精品解析：河南安阳市滑县2025-2026学年第一学期期末学业质量监测八年级数学试题

2025－2026学年第一学期期末学业质量监测 八年级数学 本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. “九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、“九”写成篆体后，整体形状不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B、“达”写成篆体后，左右两侧形状不一致，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项C、“天”写成篆体后，能找到一条直线，使该字沿中间竖直方向对折后两部分完全重合，是轴对称图形； 选项D、“衢”写成篆体后，左右结构不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 故选：C． 2. 据新华社2025年6月报道，我国自主研发的量子计算机“九章三号”实现了皮秒级的量子门操作，一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．皮秒用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，关键是熟练进行单位换算；根据皮秒的定义，将皮秒转换为秒，并用科学记数法表示即可. 【详解】解：∵ 皮秒秒， ∴ 皮秒秒. 故选：A． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘法分别进行各选项的判断即可． 本题考查整式的运算，涉及同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘法法则． 【详解】A.根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，即，计算正确． B.根据积的乘方法则，，且负号的平方为正，故．选项B中结果为，符号和指数均错误，计算错误． C.合并同类项时，系数相减，即，选项C中结果为常数2，未保留项，计算错误． D.根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即，选项D中指数错误，计算错误． 故选：A． 4. 如果把分式中的同时扩大为原来的6倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的6倍 B. 缩小到原来的6倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键； 将x和y同时扩大6倍后代入分式，化简后与原分式比较即可解答． 【详解】解：∵原分式为， 将和分别替换为和， ∴新分式为， 而原分式为， ∴新分式是原分式的6倍， 故分式的值扩大到原来的6倍． 故选：A． 5. 考古队员在清理遗址时，发现一块带有破损角的石碑．为了复原这个角的平分线，他们在角的两边上量出，再用带有刻度的工具，使工具两边相同的刻度分别对准两点（即，然后过工具顶点画出射线，这条射线就是的平分线．这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据全等三角形的判定定理推出全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线． 故选：C． 6. 如图，在中，，点是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据折叠得出，，，求出，根据等边对等角，得出，根据三角形内角和定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 8. 如图，，点E在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 9. 小航是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别表示我、爱、中、华、河、山．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（ ） A 我爱中华 B. 中华河山 C. 我爱河山 D. 河山中华 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先提取公因式，然后分别分解和 为最简因式，得到四个因子，对应密码手册中的词，匹配选项A的顺序． 【详解】解：∵ ， 对应密码：表示我，表示华，表示中，表示爱 因乘法交换律，顺序可调整为“我、爱、中、华”，即“我爱中华”． 故选：A． 10. 如图，在中，，，，直线是的垂直平分线，若点是的中点，点为直线上一个动点，连接、，则的周长的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，求得，再利用三角形的面积公式求得，然后根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，最后根据两点之间线段最短可得当点A、E、D共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，点D为边的中点， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∴的周长为， 当点A、E、D共线时，的值最小，最小值为的长， ∴周长的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题．熟练掌握等腰三角形性质，线段垂直平分线的性质，面积法求三角形的高，三角形周长公式，两点之间线段最短，是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若等腰三角形的周长为16，则它的腰长可以是_____．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟知等腰三角形的定义及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的定义及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 12. 化简____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形重心的定义，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键． 依题意得点O是的重心，则，，，根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，，由，得，进而得，再由，得，由此得，据此即可得出的面积． 【详解】解：依题意得：点O是的重心， ∴，，均为的中线， ∴，，， 根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，， ∵，， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 14. 阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） = = ． （2） = = ． 试用上述方法因式分解_______. 【答案】(a＋b)(a＋b＋c) 【解析】 【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】原式＝(a2＋2ab＋b2)＋(ac＋bc) ＝(a＋b)2＋c(a＋b) ＝(a＋b)(a＋b＋c)． 故答案为：(a＋b)(a＋b＋c) 15. 如图，在中，，．若为射线上的动点，连接，将沿翻折后得到，连接．若为等边三角形或等腰直角三角形，则的度数为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形折叠中角度的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．分为等腰直角三角形和为等边三角形，再分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行讨论即可． 【详解】当为等腰直角三角形时， ①当点在线段上时：如图，则， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图， 则：， ∵翻折， ∴， ∴； 当为等边三角形时，此时点在线段的延长线上，如图， 则， ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）先化简，再求值：，其中； （2）解方程：． 【答案】（1）；1；（2） 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值和解分式方程，解题的关键是掌握分式基本性质和把分式方程化为整式方程的方法． （1）先通分算括号内的，把除法化为乘法，化简后将a的值代入计算即可； （2）先去分母化为整式方程，解出整式方程的解后再检验，即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：， 去分母，得， 解得， 检验：当时，， 原方程的解为． 17. 如图，已知，且点，，，在同一条直线上． （1）连接．若，，求的度数； （2）若，求长度的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． （1）由互补的定义得，由三角形内角和定理得到，再根据全等三角形的性质得； （2）由全等三角形的性质推出，由三角形三边关系定理得到． 【小问1详解】 解：点在同一条直线上，与互为补角， ， 在中，得， 由，得； 【小问2详解】 解：， ． ， ， ． 18. 为打造宜居城市，社区计划在一块长为米、宽为米的空地上建设主题公园，规划在角落预留两块边长为米的小正方形区域作为便民服务点，其余阴影部分用于绿化种植． （1）用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （2）若，求出绿化的总面积． 