函数的值域与最值常用解题方法 课件-2026届高三数学三轮复习

函数的值域与最值常用解题方法 例1（1）函数， 的值域为________. [解析] 因为和在 上均单调递减， 所以在上单调递减， 所以 ，即， 所以函数，的值域为 . 方法一 单调性法 2 （2）函数 的值域为__________ _________. [解析] 设，， 当 时， 取得最小值，当时，取得最大值5，即 函数为减函数， ， 即， 函数 的值域为 . 3 变式题（1）函数 的值域为 ________. [解析] 因为函数和在 上都单调递增， 所以在上单调递增, 当 时，， 当时， ， 故所求函数的值域为 . 4 （2）已知函数则 的最大值为___. 4 [解析] 当时，在 上单调递增， 此时； 当时，在 上单调递减， 此时. 综上可知， 的最大值为4. 5 例2 已知， ，若 则 ( ) A.有最大值3，最小值 B.有最大值 ，无最小值 C.有最大值3，无最小值 D.无最大值，有最小值 √ 方法二 图象法 6 [解析] 作出 的图象，如图中实线部分所示，由 图可知在 处取得最大值，无最小值. 由，得 ， 解得或，可得 ， 所以， 所以有最大值 ，无最小值.故选B. 7 变式题 记实数，， ，中的最小数为，， ， ， 若，，，则函数 的最大值 为__. [解析] 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出 函数，， 的图象，则， ， 的图象即是图中的实线部分，由图可知， 函数的最大值即的图象的最高点 的纵坐标. 由解得故函数 的最大值为 . 8 例3 函数 的最大值为_ __. [解析] 令，则 ， 所以 ， 由二次函数的性质知，当，即时，取得最大值 . 方法三 换元法 9 变式题（1）函数 的最小值为( ) A.2 B. C.1 D.不存在 [解析] ， 令，则， 易知在 上单调递增，所以 .故选B. √ 10 （2）函数 的值域为_________________. [解析] 由,得，令, ， 则原函数可化为 . 因为 ，所以，则 ， 所以 ， 所以函数的值域为 . 11 例4 函数 的值域为_________________. [解析] ， 其中的值域为， 故函数 的值域为 . 方法四 分离常数法 12 变式题 函数 的值域为_____________. [解析] ，因为 ， 所以，所以的值域为 . 13 例5 函数 的值域为( ) A. B. C. D.以上答案都不对 √ [解析] 易知的定义域为.设 ， 则，当时，；当 时， 方程可看作关于的二次方程，由 ， 得综上，函数的值域为 .故选C. 方法五 判别式法 14 变式题 函数 的值域是( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：由，得， 当 时，，不符合题意； 当时，由 ，解得， 又，所以，所以 . 综上，的值域为 .故选C. √ 15 方法二：当时，,当 时, ,当且仅当时等号成立,故 , 所以的值域为 .故选C. 16 例6（1）函数 的值域为_________ ___. [解析] 原函数可变形为 ，上式可看成 轴 上的点到两定点,的距离之和， 当点 为线段与轴的交点时， ， 故所求函数的值域为 . 方法六 几何法 17 （2）函数 的值域为_________. [解析] 设点,则点在半圆弧 上， 点到直线的距离, 当 时，由得半圆弧与 直线 的交点坐标为 . ①当时，圆弧在直线 的 左下方，,则 , 18 且点到直线的距离最大，所以 , 故; ②当时， ； ③当时，圆弧在直线 的 右上方，,此时点到直线 的距离的最大值 等于圆的半径1，所以,故 . 综上，函数的值域为 . 变式题 函数 的值域为_ _____________. [解析] 表示点与点连线的斜率. 点的轨迹为圆， 表示圆上的点与点连线的斜率. 过点 作圆的切线，斜率必然存在， 设过点 的圆的切线方程为 ， 即， 圆心到切线的距离 ， 解得， 则圆上的点与点 连线的斜率的 取值范围为，即的值域为 . 20 例7 已知函数，，则 的最小值为 _ ___________. [解析] 由,，可得 , ，设，则， ， 令，得，令，得， 所以 在上单调递减，在上单调递增， 又因为 ，， 所以，所以 在上单调递减， 则 . 方法七 导数法 21 变式题 函数在区间 上的最大值是__. [解析] 因为，所以， 当 时，，当时，， 故函数在 上单调递减，在上单调递增， 所以 , . 22 1.下列函数中，值域为 的是( ) A. B. C. D. [解析] 的值域为，故A错误； 的定义域为，值域也是，故B正确； 的值域为，故C错误； 的值域为 ，故D错误.故选B. √ ◆ 基础热身 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 2.函数在区间 上的最小值是( ) A. B.0 C. D. [解析] 因为，所以在 上单调递增， 所以 .故选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 3.函数 的( ) A.最小值为0，最大值为1 B.最小值为0，无最大值 C.最小值为0，最大值为5 D.最小值为1，最大值为5 [解析] 当时，函数单调递减， ； 当时，函数单调递减，. 综上所述， ，所以 的最小值为0，无最大值.故选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 4.函数 的值域为( ) A. B. C. D. [解析] 令,则 , , , 函数的值域为 .故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 5.（多选题）下列说法中正确的是( ) A.当时，函数的最小值为 B.函数的值域为 C.函数的值域为 D.函数的最大值为 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 27 [解析] 对于A，由，得，因为 ， 所以，即，所以所求函数的最小值为 ， 故A正确； 对于B，令，则 ， 原函数可化为 ， 可知， 所以函数 的值域为，故B正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于C，由得 ，则 ， ， 又，则，所以 ， 又，所以，故函数的值域为 ，故C错误； 对于D，令，则，所以 ， 所以，设，则在 上单调递增， 所以，所以（当时取等号）， 即 的最大值为，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.[2025·湖北宜荆荆恩四校联考]已知 ，函数 的值域为，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 当时，函数单调递增，所以 ， 要使得函数的值域为，只需，解得， 所以实数 的取值范围是 .故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 7.已知函数在区间上的取值范围为 ， 则 ___. 1 [解析] 由题意得，且在上的取值范围为 ， 所以，在上单调递减，即 ， 故 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 8.函数 的值域为_ ____________. [解析] 可看成定点与动点 的连线所在直线的 斜率.又动点在单位圆上，所以问题转化为求定点 与单位圆上的点的连线所在直线的斜率问题. 设直线的方程为，即 ， 若直线与单位圆相切，则,解得, 所以函数 的值域为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 9.若函数的值域是，则函数 的值域是 ( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 33 [解析] 令，则，函数化为 . 当时，单调递减，当时， 单调递增， 又当时，，当时，，当时， ， 所以函数的值域为 .故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.下列说法正确的是( ) A.的值域为 B. 的最大值为2 C.的单调递增区间为 D.函数的最小值为 √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 [解析] 由得， 函数 的定义域 为，在定义域 上单 调递减， 当时函数取得最大值，且 ，即 ， 该函数的值域为 ，故A错误； ，则 ，当且 仅当，即 时等号成立，故B错误； 由，得或， 的定义域为 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据复合函数的单调性可知的单调递增区间 为 ，故C错误； ，可以理解为以原点 为圆心， 半径为1的圆上的动点与定点所确定的 直线 的斜率，直线与圆相切时，取到最值，易知， 当直线 的倾斜角为时，最大，最大值为， 函数 的最小值为 ，故D正确.故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.（多选题）已知定义域为的函数，若对任意 ，存在正 数，都有成立，则称函数是定义域 上的“有界函 数”.下列函数为“有界函数”的是( ) A. B. C. D. √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 [解析] 对于A，，由于 ， 所以，，故 不是“有界函数”； 对于B，令，，则，因为在 处 取得最大值4，所以，即，则 ，故 是“有界函数”； 对于C，令 ，当时， 函数 取得最小值， 即，所以 ，所以， 故函数 是“有界函数”； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于D，令，，则， 即， ，当时，， 无最小值，即 ，则， 故不是“有界函数”.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.函数 的值域为___________. [解析] 由，得. 令 ， ，则 . 因为 ，所以，所以， 所以 ， 所以函数的值域为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 13.已知,，则 的取值 范围为_________. [解析] 由题意得 ， 化简得，当时， ， 而函数在 上单调递减， 则，则，所以， 故 的取值范围为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 14.已知函数.若存在实数，，使 在 上的取值范围为，则符合条件的 的一个值为__________ _______________. （答案不唯一） 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 [解析] 函数的定义域为， 显然 在上单调递增，依题意，， 因此方程，即在 上有两个不等 实根， 令，则方程 有两个不等的非 负实根,，则解得 ， 所以符合条件的的值可以为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 15.设函数 若 对一切 恒 成立，则 的最小值为_____. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 [解析] 由题意知 ，令 则 ，画出函数的图象如图， 从而， 记, ，, ， 故，则 ，即， 或，即，由于，故 . 令，解得，故，故的最小值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 $