解决数学问题的常用方法 课件-2026届高三数学二轮复习

高考二轮复习——解决数学问题的常用方法 1 方法一 特例法 在解决选择题和填空题时,可以取一个（或一些）特殊数值 （或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图 形等）来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、 特殊情形进行检验,省去了推理论证、繁琐演算的过程,加快了解题的 速度.特例法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应 用得当可以起到“四两拨千斤”的功效. （1）使用前提:满足当一般性结论成立时,对符合条件的特殊化 情况也一定成立. 2 （2）使用技巧:找到满足条件的合适的特殊化例子,或举反例排 除,有时甚至需要两次或两次以上特殊化例子才可以确定结论. （3）常见问题:求范围、比较大小、含字母求值、恒成立问题、 任意性问题等. 3 真题示例 1.[2025· 全国一卷]已知，则 ， ， 的大小关系不可能是( ) A. B. C. D. ［解法关键］ 设，对讨论赋值如 , 5,8求出,, ，即可得出大小关系，利用排除法求出.答案为B. √ 4 2.[2024·全国甲卷]已知等差数列的前项和为，若 ，则 ( ) A. B. C.1 D. ［解法关键］ 不妨取等差数列的公差,则,可得 , 则 .答案为D. √ 5 3.[2024· 新课标Ⅱ卷]已知曲线，从 上任意一 点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. ［解法关键］ 在曲线上取,则的中点的坐标为 ,代入A,B,C,D四个 选项,只有A符合.答案为A. √ 6 自测题 1.[2025·重庆名校联盟一模]已知双曲线的离心率为,,为 的两 个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为, 为坐标原点，则 ( ) A. B.2 C. D. √ 7 [解析] 根据题意知离心率为，不妨设,, ， 则易知, . 因为，所以，易知 ， 所以 .故选A. 8 2.[2025·广东广州一调]已知空间中四个不同的平面,,, 满足 ,, ，则下面结论一定正确的是( ) A. B. C.与既不垂直也不平行 D.与 的位置关系不确定 √ 9 [解析] 如图，在正方体中，记平面 为 平面，平面为平面，平面 为 平面，满足, . 若平面为平面，且满足 ，此时 ； 若平面，此时. 由此可得，与 的位置关系不确定.故选D. 10 3.（多选题）[2025·江西南昌一模]已知是 上的连续函数，满足 ,，，且 .则下列说 法中正确的是( ) A. B. 为偶函数 C.6为 的一个周期 D.点是 的图象的一个对称中心 √ √ √ 11 [解析] 将，代入 ，得 ，由，得 ，故A错误； 由 ，联想到 ，不妨设 ， 由,，可得,，则 ，不妨取 ，则 . 验证B，C，D可知，B，C，D均正确.故选 . 12 方法二 验证法 验证法是将选项或特殊值代入题干逐一去验证是否满足题目条 件,然后选择符合题目条件的选项的一种方法.在运用验证法解题时,若 能根据题意确定代入顺序,则能加快解题速度. （1）使用前提:各选项可分别作为条件. （2）使用技巧:可以结合特值法、排除法等先否定一些明显错 误的选项,再选择直觉认为最有可能的选项进行验证,这样可以快速获 得答案. 13 （3）常见问题:题干信息不全、选项是数值或范围、正面求解 或计算繁琐的问题等. 14 真题示例 1.[2025· 全国一卷]已知点是函数 图象 的一个对称中心，则 的最小值为( ) A. B. C. D. ［解法关键］ 将每个选项带入验证函数值是否为0或者不存在，将A，C的值代入函 数值不为0，将B，D的值代入函数值为零，选最小的即为B.答案为B. √ 15 2.[2025·天津卷]已知函数 的图象如图，则 的解析式可能为 ( ) A. B. C. D. ［解法关键］ 先由函数奇偶性排除A，B，再由 时验证函数值的正负情况可得解.答案为D. √ 16 3.[2024· 新课标Ⅱ卷]设函数, （为常数）,当时，曲线与 恰有一个交 点，则 ( ) A. B. C.1 D.2 ［解法关键］ 令,,原问题等价转化为 有且仅有一 个零点,可知为偶函数,根据偶函数图象的对称性可知 的零点 只能为0,可得 ,并代入检验即可.答案为D. √ 17 自测题 1.已知函数与 的图象如图所示，则函数 的 图象可能是( ) A. B. C. D. √ 18 [解析] 由题图可知函数的定义域为 ， 排除选项B，C； 因为函数是偶函数，函数 是奇函数， 所以函数 是奇函数，排除选项D.故选A. 19 2.[2025·江西鹰潭一模]已知直线 和 相交于点，则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. √ [解析] 方法一：令，得，代入选项排除B, ,C的区 别为点能否为，由题易知直线不能过点 .故选C. 20 方法二：由，知，易知直线 过定点 ，直线过定点，则动点的轨迹为以 为直径的圆， 圆心为，半径. 由题意易知直线的斜率存在，则交点 不能是， 则动点的轨迹方程为 .故选C. 21 3.[2025·南宁三中模拟]已知函数 在区间 上单调递增且存在零点，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：取，则函数， 若 ，则，此时函数 有零点， 但是不满足单调递增，排除A,D.， √ 22 取，则函数若， 此时函数 有零点，且满足单调递增，排除B. 故选C. 方法二：设函数的最小正周期为，因为在区间 上单 调递增，所以，解得，所以 . 令，则当时，， 因为 在区间上单调递增且存在零点， 所以，解得. 当时， ，当时，，其他值，均不合要求. 综上， 或，所以 的取值范围是 . 故选C. 方法三 构造法 构造法是一种创造性的解题方法,它很好地体现了数学中的发散、 类比、转化思想,是指根据题设条件和结论的特征、性质,运用已知数 学关系式和理论,构造出满足条件或结论的数学对象,从而使原问题中 隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来,并借助该 数学对象方便快捷地解决数学问题的方法.构造法应用的技巧是“定目 标构造”,需从已知条件入手,紧扣要解决的问题,把陌生的问题转化为 熟悉的问题.解题时常构造函数、方程、几何图形等. 25 （1）使用前提:所构造的函数、方程、几何图形等要合理,不能 超出原题的限制条件. （2）使用技巧:对于不等式、方程、函数问题常采用构造新函 数,对于不规则的几何体常构造成规则几何体处理. （3）常见问题:比较大小、函数导数问题、不规则的几何体问题等. 26 真题示例 1.[2022·新高考全国Ⅰ卷]设,, ,则( ) A. B. C. D. ［解法关键］ 构造函数 ， ,利用函数的单调性可得结果.答 案为C. √ 27 2.[2024·天津卷]一个五面体 如图所示， 已知 ，且两两之间的距离为1，并 已知，， ，则该五面体的 体积为( ) A. B. C. D. ［解法关键］ 采用补形法将五面体 补成一个棱柱,再利用体积公式求解 即可.答案为C. √ 28 3.[2024·全国甲卷] 曲线与在 上有两个不同的交点，则 的取值范围为_______． ［解法关键］ 令,分离参数 ,构造新函数 ,结合导数求得 的单调区间,画出 的大致图象,数形结合即可求解.答案为 . 29 自测题 1.[2025·山西吕梁模拟]在正三棱锥中，棱,, 两两垂直， 若的边 ，则该正三棱锥的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. √ 30 [解析] 将正三棱锥 补成正方体如图所示， 正方体的体对角线长即为三棱锥 的外接球的直径， 因为 ，所以， 所以三棱锥 的外接球的直径， 所以 ， 所以三棱锥 的外接球的表面积为 .故选D. 31 2.[2025·重庆南开中学模拟]已知， ， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 令，则 ， 当时，，当时，， 所以 在上单调递增，在上单调递减. ,,， 由 ，得 .故选C. √ 32 3.[2025·成都模拟]当时，不等式 恒成立，则 的最大值为( ) A. B.1 C. D. √ [解析] 由，得 ， 即，则 . 令，易知在上单调递增，由 ， 得，则. 令 ，则， 当时，，所以在 上单调递增， 所以，解得，所以 的最大值为 .故选A. 33 4.[2025·梅州模拟] 已知函数在上存在导数 ，对任意的 ，，且当时， . 若，则实数 的取值范围为________. [解析] 令，由 ， 得， 则函数 是偶函数. 当时， ，则， 所以函数在 上单调递增. 34 由 ， 得 ， 即，所以，即，解得 ， 所以实数的取值范围为 . 35 方法四 逆向思维 在数学解题时,面对某些数学问题,当从正面思考难以顺利解决时 就转向反面思考,即逆向思维,这便是“正难则反”的解题策略.如反证法、 淘汰法、变换主元法、逆推法、构造反例和旁敲侧击等都是“正难则 反”“逆向思维”的体现.反证法是逆向思维的方法之一，它是一种最常 见的证明方法,成语“自相矛盾”中“以子之矛攻子之盾”,正是采用了反 证法. （1）使用前提：正向思维进行思考时无法找到解决问题的有效 方法或者正向思考分类讨论类别复杂时，可以使用逆向思维. 36 （2）使用技巧：反向提问，将问题的条件和结论互换，或者考 虑相反情况. （3）常见问题：概率计算中“至少一个发生”“至多一个不发生” 等复杂表述，排列组合中对于一些正面计算复杂的情况，立体几何 证明，命题真假的判断,唯一性的证明等问题. 37 真题示例 1.[2024· 上海卷]已知函数的定义域为 ，定义集合 ,,，在使得 的所 有 中，下列成立的是( ) A.存在 是偶函数 B.存在在 处取最大值 C.存在 是严格增函数 D.存在在 处取到极小值 √ 38 ［解法关键］ 对于A，C，D，利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值 的概念即可判断，对于B，构造函数 即可判断. 答案为B. 39 2.[2022·北京卷] 已知数列的各项均为正数，其前项和 满足 .给出下列四个结论： ① 的第2项小于3； ② 为等比数列； ③ 为递减数列； ④中存在小于 的项. 其中所有正确结论的序号是________. ①③④ 40 ［解法关键］ 推导出，求出， 的值，可判断①；利用反证法可 判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.答案为①③④. 41 自测题 1.[2025·唐山一模]已知命题,；命题 , .则( ) A.和都是真命题 B.是假命题， 是真命题 C.是真命题，是假命题 D.和 都是假命题 [解析] 对于命题,，因为当时， ，所以命 题是假命题； 对于命题,，因为当 时，， 所以命题 是真命题.故选B. √ 42 2.[2025·广东汕尾模拟]小王数学期末考试考了90分，受到爸爸表扬 的概率为，受到妈妈表扬的概率也为 ，假设小王受到爸爸表扬和 受到妈妈表扬相互独立，则小王被表扬的概率为( ) A. B. C. D.1 [解析] 记小王受到爸爸表扬为事件，小王受到妈妈表扬为事件 ， 小王受到表扬为事件，则 . 故选C. √ 43 3.有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两 端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有( ) A.12种 B.8种 C.6种 D.4种 [解析] 把丙和乙捆绑在一起，4个人任意排列有 （种）排 列方式， 甲站在两端 （种）排列方式， 甲站在两端且乙和丙相邻有 （种）排列方式， 所以甲不站在两端，丙和丁不相邻的不同排列方式有 （种）.故选B. √ 44 $