【答案】（1） （2）9900平方米 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，代数式求值等知识，正确进行计算是解题关键． （1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去两个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把，代入（1）中算出的式子即可得出答案． 【小问1详解】 解：绿化的总面积 ； 【小问2详解】 解：当时， （平方米）． 即绿化的总面积为9900平方米． 19. 如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2）的度数为 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，进而即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线定义可得，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得到的度数． 【小问1详解】 证明：平分交于点， ， ， ， ， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的中点，且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 20. 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． (1)用十字相乘法分解因式； (2)用十字相乘法分解因式． 【小问1详解】 解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， 【小问2详解】 解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， ． 21. 如图，为的中线，为的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）作出的边上的高； （3）在（1）和（2）的条件下，若的面积为，直接写出EM的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形外角的定义和性质得出，再由角平分线的定义即可求出． （2）过点E作交延长线与点M． （3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．由三角形面积公式求出，由含30度直角三角形的性质得出，由角平分线的性质定理得出，最后根据即可求出的值． 【小问1详解】 解：， ． 为的角平分线， ． 【小问2详解】 解：如图，即为所求作． 【小问3详解】 解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 则， 由（1）得， 为的中线， ， ， ， ∵，， ， 是的角平分线，，， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，角平分线有关的计算，三角形中线的性质，三角形外角的定义，作三角形高等知识，掌握这些知识是解题的关键． 22. 某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． （1）求型、型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】（1）型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 （2）方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． 【小问2详解】 设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 23. 【问题提出】（1）如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为______． （3）如图4，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则最小值是______． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②；（3）有最小值，最小值； 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明，即可证明； （2）①过点E作，交于点G，先证明是等边三角形，再证明，得出，即可得出结论； ②过作，交的延长线于点，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，证明，得出，即可得出； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：过点E作，交于点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：；理由如下： 是等边三角形， ， 如图3，过作，交的延长线于点， ， ，， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 即； （3）解：有最小值，最小值为； 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末学业质量监测 八年级数学 本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. “九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据新华社2025年6月报道，我国自主研发的量子计算机“九章三号”实现了皮秒级的量子门操作，一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．皮秒用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. 3 D. 4. 如果把分式中的同时扩大为原来的6倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的6倍 B. 缩小到原来的6倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 5. 考古队员在清理遗址时，发现一块带有破损角的石碑．为了复原这个角的平分线，他们在角的两边上量出，再用带有刻度的工具，使工具两边相同的刻度分别对准两点（即，然后过工具顶点画出射线，这条射线就是的平分线．这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点是边上点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C D. 8. 如图，，点E在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 小航是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别表示我、爱、中、华、河、山．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱中华 B. 中华河山 C. 我爱河山 D. 河山中华 10. 如图，在中，，，，直线是的垂直平分线，若点是的中点，点为直线上一个动点，连接、，则的周长的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若等腰三角形的周长为16，则它的腰长可以是_____．（写出一个即可） 12. 化简____________． 13. 如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 14. 阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） = = ． （2） = = ． 试用上述方法因式分解_______ 15. 如图，在中，，．若为射线上的动点，连接，将沿翻折后得到，连接．若为等边三角形或等腰直角三角形，则的度数为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）先化简，再求值：，其中； （2）解方程：． 17. 如图，已知，且点，，，在同一条直线上． （1）连接．若，，求的度数； （2）若，求长度的取值范围． 18. 为打造宜居城市，社区计划在一块长为米、宽为米的空地上建设主题公园，规划在角落预留两块边长为米的小正方形区域作为便民服务点，其余阴影部分用于绿化种植． （1）用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （2）若，求出绿化的总面积． 19. 如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求的度数． 20. 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． （1）； （2）． 21. 如图，为的中线，为的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）作出的边上的高； （3）在（1）和（2）的条件下，若的面积为，直接写出EM的长． 22. 某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． （1）求型、型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 23. 【问题提出】（1）如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为______． （3）如图4，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则最小值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $