再代入计算； （3）设正方形边长，利用面积和与边长差，结合完全平方公式求出阴影部分面积． 【完整解答】（1）解：∵图①中，大正方形面积=小正方形面积+4个矩形面积， ∴对应公式①， 故答案为：①； （2）解：∵长方形周长为16， ∴， ∴， ∵长方形面积为6， ∴， ∴； （3）解：设正方形与正方形的边长分别为， ∵两个正方形的面积之和为，， ∴． ∴． ∴ ∴， ∴（负值舍去） ∴阴影部分的面积为 ． 23．（本题8分）（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）； 方法1______；方法2______． (2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请你将该示意图画在答题卡上； (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 (4)①；②16 【思路引导】本题考查完全平方公式的运用，利用数形结合的思想和熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积计算，两个小正方形和两个小矩形的面积计算即可； （2）由大正方形的面积=两个小正方形+两个小矩形的面积即得出答案； （3）由等式可得出该图形为长为，宽为的大正方形，即由2个边长为b，1个边长为a的正方形，3个长为b，宽为a的长方形组成，据此画出图形即可； （4）①由题意可求出，即，再将代入求解即可； ②将原等式改为，再将看作整体，由完全平方公式去括号计算即可． 【完整解答】（1）解：方法1：由大正方形的面积计算：， 方法2：由两个小正方形和两个小矩形的面积计算：； （2）解：由图2可直接得出； （3）解：如图； ； （4）解：①∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴； ②， ， ， ， ∴． 24．（本题8分）（25-26八年级上·北京海淀·期中）阅读与思考 请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式： 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为_____①______，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是______②_____． (1)任务一：补全上面小丽的解答过程：_______①_______：________②__________ (2)任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关． ①请直接写出：652=___________； ②请用代数式表示小丽发现的这一规律：___________ (3)任务三：类比小丽的探索思路，观察：，，，．．．的计算结果，请用代数式表示你发现的规律：___________ 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【思路引导】本题主要考查了多项式乘以多项式和完全平方公式的应用，准确计算是解题的关键． （1）根据完全平方公式展开即可得解； （2）根据第一问的过程，，计算即可得解；观察所给式子，得出规律即可； （3）根据观察每一组中得两个数，第一个数末尾是，第二个数末尾是，设十位上的数字为，根据已知数字课表时为，展开即可得解； 【完整解答】（1），末尾的两个数是． 故答案是：；． （2）由（1）可得：； 故答案是：． ； 故答案是：． （3）根据观察可得： ， ， ， 当十位上的数字为 时， ； 故答案是：． 25．（本题10分）（25-26八年级上·四川达州·开学考试）【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【思路引导】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【完整解答】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 26．（本题10分）（25-26八年级上·山东日照·月考）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．        1 1  1            1  2  1          1  3  3  1      1  4  6  4  1    1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 【答案】(1)64， (2)①，②1 【思路引导】本题考查了数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）由已知式子列出的展开式，再计算出各项系数和即可；根据规律发现可知，（n取正整数）的展开式的各项系数之和为； （2）①根据前面发现的规律，将所求式子变形，即可运用发现的规律解答本题即可； ②利用的展开式，将式子转化为，计算得1． 【完整解答】（1）解：， ∴各项系数和为：， ∵的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， ……， ∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和为， 故答案为：64，． （2）解：① ； ②观察式子， 将原式与进行比较，可发现当，时，两者形式完全相同， ∴原式． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $